羅紅春，冀鴻蘭，郜國明，張寶森，牟獻友

（1. 內蒙古農(nóng)業(yè)大學 水利與土木建筑工程學院，內蒙古 呼和浩特 010018；2. 黃河水利科學研究院，河南 鄭州 450003）

1 研究背景

北方河流冰凍期常歷時四個月之久，冰蓋改變了河道水流結構，引起水流垂線流速重分布，這一特性已受到國內外河冰工作者廣泛關注［1-3］。對冰下水流流速垂線分布的研究，較統(tǒng)一的認識可歸納為：穩(wěn)封期固定冰蓋條件下，受冰蓋糙率及床面糙率綜合增阻影響，水流流速減??；冰蓋下最大流速位置較明流時下移，且隨冰蓋糙率改變而改變［4-6］；冰下水流垂線流速不再服從明流時單一的指數(shù)或對數(shù)分布，而體現(xiàn)為冰蓋和床面附近符合對數(shù)流速分布律［7］。研究表明，冰下水流流速事關輸水工程冰期的輸水能力與輸水效率［8-9］，因此，對冰下水流垂線流速分布的研究非常重要。目前，對封凍河道水流運動特性的研究，常采用Einstein［10］提出的阻力劃分原則，以最大流速線為界，沿水深方向將水流分成兩層等效明流流動層（冰蓋區(qū)和床面區(qū)），并假定分層水流相互獨立，分別只受冰底和床面糙率影響，分層水流流速均服從對數(shù)分布；陳永燦等［11］結合縱向流速沿垂向的雙對數(shù)分布律，建立了全過流斷面的流速分布；Larsen［12］利用冰蓋流的原型觀測資料，對流速分布曲線進行了描述，分析得出冰蓋對水流流速分布的影響只限于靠近冰蓋的上層，而靠近河床的下層流速則不受冰蓋制約，驗證了Einstein 假定的正確性；Lau 等［13］進一步研究發(fā)現(xiàn)，冰蓋和床面糙率出現(xiàn)差異時，最大流速點會偏向光滑的一側，二者糙率相等時，兩層流速分布對稱；Meyer［14］通過水流分區(qū)，給出了描述水流速度垂線分布的關系式，揭示了動床條件下冰下水流流動機理。

由于在工程應用中，水流流速分布多是基于方程求解得到的近似分布，對冰下水流，較為常見的是基于k-ε模型進行冰下水流流速分布研究［15-17］，但分析過程相對復雜。因此，從標度指數(shù)出發(fā)，尋找流速分布規(guī)律成為水流流速研究的突破口，分形理論即為典型。分形（Fractal）最初由美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）［18］于1970年代提出，用于描述自然界中具有自相似性、自仿射性的圖形、結構及現(xiàn)象，如山脊線、海岸線等自然現(xiàn)象。分形理論現(xiàn)已在河流（網(wǎng)）的非線性動力系統(tǒng)防災［19］等研究領域被廣泛應用。

黃才安等［20］基于分形理論，對明渠水流流速及含沙量垂線分布的自相似性進行了研究，表明分形理論能推出明渠水流垂線流速分布和含沙量分布公式。由Einstein 的阻力劃分原則及假定，冰蓋下水流流速垂線分布可視為兩層等效明流對數(shù)分布，類似于倪志輝等［21］提出的潮流中Ⅱ型垂線流速分布中的“C”型分布，研究結果表明，該Ⅱ型流速垂線分布同樣存在變維分形現(xiàn)象。因此，對于冰蓋下的水流垂線流速分布研究，不妨嘗試在明渠研究的基礎上，利用分形理論進行延伸，完善不同工況下水流垂線流速分布的研究成果。

河流彎道常常是封凍期引起卡冰結壩的位置，水內冰花形成及演變受制于水流速度場及溫度場的分布［22］，且低溫水流狀態(tài)下的泥沙具有較高的懸浮效率［23］，泥沙重分布也會引起水流結構的調整，冰-水-沙-床-岸相互作用及變化過程與水流垂線流速分布直接相關。因此，分析冰蓋條件下水流流速分布有助于理解冰凌生消、泥沙輸移、河床演變過程及冰下輸水能力，為工程實際提供設計、施工等理論依據(jù)，對防凌減災工作具有一定的實際意義。

