馬 晨 光， 于 曉 強(qiáng)， 楊 飛 飛， 牟 俊

( 大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

憶阻器是除電阻、電容、電感以外的第4種基本電氣元件。由憶阻器構(gòu)建的混沌電路可被廣泛地應(yīng)用于物理、生物醫(yī)學(xué)、保密通信及信息安全領(lǐng)域[1]，因此構(gòu)建性能良好的憶阻混沌電路引起了學(xué)者廣泛關(guān)注[2]。憶阻器是描述電荷與磁通量之間關(guān)系的器件，一般分為荷控憶阻器和磁控憶阻器，其主要區(qū)別在于主導(dǎo)量的不同，荷控憶阻器的主導(dǎo)量是電荷，而磁控憶阻器的主導(dǎo)量是磁通量[3]。迄今為止，有許多基于憶阻器的混沌電路被提出。其中，牟俊等[4]利用常用的電子元件等效了有源憶阻電路，通過電路仿真證明了等效電路的有效性；阮靜雅等[5]基于洛倫茲系統(tǒng)設(shè)計(jì)出了一個(gè)超混沌憶阻電路，并分析了其動(dòng)力學(xué)特性；葉曉林等[6]基于文氏橋自激振蕩電路設(shè)計(jì)出超混沌系統(tǒng)，利用SE和C0復(fù)雜度算法分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。這些分析都是基于整數(shù)階憶阻混沌電路，相比于整數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階憶阻混沌系統(tǒng)往往具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

分?jǐn)?shù)階微積分定義主要有Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階微積分定義和Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義。分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)求解方法主要有3種，分別是頻域分析法[7]、預(yù)估校正法[8](ABM)和Adomian算法(ADM)[9]。其中ADM算法精度較高，收斂快，不需要離散化處理，并且占用的計(jì)算機(jī)內(nèi)存較小，被廣泛地應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分析。孫克輝等[10]采用直接觀測(cè)相圖、計(jì)算功率譜等方法對(duì)分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性做了詳細(xì)的分析；賀少波等[11]利用ADM算法對(duì)分?jǐn)?shù)階離散洛倫茲系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值分析；Xu等[12]利用ADM算法對(duì)簡(jiǎn)化統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析。這些研究表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)通常比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。Bao等[13]設(shè)計(jì)出一個(gè)簡(jiǎn)單的三階憶阻混沌電路，并對(duì)其混沌特性進(jìn)行了詳細(xì)的分析，但是沒有對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行分析。

因此，本文在三階憶阻混沌電路基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階憶阻帶通濾波混沌電路系統(tǒng)，利用SE和C0復(fù)雜度算法[14]評(píng)價(jià)系統(tǒng)的隨機(jī)性，對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)動(dòng)力學(xué)特性分析。

1 BPF憶阻混沌電路系統(tǒng)

一個(gè)改進(jìn)的荷控憶阻等效電路如圖1所示。該電路由1個(gè)電容、2個(gè)乘法器、3個(gè)電阻和2個(gè)運(yùn)算放大器組成，其中v和i分別代表輸入端的電壓和電流，V0代表積分電容C0兩端的電壓，g是乘法器之間的比例系數(shù)。該憶阻器可表述為

(1)

圖2(a)是帶通濾波電路，與典型的文氏振蕩電路類似，但拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并不相同。將圖2(a)中的電阻R替換為圖1所示的改進(jìn)型荷控憶阻器，得到憶阻帶通濾波混沌電路(圖2(b))。

根據(jù)憶阻器模型和憶阻電路，基于基爾霍夫定律和歐姆定律，可得系統(tǒng)電路方程：

(2)

式中：k=1+R2/R3，V0，V1，V2為電路中3個(gè)結(jié)點(diǎn)的電位，令x=V0，y=V1，z=V2，u=du/dτ(u≡x，y，z)，C1=C2=C，τ=t/R1C，a=R1C/RbC0，b=R1C/RaC0，c=R1/Rc。代入式(2)對(duì)電路參數(shù)做無量綱處理，可得系統(tǒng)方程為

(3)

