藍海江

（廣西科技師范學院機械與電氣工程學院，廣西來賓 546199）

0 引言

電路分析（或電路）課程是電氣類、電子信息類專業(yè)的專業(yè)核心課程。該課程理論性強、概念抽象。對于許多普通院校學生而言，該課程是一門難度系數較高、比較枯燥的課程，因此，教學效果不容樂觀［1］。為了提高該課程的教學效果，與時俱進地進行教學改革［2-4］，勢在必行。

存在電容、電感的電路稱為動態(tài)電路。由于描述動態(tài)電路的方程為微分方程，而且動態(tài)電路的過渡過程非常短暫，教學實踐表明，許多普通院校學生難以理解其中的物理內涵，而基于計算機仿真輔助教學，是幫助學生突破這些瞬態(tài)困惑的有效手段［5-7］。

電路方程為一階常微分方程的動態(tài)電路，稱為一階電路。RC和RL一階電路的零輸入響應及零狀態(tài)響應，是動態(tài)電路的基本內容，因而成為仿真分析、研究的熱點［8-10］。但是，由于RC和RL一階電路互為對偶電路［11］，并且RL一階電路響應實驗較難實現，因此，縱觀RC和RL一階電路響應的仿真分析及其實驗研究的報導，RC一階電路響應較為常見，而RL一階電路響應則較為鮮見。

盡管一階電路是最為簡單的電路，但許多普通院校學生在理解上一直有困難［12］。為了幫助學生能夠直觀觀測動態(tài)元件的動態(tài)特性，深入理解動態(tài)方程的物理內涵，本文以RC和RL一階電路響應為例，首先，基于NI Multisim14.0軟件仿真這些電路的響應，并依據仿真結果測量電路的時間常數；然后，基于模擬電路實驗箱搭建實驗電路，實現實驗比較與驗證。

1 一階電路響應及其時間常數

1.1 RC和RL一階電路的零輸入響應

激勵為零，由電路動態(tài)元件初始狀態(tài)產生的響應，稱為零輸入響應。RC和RL一階電路零輸入響應的一般表達式為［13］

式（1）中，f（0+）為初始值。對于RC電路，時間常數τ=ReqC；對于RL電路，時間常數τ=L/Req；Req為t≥0時，移去動態(tài)元件后，單端口網絡的除源等效電阻。

1.2 RC和RL一階電路的零狀態(tài)響應

動態(tài)元件初始狀態(tài)為零，由激勵產生的響應稱為零狀態(tài)響應。RC和RL一階電路零狀態(tài)響應的一般表達式為［13］

式（2）中，y（∞） 為穩(wěn)態(tài)值。

1.3 一階電路時間常數的測量方法

由于動態(tài)元件參數的限制，一階電路的時間常數通常很小，較難測量［14］。一階電路時間常數的測量方法有電壓對稱法［15］、時標法［16］及連續(xù)積分法［17］等。

把t=τ，代入式（1）、式（2）得

式（3）表明，經過時間τ后，動態(tài)元件的零輸入響應為其初始值的0.368倍；式（4）表明，經過時間τ后，動態(tài)元件的零狀態(tài)響應為其穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。據此，可利用時標觀測法，測量電路的時間常數。

2 RC和RL一階電路響應的仿真分析

2.1 RC和RL一階電路響應的仿真

本文使用NI Multisim14.0作為仿真軟件。該軟件具有豐富的仿真分析能力。為了便于實現實驗驗證，仿真元件的參數設置，基于常用、低值的電子元器件。

RC和RL一階電路響應的仿真電路如圖1（a）、圖1（b）所示。其中，信號發(fā)生器XFG1的參數設置為：方波，20Hz，10Vp，占空比50%；為了便于觀測，偏置設置為10V。Uc、IL為網絡名稱。為隔離電阻，隔離后，通過示波器XSC1能同時觀測到輸入的激勵波形和電路的響應波形。

當然，使用示波器電流探頭，能更加便捷探測電流，但會增加實驗成本。為了便于實驗實現，本文利用取樣電阻來間接地觀測電感電流。

當激勵方波的周期T，滿足T/2?5τ時，方波的上升沿相當于零狀態(tài)響應的正階躍激勵信號，方波的下降

圖1 RC和RL一階電路響應仿真電路

沿相當于零輸入響應的負階躍激勵信號［18，19］。據此，本文利用信號發(fā)生器輸出的方波，模擬激勵信號。

由圖1（a）可知，RC一階電路的時間常數為，τC=ReqC=2.870m s；忽略Rq的影響，則τC≈3.300m s。由圖1（b）可知，RL一階電路的時間常數為，τL=L/Req=3.163m s；忽略Rq的影響，則τL≈ 3.119m s。