2 研究區(qū)域概況及方法

2.1 研究區(qū)概況什四份子彎道地處黃河內蒙古段下游（圖1），位于呼和浩特市托克托縣段，北緯40°17'39″，東經(jīng)111°2'53″。河道呈上游西北急轉為下游東南的“Ω”形走勢，彎道曲率大，水流進出彎道方向約120°，河道比降約0.1%，河寬200 ～600 m。河道冰期多出現(xiàn)于11月下旬至翌年3月中下旬，持續(xù)百余天，多年（1998—2015年）平均流凌、封河及開河日期分別為11月22日、12月16日和3月17 日。封凍期，什四份子彎道兩側岸冰的生長，逐漸縮小河面寬度，同時有效輸冰河寬在彎頂所在斷面急劇縮小，嚴重降低水流的輸冰能力，因此，該彎道常成為初始卡冰位置［24］。此外，在彎道卡口段（1—3 斷面），河道橫斷面沿程束窄，加上垂向冰層的熱力與水力增厚，明顯降低了水流過流能力，引起冰下水流流速重分布。因此，了解彎道卡冰處的流速分布，將有助于研究彎道冰塞的分布及發(fā)展過程。

圖1 什四份子彎道及斷面分布

2.2 數(shù)據(jù)來源及方法冰封期（2019年1月10—13日）在什四份子彎道處進行鉆孔測流，測流時間主要為下午3 點至5 點?；贏DCP 測流技術［25］，采用鉆冰機結合鐵釬進行原位鉆孔，通過下放ADCP潛入冰花層以下進行定點測量，流速測量采用延時采樣，采樣歷時1 min、垂向采樣間距10 cm，提取單孔測量數(shù)據(jù)，并按一定流速比尺進行表達，結果如圖2，橫線越長流速越大。為減小水流脈動影響，對采集的連續(xù)數(shù)據(jù)流進行平均，得到單孔有效水深下的垂線流速分布。試驗共布設3 個斷面（圖1右下角彩圖，順水流方向依次為1斷面、2斷面、3斷面），總計58個冰孔，各斷面上每孔間隔20 m（近岸部分為10 m），其中測流共計34孔，未測流孔位用測深錘補充水深值。冰下水流流速因河型不同會出現(xiàn)一定的差異，為反映分形理論對不同河型的適用程度及水流垂線流速的分形現(xiàn)象，采用了頭道拐水文站同期的水流垂線速度分布值（流速儀實測），該水文站位于什四份子彎道下游約5 km處，所處河道為順直型。

圖2 ADCP定點測流

基于分形理論，研究冰蓋下水流流速垂線分布規(guī)律。分形原意是“不規(guī)則的，支離破碎的”，但體現(xiàn)了自然界某一類對象，其局部與局部/整體在形態(tài)和信息上具有自相似性的基本屬性。自相似性可描述為標度不變性，即某一分形對象，其空間尺度r（或時間尺度t）倍乘λ后，其結構特征不變，只是在原來的基礎上進行放大或縮小。標度不變性滿足下式：

式中：λ為比例系數(shù)；α為標度指數(shù)；f（r）為某一物理量；f（λr）為f（r）乘以λ倍后對應的值。

式（1）也稱為標度律，對尺度的選擇可以是空間也可以是時間，當空間尺度r表征為長度時，標度指數(shù)α與分形維數(shù)D滿足：α+D=1。其中，分形維數(shù)D是描述分形集幾何特征的定量參數(shù)，可用來反映垂線流速分布的均勻程度，D值越大，垂線流速分布越均勻［26］。然而，對于同一河道斷面的不同位置處，D值也可能不同。

分形標度律說明，盡管分形現(xiàn)象是復雜的，但是具有標度不變性，天然河道中的水流結構雖然復雜，但是對于明渠時的某一固定水深，沿水深方向整體水流垂線流速分布可看作是由對應某一水深處流速值的組合形式。垂線流速的分布特點體現(xiàn)了分形中局部與整體的自相似性，因此，該特點為分形理論在流速垂線分布的應用上奠定了基礎。綜上，運用自相似分形標度律的基礎，重點在于空間尺度r（或時間尺度t）及物理量f（r）的遴選，且所選目標須具備自相似分形的特點。依托前人在明流條件下的工作基礎，嘗試基于分形理論研究冰下水流流速垂線分布，作為明渠水流研究成果的一個拓展。

3 結果分析

3.1 暢流期水流流速垂線分布依據(jù)黃才安等［20］的研究結果，明渠水流的流速垂線分布如圖3（a）所示。顯然，明渠條件下的水流流速分布具備分形特征，即通過放大圖形OABO 一定倍數(shù)（λ）后得到的圖形類似于OCDO，此時空間尺度r為長度y，對應物理量為流速u。因此，有：f（r）=u（y），λr=h=（h/y）y=λy，其中λ=h/y。由分形標度律可得：

