王 芳

(江蘇省木瀆高級中學(xué),江蘇 蘇州 215100)

速度關(guān)聯(lián)問題是運動的合成和分解中的重難點，對于用輕繩、輕桿相連的系統(tǒng),學(xué)生會抓住兩物體的實際速度為合速度,并將其按沿繩(桿)和垂直于繩(桿)這兩個方向分解,取其沿繩(桿)方向的分速度相等,往往就能輕松解決問題。但是，對于下面兩個看上去很形似的問題,學(xué)生常用的解題套路卻失效了。

1 兩道形似題引發(fā)的思考

圖1

針對速度關(guān)聯(lián)問題的兩道形似題的解答如圖1、2所示，圖1中學(xué)生的解答是錯的,圖2中學(xué)生的解答卻是對的。兩題都是與桿相關(guān)的速度關(guān)聯(lián)問題,看上去很相似。學(xué)生采用同樣的處理方法,將平臺或物塊的速度沿桿和垂直于桿的方向進行分解,然后取其垂直于桿的分量和桿上接觸點的線速度相等。對錯結(jié)果不同，問題到底出在哪里?學(xué)生百思不得其解。

圖2

2 對速度關(guān)聯(lián)問題的分析

對于兩個剛體(形狀、大小都不發(fā)生變化的理想模型)或質(zhì)點,當(dāng)它們直接接觸或通過輕繩(桿)相連時,由于剛體和連接物輕繩(桿)均不發(fā)生形變,且輕繩(桿)的質(zhì)量為零,它們不會改變系統(tǒng)的機械能。對整個系統(tǒng)而言,內(nèi)部相互作用的彈力,其作用效果只是將機械能從一個物體傳遞給相互作用的另一個物體。由此可見,內(nèi)部相互作用的彈力的瞬時功率應(yīng)該總是一正一負,總和為零。又因相互作用力總是等大、反向,所以剛體或質(zhì)點在彈力的方向上分速度必須相等。

根據(jù)彈力類型的不同,我們可以把速度關(guān)聯(lián)問題歸納為三種模型:輕繩連接模型、輕桿連接模型和直接接觸模型。對于由彈簧連接的系統(tǒng),由于彈簧會儲存彈性勢能,不在我們討論的范圍內(nèi)。

2.1 輕繩連接模型

從對速度關(guān)聯(lián)問題的分析可知:由輕繩連接的物體在彈力方向上的分速度一定相等。由于輕繩上的彈力總是沿著繩的方向,就能得到兩物體沿繩方向的分速度必相等,這與我們的常規(guī)處理方法是一致的。

例1:如圖3所示,有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道,軌道上有兩個物體A和B,它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接,物體A以vA=20m/s勻速向右運動,在繩子與軌道成α=30°角時,則物體B的速度vB大小為多少？

圖3

圖4

解析:以物體B為研究對象,由題意可知物體B實際速度為vB,方向水平向左。將vB沿繩和垂直于繩這兩個方向進行分解,得沿彈力(繩)方向上的分量v1=vBcos30°(如圖4)。

2.2 輕桿連接模型

對于輕桿連接模型,根據(jù)物體在彈力方向上的分速度相等出發(fā),結(jié)合自由輕桿上的彈力總是沿著桿的方向,就能得到兩物體沿桿方向的分速度一定相等。

例2:如圖5所示,一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質(zhì)點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑,當(dāng)輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高,其速度大小為vA,已知此時輕桿與水平方向成θ=30°角,B球的速度大小為vB,則( )。

B．vB=2vA

C．vB=vA

圖5

圖6

解析:受到球形容器制約,小球A、B繞O點做圓周運動。如圖6所示，在位置2處,小球A、B的速度均沿圓的切線方向。

將小球A、B的實際速度vA、vB分別沿桿和垂直于桿的方向進行分解,則小球A沿桿方向的分速度v1=vAsinθ,小球B沿桿方向的分速度v3=vBsinθ。根據(jù)輕桿連接模型中兩物體在彈力(桿)方向上的分速度相等,得v1=v3,即vA=vB,故C選項正確。

2.3 直接接觸模型

在速度關(guān)聯(lián)的問題中,直接接觸模型是學(xué)生最難理解和掌握的。主要原因是學(xué)生無法從效果上直觀判斷相互關(guān)聯(lián)的兩個速度到底在什么方向上的分速度相等。從機械能傳遞的角度考察，剛體沿接觸面的彈力方向上的分速度相等，抓住這個本質(zhì)特征,只要正確判斷出接觸面上彈力的方向,問題就能得到輕松解決。

例3：如圖7所示,AB繞A點以一定的角速度ω由豎直位置開始順時針勻速旋轉(zhuǎn),并帶動套在水平桿上的光滑小環(huán)運動。則小環(huán)在水平桿上運動時速度大小的變化情況是( )。

A． 保持不變

B． 一直增大

C． 一直減小

D． 先增大后減小

圖7

圖8

解析:桿AB與小環(huán)接觸,彈力方向垂直于桿。抓住物體在彈力方向上的分速度相等的本質(zhì)特征,即桿AB與小環(huán)在垂直于桿方向上速度相等。

如圖8所示，選擇小環(huán)作為研究對象，受水平桿約束,小環(huán)實際速度v沿水平方向。將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解,得垂直于桿方向的分量v2=vcosθ。

3 兩個形似題的錯誤原因及解析

學(xué)生在處理圖1、2中習(xí)題時,容易受輕桿連接模型的影響。學(xué)生的解答錯誤原因在于：認為物體在垂直于桿方向上的分速度相等；圖2中學(xué)生的答案雖然是正確的,但也是誤打誤撞蒙對的。在處理這兩個形似問題時,學(xué)生不考慮研究對象的選擇,簡單地將速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解來求解,沒有真正找到此類問題的本質(zhì)特征。其實這兩個問題都屬于速度關(guān)聯(lián)問題中的直接接觸模型，解決此類問題應(yīng)牢牢抓住物體在接觸面的彈力方向上分速度相等。

(1) 圖1中習(xí)題解析

升降平臺和直棒的末端接觸,屬于點面接觸,彈力方向垂直于升降平面,也就是沿豎直方向。由題意可知平臺實際速度為v,方向豎直向上。直桿末端的點在繞固定軸O做圓周運動,其實際速度v′的方向垂直于桿向上。

圖9

圖10

(2) 圖2中習(xí)題解析

輕桿與物塊接觸,彈力方向垂直于桿。根據(jù)題意可知：物塊實際速度v的方向水平向右。因為桿與物塊接觸的點B在繞O轉(zhuǎn)動,所以B的速度垂直于桿向下。抓住桿上B點與物塊在彈力方向上的分速度相等,所以與上題不同的是：本題應(yīng)選擇物體作為研究對象,將其速度按沿桿和垂直于桿這兩個方向分解。