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依托核心問題促進深度思考

2020-05-26 01:57張春新
遼寧教育·教研版 2020年5期
關(guān)鍵詞:梯形陰影長方形

張春新

復(fù)習(xí),并不僅僅是重復(fù)先前學(xué)習(xí)的知識,而是在原有知識復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上促進學(xué)生知識思維素養(yǎng)的再生長。生長,是夯實基礎(chǔ)后的求異與創(chuàng)新。教學(xué)“平面圖形面積總復(fù)習(xí)”這一課,如何在夯實平面圖形面積計算的基礎(chǔ)上讓學(xué)生抓住平面圖形面積計算的本質(zhì),促使其“換個腦筋”,進一步在知識的深處進行思考呢?我通過三個核心問題的引領(lǐng),使學(xué)生的知識、思維、方法策略在不斷被豐富、被審視、被調(diào)整的過程中得到了深度發(fā)展。

一、依托核心問題,引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不能流于形式,更不能淺表化。只有抓住了所復(fù)習(xí)知識的核心問題,激發(fā)出學(xué)生積極思考的熱情,促使學(xué)生深入交流、探究,才能使學(xué)生進一步地感悟到平面圖形面積計算的本質(zhì),學(xué)生的學(xué)習(xí)才能觸類旁通,達到“牽一發(fā)而動全身”的效果。如在學(xué)生交流了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積推導(dǎo)過程之后——

師:回顧學(xué)習(xí)這些平面圖形的過程,我們先學(xué)習(xí)的是什么圖形的面積?

生:長方形的面積計算。

師:大家有沒有想過,為什么我們先學(xué)習(xí)長方形、正方形的面積計算,然后學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計算,最后學(xué)習(xí)圓的面積計算?可不可以換一下順序呢?請大家在小組內(nèi)交流。(學(xué)生在小組內(nèi)熱烈地交流起來)

生:長方形的面積計算最簡單。

生:長方形的四個角都是直角,其他圖形沒有這樣的特點。

生:面積單位都是邊長1厘米、1分米、1米的正方形,長方形的面積可以直接用這些面積單位去擺,從而算出面積,其他圖形不行。

生:是的,長方形可以用邊長1厘米、1分米、1米的小正方形去擺,看看沿著長可以擺幾個,沿著寬可以擺幾排,用每排的單位面積的個數(shù)×排數(shù)=總的單位面積的個數(shù),也就是長方形的面積。而其他平面圖形,比如平行四邊形,用面積單位擺就不好擺滿。(學(xué)生邊說邊在黑板上畫)

生:我知道了,所以我們先學(xué)長方形的面積計算,用擺面積單位的方式推導(dǎo)出了長方形的面積公式,然后再學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計算,它們不好用面積單位去擺,可以用轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方形來計算面積。

在以前的學(xué)習(xí)中,學(xué)生是一個圖形一個圖形地接著學(xué),他們現(xiàn)在回過頭來一看,確實先學(xué)習(xí)的是長方形的面積,為什么呢?可不可以先學(xué)習(xí)其他圖形呢?學(xué)生感覺非常好奇,這激起了他們思考和探究的欲望。實際上,這也是學(xué)生思維的盲點,同時又是學(xué)習(xí)平面圖形面積的核心問題。抓住了它,就抓住了面積計算的本質(zhì),即圖形中所含單位面積的個數(shù)。通過對這一核心問題的思考,學(xué)生不但知道了為什么要先學(xué)習(xí)長方形面積的計算,而且對后面所學(xué)的圖形計算面積為什么都要轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形,也有了進一步的、清晰的認識。

這樣,通過“瞻前”——對先學(xué)習(xí)長方形面積計算的這一核心問題追問,讓學(xué)生回到原點思考,從源頭抵其實質(zhì);同時也為“顧后”——體積度量的本質(zhì)理解作了知識和方法上的鋪墊。

二、依托核心問題,引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)數(shù)學(xué)知識和思維

多維度關(guān)聯(lián)是將學(xué)生所學(xué)的零散的知識根據(jù)它們內(nèi)在的邏輯關(guān)系從多種角度進行統(tǒng)整與建構(gòu),從而讓學(xué)生整體建構(gòu)。

(一)以長方形面積為基礎(chǔ)整體建構(gòu),感受由易到難的過程

通過“為什么先學(xué)習(xí)長方形的面積”這一核心問題的追問,學(xué)生從本質(zhì)上理解了長方形面積的計算是其他平面圖形面積計算的基礎(chǔ)。這時,可以再讓學(xué)生用圖來梳理各種圖形面積之間的聯(lián)系。

師:通過回顧,我們知道了長方形面積公式是學(xué)習(xí)其他平面圖形面積的基礎(chǔ),這六個圖形之間是有聯(lián)系的。你能用圖表示出它們之間的聯(lián)系嗎?

