□宋秋萍

一、插值法的基本原理

學習財務管理或管理會計一定學過插值法。幾乎所有的教材中都會介紹到這種方法，其主要用在資金時間價值計算和長期投資決策中。它的基本原理是：當自變量和因變量的變動幅度都較小時，它們的變動幅度大致相等。教材中的插值法是根據(jù)線性函數(shù)設置的一種計算方法，如果不是線性函數(shù)關(guān)系，因變量變動幅度非常小時，也可以近似地把它看成線性函數(shù)關(guān)系，因為曲線上很短的一段可以近似地看作直線。非線性函數(shù)計算中，如果自變量數(shù)值變動范圍增大，取值的點就會明顯地不在一條直線上，計算結(jié)果的誤差就會增大。而在資金時間價值的計算中，幾乎所有的公式都不是線性關(guān)系，因此，插值法計算一般都會有誤差。所以，插值法在應用中一直要強調(diào)自變量的變動幅度不能過大。

在直線函數(shù)情況下，用插值法計算的結(jié)果是準確無誤的，即使自變量變動幅度很大。

例1：已知某直線函數(shù)式中，x1=1，y1=15；x3=3，y3=25，當y2=20時，x2=?

根據(jù)上述公式：

因公式比較難記，人們多采用作圖的方法幫助計算，按照⑥式可作圖如下：

則有：c/2=5/10 c=1 x2=2

這個結(jié)果是準確無誤的。因為這里設定的函數(shù)是y=10+5x，是一條直線，這個函數(shù)式也可以通過已知條件求出。

解方程可得：a=10，b=5

將x2代入式中，可以驗證。

20=10+5×2

如果不是線性函數(shù)，會是什么情況呢？

例2：利率為8%時，（1+8%）2=1.1664，利率為10%時，（1+10%）2=1.21，利率為12%時，（1+12%）2=1.2544。假設不知道利率是多少時它的復利終值系數(shù)為1.21，用插值法可計算如下：

我們知道這個利率應該是10%，計算過程中并不存在計算尾數(shù)差的問題，只是因為這個函數(shù)式不是直線函數(shù)式，所以不可能精準，這是插值法內(nèi)在的不可避免的缺陷。

二、插值法的使用缺陷

（一）計算繁瑣

插值法的計算是比較繁瑣的，尤其是需要和逐次測試法結(jié)合使用時更是如此。

例3：王先生每年末投資10000元，連續(xù)10年，如果他希望10年后的本利和能達到300000元，投資收益率應該是多少？

應用插值法求解的步驟如下：

首先，對給出條件進行分析，建立數(shù)學模型。每期期末支付的10000元，屬于普通年金，300000元為該筆年金的終值，10年為期數(shù)，根據(jù)年金終值的計算公式，可以建立下列等式：

其次，查看年金終值系數(shù)表。查表可得：10期的利率20%的年金終值系數(shù)為25.959，24%的年金終值系數(shù)為31.643，說明要求的利率在20%～24%之間。

第三，通過插值法計算：

也可以直接使用現(xiàn)成的公式：

i=i1+B-B1/B2-B1×(i2-i1)

式中i為所求利率，i對應的年金終值系數(shù)為B，B1、B2為年金終值系數(shù)中與B相鄰的系數(shù)，i1、i2為B1、B2對應的利率。其實這個公式和作圖的實質(zhì)是一樣的。

從該例中可以看出：計算過程比較繁瑣，需要作圖或記憶公式，作圖比較直觀，公式雖然不難，但要分清其中的一一對應關(guān)系并記住它是比較難的，是很容易出錯的。

使用插值法的前體條件是自變量的變化幅度較小時，其與因變量的變動幅度基本相同，如果自變量變動幅度稍大，這一關(guān)系就不存在。因此，使用插值法往往需要結(jié)合使用逐次測試法來縮小自變量的變化范圍。所謂逐次測試法就是拿一個個數(shù)值去試算，直到找到和目標自變量相鄰的兩個變動幅度較小的自變量時才可以再用插值法?，F(xiàn)金流量比較復雜的情況下往往需要這樣做。

例4：某先生希望將他的儲蓄500000元進行投資，在未來3年分別得到150000元、200000元和300000元的現(xiàn)金流入，要實現(xiàn)這一愿望，投資報酬率應該是多少？