圖3 暢流期和冰封期水流流速垂線分布

式（4）即為明渠條件下水流流速垂線分布的指數(shù)形式，此時標度指數(shù)α=m，表示流速分布指數(shù)，說明基于分形理論能推得明渠水流的流速垂線分布公式。關于明渠水流垂線流速分布的研究已屢見不鮮［27-29］，但總體而言，流速分布型式仍為常見的對數(shù)或指數(shù)型。

3.2 冰封期水流流速垂線分布冰下水流垂線流速分布如圖3（b），一些學者的研究結果將其歸結為拋物線分布［30］或雙冪律分布［31］。采用Einstein 的劃分方法，以最大流速線作為分界線，將冰-床雙邊界條件下的整個水流分成冰蓋區(qū)（CEDC）和河床區(qū)（OEDO），則兩個分區(qū)水流的流速垂線分布均近似呈指數(shù)或對數(shù)分布。

（1）在河床區(qū)（0≤y≤hm），由于冰蓋區(qū)與河床區(qū)互不影響，水流垂線流速分布服從明渠水流的指數(shù)或對數(shù)分布。以指數(shù)分布為例，λr=hm=（hm/yb）yb=λyb，其中λ=hm/yb。流速分布即為：

式中：ub為距離河床yb處的流速；hm為最大流速點位置距離河床的高度；yb=y；αb=mb。

（2）在冰蓋區(qū)（hm≤y≤h），以指數(shù)分布為例，則冰蓋區(qū)流速分布與河床區(qū)流速分布鏡像，即：

式中：ui為距離冰蓋yi處的流速；yi=h-y；αi=mi。

以上分析結果表明，冰下分區(qū)水流流速垂線分布與明渠水流的流速垂線分布一致。

通過差異選取空間尺度，采用不同的比例系數(shù)和標度指數(shù)，基于明渠條件下不同學者的流速分布研究成果，可得到冰蓋下不同形式的河床區(qū)和冰蓋區(qū)流速垂線分布公式（表1、表2）。研究結果表明，利用分形理論能得到明渠水流的流速垂線分布公式，同時也能拓展到冰蓋水流的研究中。

表1 由分形理論得到的各種形式冰蓋下河床區(qū)流速分布公式

表2 由分形理論得到的各種形式冰蓋下冰蓋區(qū)流速分布公式

在研究水流流速垂線分布時，多采用基于Prandtl 假設的對數(shù)分布公式。對冰蓋水流，由于雙對數(shù)流速分布公式形式簡單，具有一定的理論基礎且準確性較高等特點，因此應用廣泛。雙對數(shù)流速分布公式（此處進行了統(tǒng)一）簡記為：式中：河床區(qū)x=b；冰蓋區(qū)x=i；ux為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的流速；yx為距離冰底或床面的高度；Kx為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的當量粗糙高度；u*x為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的摩阻流速；κ為卡門常數(shù)。

利用分形理論可容易推得冰下分區(qū)水流的流速對數(shù)分布公式，在公式的統(tǒng)一上，基于Odggard［32］對明渠水流的研究成果，Tsai［33］提出了冰下水流流速的雙冪律分布公式，即：

式中：K0為給定流量下的常數(shù)；y為距離床面的高度；h為水深；α1為與流量阻力項有關的參數(shù)；α2為與河床和冰蓋阻力特性有關的參數(shù)。

式（9）的推算正是由Tsai等通過式（5）、式（6）合并而成。

以上分析結果表明，從分形理論出發(fā)，通過適當整合轉化，能推出不同形式的冰下水流流速分布公式。

3.3 冰蓋下水流流速垂線分布分析采用野外觀測的垂線流速數(shù)據(jù)組進行冰下水流垂線流速分布的規(guī)律分析，其中什四份子彎道3 個斷面共34 組、頭道拐水文站大斷面11 組。因ADCP 上下測流盲區(qū)的限制，冰蓋下和河床上的局部區(qū)域無實測流速值，受冰蓋與河床糙率影響，冰蓋底部和河床表面流速很小，常以0值處理，限于篇幅，僅給出1、3斷面中典型垂線的分析結果（圖4）。由于河槽不同區(qū)域分布有厚度不一的冰花，ADCP實測流速均為冰下有效水深的流速。