(學(xué)生分組展示,出現(xiàn)了這樣兩種圖)

生:(小組1,指第一幅圖)我們小組是這樣梳理的,長方形的面積計算由數(shù)含有多少面積單位獲得,這也是計算其他平面圖形面積的基礎(chǔ),所以將長方形畫在最下面。由長方形的面積公式推導(dǎo)出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式,將這三個圖形畫在第2層,再由平行四邊形面積公式推導(dǎo)出了三角形和梯形的面積公式,將三角形和梯形畫在最上層。

生:(小組1,指第一幅圖)我來補充一下。從上往下看,三角形、梯形的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出來的,平行四邊形、圓的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出來的,它們都不能直接用含有面積單位的小正方形去擺、去數(shù),都巧妙地運用了轉(zhuǎn)化的方法。

生:(小組4,指第二幅圖)我們是這樣整理的。將其他五種平面圖形面積公式都轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出來。第1、2、3、5小組都是把三角形和梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出面積公式的,我們是把三角形和梯形也轉(zhuǎn)化成長方形來推導(dǎo)出面積。

生:(小組4)我補充。雖然我們小組之間轉(zhuǎn)化的圖形不一樣,但共同的地方都是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來推導(dǎo)出面積的,都是以長方形面積公式為基礎(chǔ)來轉(zhuǎn)化的。

(二)以梯形為中心整體建構(gòu),感受化繁為簡的過程

緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究,可以讓學(xué)生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。

師:前面我們以長方形的面積公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)出了其他五個平面圖形的面積,由易到難。我們還能化繁為簡,把這六個圖形的面積公式都用梯形的面積這一個公式來計算,大家相信嗎?

(學(xué)生搖頭)

師:看著圖形想一想,可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形?

(電腦出示:梯形下底不變,上底慢慢縮短變成三角形,上底慢慢延長,變成平行四邊形。)

(學(xué)生討論交流)

生:三角形可以看作上底為0的特殊的梯形。(如下面第一個圖形)

生:平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊的梯形。(如下面第二個圖形)

生:長方形可以看作上底a和下底b相等,且上底a、下底b與高h垂直的特殊的梯形。(如下面第三個圖形)

生:正方形可以看作上底、下底和高相等即a=b=h,a、b與h垂直的特殊的梯形。(如下面第四個圖形)

生:圓可以看作上底為0,下底為圓的周長即2πr,高為半徑r的特殊梯形。

師:圓是封閉的曲線圖形,你是怎樣想的?

生:我將圓心看成梯形的上底,上底為0,將圓的一周拉直,將圓的周長(即2πr)看成梯形的下底,這時半徑r就是梯形的高。

師:真不簡單,能化曲為直,將圓看作這樣的特殊梯形,真是愛動腦筋的孩子。

師:那么這些平面圖形能用梯形的面積公式計算嗎?怎么辦?

生:用梯形的面積公式算算看行不行。

師:好,每人選一個平面圖形算算看。計算好后,仔細觀察,說說你發(fā)現(xiàn)了什么,然后小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)。

生:我選的是三角形。用梯形的面積公式計算(0+a)h÷2=ah÷2,我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和三角形的面積公式一樣。所以,計算三角形面積可以用梯形的面積公式。

生:我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計算(a+a)h÷2=ah,我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和平行四邊形的面積計算公式一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算。

生:平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算,長方形、正方形是特殊的平行四邊形,所以不需要計算,就知道長方形和正方形也可以用梯形的面積計算公式計算。

生:我選的是圓。用梯形的面積公式計算(0+2πr)r÷2=πr2 ,所以圓的面積公式也可以用梯形的面積計算公式。

生:圓也可以等積變形為梯形(如下圖),所以圓的面積公式可以用梯形的面積計算。

師:現(xiàn)在你們想說什么?