按照插值法，一般需要以下步驟：

首先，建立數(shù)學模型：

500000=150000×(1+i)-1+200000×(1+i)-2+300000×(1+i)-3

其次，使用逐次測試法找到目標利率或和目標利率緊密相鄰的兩個利率。

因為并不知道利率或與之最接近的利率是多少，只好用一個利率先試試，假設選擇利率為10%，則：

150000×(1+10%)-1+200000×(1+10%)-2+300000×(1+10%)-3=527035

這個值大于500000，需要提高利率再試，假設利率為12%：

150000×(1+12%)-1+200000×(1+12%)-2+300000×(1+12%)-3=506915

這個值仍然大于500000，再次提高利率到14%。為什么不選13%的利率呢？因為系數(shù)表上沒有這一檔利率。

150000×(1+14%)-1+200000×(1+14%)-2+300000×(1+14%)-3=493380

這個值小于500000元，說明利率在12%和14%之間。

第三步，用插值法計算目標利率：

從以上幾個例題可以看出，插值法的使用是比較繁瑣的。

（二）計算結(jié)果有較大誤差

產(chǎn)生這一缺陷的原因在插值法原理中已經(jīng)進行了分析，以例3和例4的數(shù)據(jù)進行驗算，看一下計算結(jié)果是否準確：

例3中，10000×［（1+22.8438%）］10-1/22.8438%=298806.08（元）

誤差值=300000-298806.08=1193.92（元）

例4中，150000×(1+12.73%)-1+200000×(1+12.73%)-2+300000×(1+12.73%)-3=499854.38

和500000元相比，有145.62的誤差。

可以看出，一般情況下，用插值法或多或少都會有誤差。

（三）需要依賴現(xiàn)成的系數(shù)表

在資金時間價值的計算中，插值法需要依賴現(xiàn)成的系數(shù)表才行。而系數(shù)表本身的缺陷對插值法計算結(jié)果的準確性有較大影響?；旧厦坎控攧展芾砘蚬芾頃嫿滩暮蠖紩袕屠K值系數(shù)表、復利現(xiàn)值系數(shù)表、年金終值系數(shù)表和年金現(xiàn)值系數(shù)表。由于版面限制，這些表所列出的時間和利率是有限的，尤其是利率，只有整數(shù)利率，如6%、10%，而沒有如3.52%這樣的在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中更可能頻繁出現(xiàn)的非整數(shù)利率，因而不能滿足各種計算需要。另外，也是由于版面限制，所有系數(shù)基本只能保留到小數(shù)點后四位，在資金量大、期數(shù)長的情況下使用，會造成比較大的誤差。

三、當前技術(shù)環(huán)境下財務管理實務和教學中均可以舍棄插值法

插值法產(chǎn)生和廣泛使用的年代技術(shù)條件落后，沒有現(xiàn)在這樣功能強大的計算器和辦公軟件，它的使用使一些復雜問題的計算得以實現(xiàn)，雖然結(jié)果并不精準，但其誤差可能并不大會影響到?jīng)Q策結(jié)果，或沒有更好的替代的辦法，因此，這種方法產(chǎn)生并一直被使用?，F(xiàn)在，時間已進入二十一世紀20年代，技術(shù)環(huán)境發(fā)生了巨大的轉(zhuǎn)變，計算方法不斷更新，在財務管理實務中可以很方便的使用金融計算器、電腦中的excel、甚至能用手機中的辦公軟件進行復雜計算，無需使用插值法這一繁瑣復雜、使用條件苛刻并且精準度差的傳統(tǒng)方法。即使是在財務管理教學中，可能課堂教學中不能做到人手一臺電腦或功能強大金融計算器，卻可以做到人手一部智能手機。手機信息技術(shù)不斷發(fā)展，功能日益強大，使用普及，師生們完全可以利用手機中的辦公軟件取代傳統(tǒng)的插值法，既方便快捷又可以提高計算的精度。下面利用安卓手機中的WPS來完成前面兩個例題的計算。