3.3.1 彎道處（什四份子） 1 斷面5#孔和21#孔分別為凹（左）岸和凸（右）岸兩側主流中水深較大的孔位，不難看出，無論是ADCP實測的全流速（非嚴格意義上整個水深的全部流速），還是以冰封期六點法從中提取的流速（ADCP多點測量與流速儀單點測量結果一致性較好［25］），垂線上最大流速點的位置均位于水深的中上部分（圖4（a）），但更接近中部。由于最大流速點位置與冰蓋和河床糙率有關，當二者糙率相等時，最大流速點位于水深中央，因此，以0.5h為界，將整個水深分為上下兩層。因最大流速位置偏向光滑一側，說明1斷面冰蓋底部的糙率小于河床表面糙率，但相差不大。反觀3斷面2#孔和12#孔的測量結果，ADCP 實測的垂線流速，由于冰蓋區(qū)和河床區(qū)流速最大值非常接近，最大流速點難以界定，僅能從單點值大小判斷最大流速位于上層水深；而六點法中的最大流速則位于下層水深（圖4（b）），這種差異其實與水流的脈動作用及時均效應有關。事實上，通過對34組測流結果的分析，ADCP實測最大流速點所在區(qū)域與六點法得出的結果吻合度達90%，34組測流中，垂線最大流速點位于上層水深的占85.3%，且多接近于0.5h，表明此試驗階段，冰蓋底部相對平滑，冰底糙率與河床糙率趨于平衡，在水深較淺的垂線（12#、7#）上也有類似特征。

彎道水流的特殊結構會引起流速重分布，冰蓋下彎道水流在各向均有不同表現(xiàn)，主要取1、3 斷面進行分析（圖4）。流速沿縱向的重分布表現(xiàn)為：凹岸一側水流流速沿程變化不大，平均流速變幅在0.1 m/s 以內，凸岸一側水流流速基本不變，維持在1.0 m/s 左右，最大流速貼近凸岸；流速沿橫向表現(xiàn)為：凹岸一側水流平均流速（0.7 ～0.8 m/s）小于凸岸（0.9 ～1.0 m/s），中部流速最?。?.5 ～0.6 m/s），原因是凹岸一側水流受護岸回推及頂托產(chǎn)生的回流影響，水流動能削弱，且凹岸一側冰花較厚（疑為冰塞），冰花對水流產(chǎn)生的阻力也會降低水流流速；流速沿垂向表現(xiàn)為：冰蓋區(qū)和河床區(qū)流速分布較為均勻，且平均流速大小相近。總體來看，各測點水流流速垂線分布呈“震蕩”型式，尚不能清楚辨識流速分布規(guī)律，因此，需要采用數(shù)學方法進一步分析其分布特性。

圖4 什四份子彎道部分點位流速垂線分布

分析冰下水流結構，利用雙對數(shù)分布公式進行流速擬合。由式（7）可得：

式中：A為某一常數(shù)；B為斜率。

以ADCP 流速起止點為參考點，對上下盲區(qū)進行線性內插（流速近似線性增大）。選取1斷面中兩條典型垂線，按照式（10）進行擬合，結果如圖5。結果表明，ADCP 實測冰蓋區(qū)與河床區(qū)的流速均具有分形特征，用雙對數(shù)分布公式對流速分布的表達效果較好，但在流動核心區(qū)，點群偏離擬合直線且分布較為集中，表明核心區(qū)流速并不服從對數(shù)分布，與茅澤育等［15］的研究結果一致。因此，針對不同需求，利用冰下水流流速垂線分布公式時需考慮其適用性。

對ADCP實測水流流速分布進行分維計算。因彎道水流流態(tài)復雜，流速混亂，故在建立線性趨勢的基礎上遴選出符合趨勢的流速點。分維計算公式可簡要概括為［26］：

圖5 什四份子彎道1斷面流速雙對數(shù)分布

式中：C為系數(shù)；D為分維值。

選取水深值較大的幾條典型垂線進行流速分布的分維計算，選定的垂線覆蓋兩側河槽，率定結果具有代表性。統(tǒng)計的分維值能反映分區(qū)水流流速的分布特性，其大小可以表征挾沙水流流速分布的均勻程度，對冰下泥沙及污染物濃度分布、水流離散程度及挾沙能力的研究有參考意義。計算結果如表3。

表3 典型垂線流速分布的分維結果

分析典型垂線的流速分布的分維值。結果表明，冰蓋區(qū)水流流速D值范圍為0.70 ～0.93，在河床區(qū)則為0.01 ～0.95，冰蓋區(qū)的D值明顯大于河床區(qū)（除12#），說明彎道處的冰蓋水流，其冰蓋區(qū)的流速分布比河床區(qū)更為均勻。對比彎道兩側河槽，1 斷面凹岸一側水流冰蓋區(qū)流速的D值小于凸岸，3斷面則相反，說明1 斷面凹岸一側冰蓋區(qū)流速分布比凸岸均勻，在3 斷面出現(xiàn)異岸轉移；1 斷面凹岸一側河床區(qū)流速D值也大于凸岸，但3斷面無明顯規(guī)律。由于3斷面為彎頂段，最容易卡冰，受彎頂護岸頂托及回流作用，水流會發(fā)生明顯的摻混，同時，3斷面凹岸河槽存在大量的冰花，加上彎頂螺旋流影響，多因素疊加作用使得該斷面水流分布不均勻。