生:梯形面積公式真神奇呀,這些圖形都可以用它來計算。

這時黑板上形成的流程圖如下所示:

在這一片段中,學(xué)生緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究。通過梯形的下底和高不變、上底變這一條件,讓學(xué)生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)用梯形的面積公式算下來竟然和原來圖形的面積公式相同。

這樣,先通過核心問題“為什么先學(xué)長方形面積”的思考,讓學(xué)生感受到了平面圖形面積公式由易到難的學(xué)習(xí)過程,再通過核心問題“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”的思考探究,將梯形面積公式與其他圖形的面積公式勾連了起來,讓學(xué)生感受到了化繁為簡的驚喜。這樣由易到難、化繁為簡的整體建構(gòu),不再只是知識的整體建構(gòu),同時也是思維的整體建構(gòu)。

三、依托核心問題,發(fā)展學(xué)生的深度數(shù)學(xué)思維

以上兩個核心問題的思考探究,既使學(xué)生抓住了平面圖形面積的本質(zhì),又將平面圖形面積之間的關(guān)系進行了整體建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上,還可以通過核心問題“兩個圖形陰影部分的面積相等嗎”來促使學(xué)生進一步深度思考,靈活運用轉(zhuǎn)化的思想來解決問題。

師:(出示下面兩幅圖)大正方形的邊長為10厘米,陰影部分的面積相等嗎?為什么?

生:第一個圖形陰影部分左邊雖然是三角形,但它的底長不知道,也很難求出。陰影部分右邊部分一般用[14]圓的面積減去空白小三角形的面積,但空白小三角形的面積的底是10厘米,高也不知道,所以也不好求出。所以,我們小組思考能不能用轉(zhuǎn)化的方法,把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。

生:我們發(fā)現(xiàn)第一個圖形中三角形ABG的面積等于空白三角形DEG的面積。把△ABG的面積移到△EDG上,整個陰影部分的面積就等于[14]圓的面積。求出[14]圓的面積,就求出了陰影部分的面積。這樣就把陰影部分這一復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形[14]圓,就很好算了。

生:第二個圖形也是將陰影部分這一復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)換成簡單的圖形。空白三角形ABE的面積是(a+b)×b÷2,梯形ABCF的面積也是(a+b)×b÷2,所以空白三角形ABE的面積等于梯形ABCF的面積。空白梯形ABGF是公共的,那么△EFG的面積等于△CBG的面積,將△CBG的面積移到△EFG上,這樣陰影部分的面積就等于[14]圓的面積了。

生:兩幅圖中陰影部分的面積都等于[14]圓的面積,而圓的半徑都是10厘米,圓的面積相等,[14]圓的面積相等,兩幅圖的陰影部分的面積也就相等。

師:你們真不簡單。在常用的方法無法解決問題的情況下,想到了運用轉(zhuǎn)化的策略來解決。

生:平面圖形面積推導(dǎo)的過程給了我們啟示,在推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形等面積公式時,都是轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的簡單的圖形來推導(dǎo)的。

生:是的,當計算較復(fù)雜的平面圖形面積時,如果無法直接計算,我們就可以換一種思路,看看能不能將較復(fù)雜的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成簡單的規(guī)則圖形來求。

本教學(xué)片斷中,核心問題“陰影部分的面積相等嗎”激起了學(xué)生探究的熱情。因為常用的整分法(大面積減去多余的小面積)和分割法(將復(fù)雜的陰影部分分割成幾個小的規(guī)則的圖形)都無法解決,所以這種思維困境激起了學(xué)生進一步挑戰(zhàn)該問題的強烈欲望。學(xué)生通過進一步思考,想到了運用轉(zhuǎn)化的策略可以將復(fù)雜的陰影部分轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。怎樣轉(zhuǎn)化呢?學(xué)生小組內(nèi)繼續(xù)思考,他們積極尋求面積相等的圖形,發(fā)現(xiàn)了圖形之間的關(guān)系,將陰影部分的一小部分圖形面積移到了與之面積相等的空白部分上,就轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形[14]圓,問題也就迎刃而解了。

此外,這節(jié)課以猜平面圖形的游戲開始也以同樣的游戲作為結(jié)束。這種游戲就是一個學(xué)生說,另一個學(xué)生猜。比如,猜長方形。課前,學(xué)生都是說它的特征(兩組對邊相等,四個角都是直角)而讓其他的學(xué)生猜。課終,還是長方形,再猜,說法就多了:是其他平面圖形的基礎(chǔ),是學(xué)習(xí)的第一個平面圖形,可以用表示面積單位的小正方形去擺求出面積;是上底下底相等,且上下底和高垂直的特殊的梯形等。這樣,通過課始和課終猜平面圖形的游戲,既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,又讓學(xué)生感受到了通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)所帶來的知識思維生長的喜悅。

(責任編輯:楊強)

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