上述例3，具體計算步驟為：①打開WPS；②點右下角“+”新建；③新建excel表格；④新建空白表格；⑤點左下角功能按鈕，在出現(xiàn)的菜單中找到“插入”，點擊“函數(shù)”；⑥在函數(shù)列表中選擇“財務”函數(shù)；⑦計算利率的函數(shù)是RATE，點右側(cè)字母“R”能迅速找到目標函數(shù)；⑧點“RATE”函數(shù)，函數(shù)顯示需要輸入的項目分別是期數(shù)（nper）、年 金 （pmt）、 現(xiàn) 值 （pv）、 終 值 （fv）、 類 型（type）、推測（guess）。類型是指年金的類型，普通現(xiàn)金為0，先付年金為1，推測一般不填。根據(jù)資料填入相關(guān)數(shù)字，年金為-10000，現(xiàn)值為0，終值為300000，類型為0可以省略不填，√提交。顯示計算結(jié)果22.9243%

插值法計算誤差較大，而用手機中的excel則基本不存在這個問題。

可以驗算一下：

10000×［（1+22.9243%）10-1/22.9243%］=300000.48

和插值法的誤差1193.92元相比，0.48元的誤差幾乎可以忽略不計，精準度顯著提高。也可以多保留幾位小數(shù)進一步降低甚至完全消除誤差。而插值法即使增加保留的小數(shù)位也不能消除誤差。

同理，可以用同樣的步驟求解例4。

步驟①～④不變。打開空白表格后輸入該題第0～3 年 的 現(xiàn) 金 流 量-500000、150000、200000 和300000，再進行插入函數(shù)、用函數(shù)進行求解的操作。這個題需要用到的函數(shù)是內(nèi)涵報酬率IRR。在IRR函數(shù)的括號中選擇已經(jīng)輸入的現(xiàn)金流量數(shù)值，立即可以看到計算結(jié)果0.12714748，即12.7148%。

將這一計算結(jié)果驗算如下：

150000× （1+12.7148%）-1+200000× （1+12.7148%）-2+300000× （1+12.7148%）-3=499 999.51

和資料中的500000相比，只有0.49的計算尾數(shù)差，遠遠小于插值法145.62的誤差，可以忽略不計。

通過上述分析，可以得出結(jié)論：舍棄插值法是必要的，也是可行的。

四、舍棄插值法，教學考核怎么辦

在財務管理實際業(yè)務中或日常教學中完全可以舍棄插值法，但在不允許帶電腦、智能手機的場合如何解決這個問題呢？比如考試時可以采用以下幾個方法:

方法一：使用計算器。如某權(quán)威教材中的一個例題：鄭先生下崗獲得50000元現(xiàn)金補助，他決定趁現(xiàn)在還有勞動能力，先找工作糊口，將款項存起來。他預計如果20年后這筆款項連本帶利達到250000元，就可以解決自己的養(yǎng)老問題。問銀行存款的年利率為多少時該先生的目標才能變成現(xiàn)實?

根據(jù)題意可建立下列算式：

50000×(F/P，i，20)＝250000

(F/P，i，20)＝5，即(1+i)20＝5

教材中是這樣求解的：

首先，采用逐次測試法（也稱為試誤法）計算，找到能使復利終值等于或接近5的利率：

當i＝8%時，(F/P，8%20)＝4.6610，當i＝9%時，(F/P，9%，20)＝5.6044，因此，i在8%和9%之間。運用插值法求出的利率約為8.36%。

從這個例子可以看出插值法已經(jīng)嚴重的約束了人們的思維。既然（1+i）20=5，用最簡單的開方的方法一步就能求出來的利率，為什么要費盡周章折地先逐次測試再用插值法呢？而且計算結(jié)果還不準確。按照內(nèi)插法計算的利率8.36%，來看看鄭先生能否實現(xiàn)250000元的目標值。

50000×（1+8.36%）20=249086元，相差914元。

如果按照計算器算出的8.38%，鄭先生能否實現(xiàn)250000元的目標值呢？

50000×（1+8.38%）20=250007元，只有7元的計算尾數(shù)差，通過增加小數(shù)保留尾數(shù)，這個誤差完全可以消除。

方法二：考試設計中避免出現(xiàn)需要使用插值法的題目。資金時間價值的計算是考核的重點，插值法僅僅是一種計算工具，并不是考生必須掌握的技能，完全可以通過題目的設計來回避。

方法三：采用折中的方法。教材中仍保留插值法的講授與學習，以備各種考試之用。插值法本身并不難理解，掌握這種方法本身也沒有什么壞處，只不過用處不大，不應當成為資金時間價值計算中的主流方法在教學或?qū)嵺`中廣泛使用。應該增加新的計算方法的學習和應用，尤其是智能手機這樣便捷而強大的工具的使用。