令a=8，b=80，c=500/3，g=0.1，k=21。

由于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程不含常數(shù)項(xiàng)，顯然(0，0，0)是系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)。在平衡點(diǎn)附近任選取一點(diǎn)為初始值，觀測(cè)該系統(tǒng)吸引子的范圍，若初始值選取在吸引子范圍之外，則系統(tǒng)發(fā)散。選取x0=[0，0.000 001，0]為初始值，此時(shí)吸引子相圖如圖3所示，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為(1.089 3，0，-6.224 0)，李雅普諾夫分?jǐn)?shù)維度DL=2.175。此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖3 三維吸引子相圖Fig.3 Diagram of 3D attractor phase

2 分?jǐn)?shù)階憶阻混沌電路的數(shù)值分析

2.1 Adomian分解算法

(4)

(5)

根據(jù)Adomian分解法原理，非線性部分可分解為

(6)

式中：i=0，1，…；j=0，1，…，n。由此非線性項(xiàng)可表示為

(7)

因此方程(4)的解為

(8)

其運(yùn)算關(guān)系為

(9)

2.2 系統(tǒng)方程的數(shù)值解

由系統(tǒng)方程(3)，可得分?jǐn)?shù)階憶阻混沌電路的系統(tǒng)方程：

(10)

根據(jù)Adomian算法，系統(tǒng)線性、非線性和常數(shù)部分為

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)式(6)對(duì)非線性項(xiàng)x12x2進(jìn)行分解，在保證計(jì)算精度的前提下截取前5項(xiàng)，可表示為

(15)

(16)

由初始條件可得

(17)

(18)

令

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

則系統(tǒng)方程的解為

(24)

在求解過程中將積分區(qū)間分成區(qū)段(tk，tk+1)，所得結(jié)果為區(qū)段(tk+1，tk+2)的初始值。令h=(tk-tk-1)，共需要(tk+1-tk)/(h-1)次迭代。

3 分?jǐn)?shù)階憶阻混沌電路動(dòng)力學(xué)分析

3.1 參數(shù)a變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

令q=0.9，初始值x0=[0，0.000 001，0]，h=0.001。此時(shí)系統(tǒng)相圖(見圖4)，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為(1.825 5，0，-12.925 1)，李雅普譜夫分?jǐn)?shù)維度DL=2.141 2。其中，只有一個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，因此系統(tǒng)此時(shí)處于混沌狀態(tài)，且此時(shí)最大李雅譜諾夫指數(shù)比整數(shù)階最大李雅譜諾夫指數(shù)大，系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的混沌特性。

圖4 a=8時(shí)的系統(tǒng)三維相圖Fig.4 3D phase diagram of system with a=8

令q=0.9，當(dāng)a從7變化到11時(shí)的系統(tǒng)的分岔圖如圖5(a)所示。當(dāng)參數(shù)a∈(7，7.172)和a∈(8.925，11)時(shí)，系統(tǒng)處于周期態(tài)。而當(dāng)a∈(7.172，8.925)時(shí)，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

(a) 分岔圖

(b) 李雅譜諾夫指數(shù)譜

(c) SE復(fù)雜度

(d) C0復(fù)雜度

圖5 系統(tǒng)復(fù)雜度隨參數(shù)a變化

Fig.5 The influence of parameter a on the system

基于ADM算法，利用QR分解法求出系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的李雅譜諾夫指數(shù)譜如圖5(b)所示。當(dāng)a∈(7.172，8.925)時(shí)，系統(tǒng)的李雅譜諾夫指數(shù)為正值，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，這一結(jié)論與分岔圖相對(duì)應(yīng)。特別地，當(dāng)7.809

