宋 園

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000)

0 引 言

單位圓盤U={z:|z|<1}內(nèi)具有形式

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

的解析函數(shù)的全體記為H,H中的所有的單葉函數(shù)記為S.單位圓盤U={z:|z|<1}內(nèi)解析具有形式p(z)=1+c1z+c2z2+…且滿足Rep(z)>0的函數(shù)的全體記為P.

令a1=1,n≥1,q≥1.Noonan和Thomas[1]引入函數(shù)f(z)的q階Hankel行列式：

當(dāng)n,q取一些特殊值時(shí)，可得

則有H3(1)=a3H2(2)-a4(a4-a2a3)+a5H2(1).

圖1 葉形區(qū)域

在圖1中，h(u)為一個(gè)實(shí)軸從-1到2.2、虛軸從-0.7到0.7的關(guān)于實(shí)軸對稱有界的葉形區(qū)域.

則稱f(z)∈R(h).

在文獻(xiàn)[2]中給出如下定理：

定理3.1若f(z)∈R(h)，則有|a2|

|a3|

定理3.2若f(z)∈R(h)，則|a2a3-a4|結(jié)果是精確的.

定理5.1若f(z)∈R(h)，則H2(2)結(jié)果是精確的.

定理6.1若f(z)∈R(h)，則H3(1)結(jié)果是精確的.

最近國內(nèi)外許多作者[3-9]研究單葉函數(shù)類的三階Hankel行列式.許多作者在研究前幾項(xiàng)系數(shù)時(shí)用引理1導(dǎo)致結(jié)果有誤差,在處理二階Hankel行列式時(shí)出現(xiàn)處理錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.本文用引理1、2得到了函數(shù)類f(z)∈R(h)的三階Hankel行列式,改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.

引理1[10]假設(shè)p(z)=1+c1z+c2z2+…∈P,則

|pn|2 (n≥1).

引理2[11]假設(shè)p(z)=1+c1z+c2z2+…∈P，則存在復(fù)數(shù)y、z(|y|1,|z|1，)滿足

1 主要結(jié)果

定理1若f(z)∈R(h)，則有|a2|結(jié)果是精確的.

證明：如果f(z)∈R(h),那么存在施瓦茲函數(shù)ω(z)(ω(0)=0,|ω′(0)|<1)，使得

(3.1)

令

則

(3.2)

將(3.2)式帶入(3.1)式的右邊得

(3.3)

簡單計(jì)算得

f′(z)=1+2a2z+3a3z2+4a4z3+5a5z4+…

(3.4)

由(3.1), (3.2)和(3.3)式得

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

由(3.5)式及引理1得|a2|等號成立僅需c1=2.

由(3.6)式和引理2得

令|y|=t∈[0,1]，|c1|=c∈[0,2]，則有

|a3|

|a3|

由引理2知上式等號成立只需c=c1=0,t=1,c2=2.

由(3.7)式和引理2得

令|y|=t∈[0,1]，|c1|=c∈[0,2]，則有

|a4|

3t2(4-c2)(c-2)]=G(c,t).

由(3.8)式及引理1得|a5|等號成立僅需c1=2.

注釋1：|a4|的估計(jì)要比文獻(xiàn)[2]中定理3.1的估計(jì)精確.

定理2若f(z)∈R(h)，|a2a3-a4|結(jié)果是精確的.

證明：由(3.5),(3.6)和(3.7)式可得

(3.9)

令|y|=t∈[0,1],|c1|=c∈[0,2],由(3.9)和引理2及三角不等式得

3t2(4-c2)(c-2)]=G(c,t).

下面討論二元函數(shù)G(c,t)在[0,2]×[0,1]內(nèi)最大值.考慮

在[0,2]×[0,1]只得到可能的極值點(diǎn)(0,0).

所以

|a2a3-a4|

由引理2得等號成立只需t=0,c=c1=c2=0,c3=2.

注釋2：定理2中的估計(jì)比文獻(xiàn)[2]定理3.2的估計(jì)精確.

證明：由(3.5),(3.6)和(3.7)式可得

由引理2得

(3.10)

令|y|=t∈[0,1],|c1|=c∈[0,2],由(3.10)和引理2及三角不等式得

t2(4-c2)(c2-18c+32)]=G(c,t).

G(c,t)

由引理2知道等號成立只需c=c1=c3=0,y=t=1,c2=2.

注釋：文獻(xiàn)[2]在處理時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

定理4若f(z)∈R(h)，則H3(1)

證明：由定理1，定理2，定理3及定理4.1可得定理4.