激勵方波的頻率為20Hz，周期T=50m s，顯然，滿足T/2?5τ的要求。

點擊仿真運行按鈕，即獲得對應的仿真結果，如圖2所示。

由圖2（a）和圖2（b）可知，在方波（A通道）的激勵下，在仿真示波器上，可直觀地觀測到RC和RL一階電路的響應波形（B通道）。

圖2中，零狀態(tài)響應的正階躍激勵信號與方波上升沿對應，零輸入響應的負階躍激勵信號與方波下降沿對應，因此，B通道的AB段為RC或RL一階電路的零狀態(tài)響應曲線，B通道的BC段為對應的零輸入響應曲線。

由圖2可知，RC和RL一階電路響應的波形相似，但是，圖2（a）的響應曲線為電容C兩端的電壓波形，圖2（b）的響應曲線為電感L的電流波形。

圖2 RC和RL一階電路響應仿真結果

2.2 RC和RL一階電路時間常數的瞬態(tài)分析測量

由于一階電路的時間常數通常很小，因此，利用實物實驗較難精確測量。而利用計算機仿真，則可便捷、精確地測量電路的時間常數。

本文利用NI Multisim14.0軟件的瞬態(tài)分析功能，測量RC和RL一階電路的時間常數。

如圖1，搭建仿真電路后，選擇“仿真”菜單中的“Analyses and simulation”項。在其對話框中，單擊“瞬態(tài)分析”項；在相應欄目中設置參數后，單擊“Run”按鈕，即出現瞬態(tài)分析結果。

RC和RL一階電路響應的瞬態(tài)分析結果，如圖3所示。其分析參數相同：起始時間0.045s，結束時間0.095s，其它取默認值。輸出變量：RC電路為V（uc），RL電路為V（IL）。

由圖3可知，依據瞬態(tài)分析結果，也可觀測RC和RL一階電路響應的動態(tài)過程。

圖3 RC和RL一階電路響應瞬態(tài)分析仿真結果

基于圖3，利用光標定位法（時標法），可便捷地測量電路的時間常數。

依據圖3（a）測量RC一階電路充電（零狀態(tài)響應）時間常數的步驟如下。

（1）移動光標2，讀出電容C端電壓UC的最大值和最小值，結果分別為2.6083V和0V。

（2）把光標1定位于電容C充電的起始處，即使x1=50.0000ms、y1≈0V；把光標2定位于電容C充電至穩(wěn)態(tài)值（UC的最大值）的0.632倍處，即使x2=52.8743ms、y2=1.6484V。

（3）讀取此時光標1與光標2之間的時間差dx，即為RC一階電路充電（零狀態(tài)響應）時間常數，τc=dx=2.8743m s。

參見圖3（a），利用光標定位法，RC一階電路放電（零輸入響應）時間常數的測量結果為，τc=2.8756m s。

同樣地，利用光標定位法，測量RL一階電路充磁（零狀態(tài)響應）時間常數的數據，如圖3（b）所示，即x1=50.0000m s、y1≈0V，x2=53.1808m s、y2=270.5201m V，τL=dx=3.1808m s。

參見圖3（b），RL一階電路放磁（零輸入響應）時間常數的測量結果為，τL=3.1838m s。

基于光標定位法，本文還依據圖2的響應仿真結果，測量了電路的時間常數。RC一階電路充、放電時間常數的測量結果分別為，τc=2.938m s和τc=2.931m s；RL一階電路充、放磁時間常數的測量結果分別為，τL=3.178m s和τL=3.172m s。

由此可知，仿真測量的結果與理論值一致。

2.3 RC和RL一階電路響應波形上升時間的仿真測量

在控制領域中，上升時間定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。

利用光標定位法，依據圖2，RC和RL一階電路響應波形上升時間的測量結果分別為，trc=5.934m s和trl=6.742m s；而依據圖3進行測量，則結果分別為，trc=6.2615m s和trl=6.9256m s。

3 RC和RL一階電路響應的實驗實現

3.1 RC和RL一階電路響應實驗

基于模擬電路實驗箱（DICE-A9）上的電子元器件，以及熒光燈鎮(zhèn)流器，依據圖1（a）和圖1（b），可便捷地搭建RC和RL一階電路響應實驗。

實驗時，示波器（GDS-1102A-U）A通道探頭使用×10檔；信號發(fā)生器（AFG-2225）的參數設置為：方波，20Hz，10Vpp，占空比50%，偏置0Vdc（響應波形、時間常數與偏置設置無關）。利用固緯LCR-915測試儀，測量R、C、L元件參數。

參見圖1（a），在RC一階電路響應實驗中，元件的測量值為：q=2.194kΩ，C=9.142μ F，3265Ω。據此計算，時間常數τC=ReqC=2.598m s；忽略Rq，則τC≈2.985m s。