3.2 系統(tǒng)隨階數(shù)q變化的動(dòng)力學(xué)特性

令a=8，仿真結(jié)果表明，當(dāng)q<0.4時(shí)，系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)，q∈(0.4，0.709)時(shí)，系統(tǒng)是周期態(tài)。取q∈(0.5，1)，并保持其他參數(shù)和初始值不變時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖如圖6(a)所示。當(dāng)q>0.709時(shí)，系統(tǒng)通過倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)隨階數(shù)q變化的李雅譜諾夫指數(shù)譜如圖6(b)所示，系統(tǒng)混沌特性主要被最大李雅普諾夫指數(shù)影響，因此為了顯示清楚，圖6(b)中省略最小李雅譜諾夫指數(shù)曲線。從李雅譜諾夫指數(shù)譜中同樣可以看出李雅譜諾夫指數(shù)隨階數(shù)q的增加而增加，產(chǎn)生混沌的最小階數(shù)為0.709，與分岔圖完全對(duì)應(yīng)。

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，分析隨階數(shù)q變化時(shí)系統(tǒng)的C0和SE復(fù)雜度如圖6(c)、圖6(d)所示。當(dāng)0.50.709時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜度增大，其動(dòng)力學(xué)特性更加復(fù)雜。

令a=8，q分別取0.65和0.8，初始值x0=[0，0.000 001，0]。作出系統(tǒng)在y-z平面的相圖和在x=1平面，y-z軸的Poincaré截面如圖7所示，當(dāng)a=8，q=0.65時(shí)，系統(tǒng)相圖為一個(gè)極限環(huán)，Poincaré為離散點(diǎn)；a=8，q=0.8時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子，Poincaré為分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，均與分岔圖、李雅譜諾夫指數(shù)譜相對(duì)應(yīng)。

3.3 系統(tǒng)隨參數(shù)a和階數(shù)q同時(shí)變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性

令初始值為x0=[0 0.000 001 0]，h=0.001，并保持其他參數(shù)值不變?；谧V熵SE和C0算法，得到二維SE和C0復(fù)雜度等高線如圖8(a)、(b)所示。該圖表示系統(tǒng)隨參數(shù)a和階數(shù)q同時(shí)變化時(shí)的復(fù)雜度，為選取合適的系統(tǒng)參數(shù)和階數(shù)，以便對(duì)其進(jìn)行更好的應(yīng)用提供了參考。在圖8中，不同的顏色代表了復(fù)雜度的不同，顏色越深代表復(fù)雜度越高，混沌序列隨機(jī)性越高。SE復(fù)雜度的最大值為0.371 2，對(duì)應(yīng)的a=7，q=0.824 3，最大李雅譜諾夫指數(shù)為3.419；C0復(fù)雜度的最大值為0.111 3，a=7，q=0.720 7，最大李雅譜諾夫指數(shù)為6.324 3。需要指出的是在當(dāng)a=7，0.720 7

(a) 分岔圖

(b) 李雅譜諾夫指數(shù)譜

(c) C0復(fù)雜度

(d) SE復(fù)雜度

圖6 系統(tǒng)復(fù)雜度隨階數(shù)q變化

Fig.6 The influence of orderqon the system

(a) y-z平面(q=0.65)吸引子相圖

(b) Poincaré截面(q=0.65)

(c) y-z平面(q=0.8)吸引子相圖

(d) Poincaré截面(q=0.8)

圖7 系統(tǒng)相圖和Poincaré截面

Fig.7 Phase diagram and Poincaré section of the system

4 結(jié) 論

在構(gòu)建的憶阻帶通混沌濾波電路基礎(chǔ)上基于Adomian算法計(jì)算了分?jǐn)?shù)階憶阻混沌電路的數(shù)值解。分析結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階憶阻混沌系統(tǒng)相比于對(duì)應(yīng)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)更大。SE和C0分析表明系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和序列更加復(fù)雜，更適合應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域。參數(shù)a=7，階數(shù)q∈(0.8，0.9)時(shí)，系統(tǒng)混沌序列的隨機(jī)性最好，安全性最高。研究結(jié)果為將憶阻帶通濾波混沌電路應(yīng)用于保密通信等領(lǐng)域提供了理論基礎(chǔ)，具有較高的理論和應(yīng)用價(jià)值。

(a) 二維-SE復(fù)雜度

(b) 二維-C0復(fù)雜度

圖8 系統(tǒng)隨參數(shù)a和q變化的復(fù)雜度

Fig.8 Complexity of the system varying with parametersaand orderq