圖6 頭道拐水文站流速垂線分布

圖7 頭道拐水文站冰厚、水深分布

3.3.2 直道處（頭道拐水文站） 頭道拐水文站的三點法測量結果中，冰下水流流速垂線分布呈明顯的鏡像結構，分形特征顯著，表明分形理論也能應用于直河道的冰下水流結構研究。大斷面近岸兩側流速小，沿河寬方向流速逐漸增加，清溝左側主流流速大于右側，冰蓋下河道左右側的流速垂線分布非常一致，最大流速點基本位于水深中央（圖6），而左右側水深分布不均（圖7），說明冰下水流最大流速點的分布與水深大小無關，當然，這也只是因為三點法只選取了0.15、0.5、0.85 m 水深處的流速，實際上最大流速在上下層水深均有可能存在，要獲得準確結果，需多次進行加密測量，但同時會明顯增加工作量；在處理一些工程實際問題時，由于最大流速點很難準確界定，只需獲得其大概位置即可。對二點法、三點法測流試驗的評估［31］，冰期采用的二點法、三點法等點測量方法，測流誤差較小，利用雙冪律分布公式擬合，結果良好，說明冰期采用三點法得到的測流結果是合理的，能概化冰下水流結構。相較于ADCP 測流技術，由于三點法漏測了許多垂線點，因此對流速垂線分布的概化偏于理想化，但總體上，三點法實測直河道的冰下水流垂線流速分布仍具備良好的分形特性，基于分形理論推求的冰下水流垂線流速分布公式仍可沿用。計算水文站各測點水流垂線流速分布的分維值，冰蓋區(qū)D值范圍為0.50 ～0.97，河床區(qū)則為0.07 ～0.70，仍表現(xiàn)為冰蓋區(qū)流速分布比河床區(qū)均勻，而清溝左右兩側水流流速分布的D值差異不大，表明河槽兩側流速分布的一致性較好。

無論是彎道還是直河道，冰下水流流速垂線分布在冰蓋區(qū)和河床區(qū)均具有分形特征，能用雙對數(shù)分布或雙冪律分布進行描述。然而對于彎道，受雙層反向環(huán)流影響，冰蓋區(qū)和河床區(qū)水流流速分布較為均勻，且大小相近，表明在有冰蓋影響下，水流流速在流動核心區(qū)一定范圍內并不服從對數(shù)分布。因此，對不同河型，運用冰下水流流速分布公式時，需考慮適用性或引入因子項。

4 結論

以黃河內蒙古什四份子彎道和頭道拐水文站直河道為研究對象，基于分形理論對冰蓋下水流流速的分布規(guī)律進行了研究。（1）分形理論不僅可以應用于明渠水流，對冰蓋下水流流速垂線分布同樣適用，通過分形理論可推出冰蓋條件下水流流速垂線分布公式；（2）冰蓋下的水流分布，無論是冰蓋區(qū)還是河床區(qū)，其流速垂線分布均具有分形現(xiàn)象，能用雙對數(shù)分布公式表達；然而，彎道水流垂線流速在水流核心區(qū)不服從對數(shù)分布。因此，對不同河型，使用流速分布公式需考慮公式的適用性或引入其他因子項（如環(huán)流因子）；（3）穩(wěn)封期，最大流速點接近水深中央，冰蓋糙率多小于河床糙率，但差值不大，體現(xiàn)為二者逐漸向平衡態(tài)逼近。冰蓋區(qū)水流流速分布的分維值大于河床區(qū)，流速分布沿水深方向均勻化，但對彎道而言，彎頂處受冰花堆積與水流摻混影響，河床區(qū)水流流速分布的分維值不規(guī)律。

推求的冰下水流流速分布公式，完善了分形理論在水流流速垂線分布方面的研究。由于糙率對水流結構的影響顯著，而冰蓋糙率在整個封凍期一直處于動態(tài)變化中，研究只涉及了穩(wěn)封期的流速分布，因此，需要進一步分析封河過程前期、后期冰蓋糙率的變化對水流流速垂線分布的影響，同時，應當考慮流速公式在天然河道的可移植性并適當予以修正，提升基于分形理論推求的流速分布公式在不同工況下的普適性及準確度。