李永林：新時代呼喚新擔當，新時代需要新作為。肩負黨和人民群眾的重托，立足環(huán)渤海地區(qū)的宏大基業(yè)，面對打造世界一流能源化工企業(yè)的時代責任，天津石化正以時不我待、只爭朝夕的緊迫感，全力融入京津冀協同發(fā)展，堅定不移做強做優(yōu)做大國有資本，大力推進全產業(yè)鏈協同發(fā)展，加快建立創(chuàng)新引領、集約高效、智能融合、綠色低碳的先進工業(yè)體系。全力建成技術質量領先、配套設施完備、安全綠色環(huán)保、服務優(yōu)質高效、集群效應凸顯的世界級石化基地，成為向產業(yè)鏈高端攀升、向世界一流進軍的杰出代表，成為拉動天津經濟增長、助力人民美好生活的強勁引擎，推動美麗天津天更藍、地更綠、水更清，環(huán)境更宜居、生態(tài)更美好、人民生活更加殷實安康。

利用華強牌熒光燈鎮(zhèn)流器（參數：40W、220V、50Hz、0.43A、tw105、Δt55、λ0.5）作為電感元件（RL、L）。參見圖1（b），在RL一階電路響應實驗中，元件的測量值為：q=2.194kΩ，L=59.32Ω，L=970.6m H，i=149.56Ω，。據此計算，時間常數τL=L/Req=3.204m s；忽略Rq，則τL≈ 3.160m s。

通過示波器觀測到的RC和RL一階電路響應的實驗結果，如圖4（a）、圖4（b）所示。

圖4 RC和RL一階電路響應實驗結果

圖4（a）中，通道1為激勵方波，通道2為RC一階電路響應波形。圖4（b）中，通道1為激勵方波，通道2為RL一階電路響應波形。

比較圖2與圖4可知，實驗結果與仿真結果一致。

3.2 RC和RL一階電路時間常數的實驗測量

3.2.1 依據上升時間測算電路的時間常數

對于圖1（a）所示的RC一階電路，依據仿真測量結果（平均值）可知，其上升時間與時間常數的關系為，trc=2.0982 τC。對于圖1（b）所示的RL一階電路，依據仿真測量結果（平均值）可知，其上升時間與時間常數的關系為，trl=2.1494 τL。

由于實驗結果與仿真結果一致，并且實驗元件的參數與仿真元件的參數相差細微，因此，可以依據實驗結果響應波形的上升時間來測算電路的時間常數。

由圖4（a）可知，RC一階電路響應波形的上升時間為，trc=6.015m s，由此可測算出，τC≈2.867m s。由圖4（b）可知，RL一階電路響應波形的上升時間為，trl=6.647m s，由此可測算出，τL≈3.092m s。測算結果與理論值一致。

3.2.2 利用光標定位法測量電路的時間常數

實驗示波器具有自動測量和光標測量功能。因此，基于實驗示波器，利用光標定位法（時標法），同樣可以測量RC和RL一階電路的時間常數。

測量時，把通道1屏蔽，只顯示并放大通道2的RC或RL一階電路響應曲線。

依據圖4的實驗結果，RC一階電路充、放電時間常數的測量結果分別為，τc≈2.740m s和τc≈2.760m s；RL一階電路充、放磁時間常數的測量結果分別為，τL≈3.175m s和τL≈3.160m s。

實驗測量結果，與仿真測量結果及理論值一致。

4 結論

本文利用NI Multisim14.0軟件，仿真了RC和RL一階電路的零輸入響應及零狀態(tài)響應，并利用光標定位法，測量了電路的時間常數。為了讓學生深入理解動態(tài)電路響應及過渡過程，直觀地比較仿真結果與實驗結果，本文搭建了對應的實物實驗，進行演示和測量。

依據仿真和實驗的分析及測量結果可知：當方波的周期滿足T/2?5τ時，可用于模擬RC和RL一階電路響應的正、負階躍激勵信號；通過仿真，可直觀地觀測RC和RL一階電路響應的曲線及其動態(tài)過程，基于軟件的瞬態(tài)分析等功能，利用光標法，可測量電路的時間常數；實物實驗的結果，與仿真結果及理論值一致。

在RL一階電路設計中，本文利用取樣電阻來間接地觀測電感電流，降低了實驗成本。本文基于仿真結果，把時間常數與上升時間進行關聯，通過類比，便捷地測算了實物實驗電路的時間常數。

利用計算機仿真輔助RC和RL一階電路響應教學，能讓學生直觀地觀測到動態(tài)電路響應及過渡過程，從而深入理解其物理內涵及本質。利用本文的方法，可對二階電路等動態(tài)電路進行仿真分析和實驗研究。