金友良

摘? 要：通過全日制專升本考試，選撥普通高等學校高職高專優(yōu)秀應屆畢業(yè)生升入普通本科高等院校，進行2年的深造，每年吸引著很多的優(yōu)秀高職生報考。該文通過精讀浙江省專升本高等數(shù)學教學大綱，明確考試應用題的基本要求，系統(tǒng)分析2005—2019年浙江省專升本高等數(shù)學考試應用題，篩查考試熱點，尋找一定的規(guī)律，歸納出以下5類應用題型的解題方法，為專升本考生提供參考。

關(guān)鍵詞：專升本? 考試熱點? 應用題? 解析

中圖分類號：G642 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（c）-0203-02

從2005年起，我們浙江省專升本考試獨立組卷，至今已有15年。通過全日制專升本考試，選撥普通高等學校高職高專優(yōu)秀應屆畢業(yè)生升入普通本科高等院校，進行兩年制的繼續(xù)深造學習，修完所需學分，畢業(yè)時授予普通高等教育本科學歷證書和學位證書，享受與普通四年制本科同等待遇，這為我們高職高專學校優(yōu)秀畢業(yè)生提供了一條繼續(xù)深造的快捷之路。

我們學校為了這些優(yōu)秀應屆畢業(yè)生順利考入心儀的本科高等院校，每年都組織進行專升本考試復習輔導。筆者開設全日制專升本高等數(shù)學考試復習輔導多年，一直對浙江省專升本《高等數(shù)學》考試大綱以及歷年的浙江省專升本《高等數(shù)學》考試題目進行了系統(tǒng)的、針對性分析，從中總結(jié)經(jīng)驗，歸納考試要點，為更好地輔導專升本高等數(shù)學考試復習打下良好的基礎。

應用題屬于綜合性的題目，是利用微積分知識解決實際問題。在每次專升本考試中都屬于大題，是單個題目所占分值最高之一。由于學生普遍缺乏解決實際問題的能力，應用能力較弱，平時考試也體現(xiàn)大多數(shù)學生這方面能力尤其薄弱，導致每次應用題考試失分較多。針對這一情況，該文就浙江省高等數(shù)學專升本考試應用題試題進行了收集、分析、歸納，整理歸納出以下一些常用解題方法，希望對以后參加全日制專升本高等數(shù)學考試的學生起到一定的幫助作用。

1? 精細解讀全日制專升本高等數(shù)學考試大綱，明確應用題考試的基本要求

（1）會建立一些簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系式。

（2）理解函數(shù)極值的概念，會求函數(shù)的極值和最值，會解決一些簡單的應用題。

（3）利用定積分幾何意義，解決簡單的平面圖形面積問題。

（4）會利用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2? 分析歷年應用題考試試題，篩查應用題考試熱點

（1）利用定積分幾何意義，解決簡單平面圖形的面積問題。

（2）利用定積分計算平面圖形的面積。

（3）利用定積分計算平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

（4）利用導數(shù)，解決實際最優(yōu)化問題。

（5）平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和最優(yōu)化問題的綜合應用問題。

（6）平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積與常微分方程相結(jié)合的綜合應用題。

3? 典型試題解析

3.1 利用定積分幾何意義，解決簡單平面圖形的面積問題

定積分的幾何意義：當f（x）≥0時，（其中s表示由x=α，x=b，x軸以及y=f（x）所圍成的曲邊梯形面積）;當f（x）<0時，-s。

例1（2006年浙江省專升本考試選擇題*4題）曲線y=x（x-1）（2-x），（0≤x≤2）與x軸所圍成圖形的面積可表示為（ ）。

解：當0≤x<1時，y≤0;當1≤x≤2時，y≥0，則所求平面圖形面積可表示為。

例2（2017年浙江省專升本考試填空題*14題）在區(qū)間[α，b]上f（x）>0，f'（x）<0，f''（x）>0，，S2=f（b）（b-α），S3=0.5[f（α）+f（b）]（b-α），則S1，S2，S3的大小順序為（? ）。

分析：由f（x）>0說明S1表示由x=α，x=b，x軸以及y=f（x）所圍成的曲邊梯形面積;由f'（x）<0說明f（x）在[α，b]上單調(diào)遞減，f（b）0說明曲線y=f（x）在[α，b]上是凹的，S3表示由x=α，x=b，x軸以及直線所圍成的直角梯形面積。利用以上結(jié)論，畫一個草圖，馬上可以看出所求的結(jié)論：S2

3.2 利用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積

解此類應用題的基本步驟：（1）根據(jù)題意畫出所求面積的平面圖形草圖或所求體積的旋轉(zhuǎn)之前的平面圖形草圖;（2）求出要確定定積分上、下限有用的交點坐標;（3）列公式求面積或體積。

例3（2010年浙江省專升本考試綜合題*1題）設平面圖形D是由曲線y=ex，y=e及y軸所圍成的，求：（1）平面圖形D的面積;（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

分析：畫草圖，得出平面圖形D是y型區(qū)域圖，且旋轉(zhuǎn)體是繞y軸旋轉(zhuǎn)，因此把y作為積分變量要簡便一些。

解：作圖（省略），通過作圖，得：

，

例4（2009年浙江省專升本考試綜合題*3題）設曲線y=-x2+x+2與y軸交于點P，過P點做該曲線的切線，求切線與該曲線及x軸圍成的區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

分析：利用導數(shù)求出所求的切線方程，畫出平面圖形草圖分析，所求的旋轉(zhuǎn)體的體積應該是兩個x軸上的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積之差。

解：P點坐標為（0，2），y'=-2x+1，k=1，所求切線：y=x+2，畫出草圖，切線與x軸的交點為（-2，0），該曲線與x軸左邊交點為（-1，0），則。

3.3 利用導數(shù)解決最優(yōu)化問題

此類題目，首先要審題，已知什么，要求什么的最大值（點）或最小值（點），解題步驟：（1）要設一些未知量;（2）根據(jù)題意列出目標函數(shù)，同時根據(jù)實際意義確定函數(shù)的定義域;（3）求出極值可疑點;（4）利用二階導數(shù)判定可疑點是極大點還是極小點，又由極值的唯一性，斷定它是所求的最值點;（5）根據(jù)題目的要求做出相應的回答。

例5（2010年浙江省專升本考試綜合題*2題）欲圍成一個面積為150m2的矩形場地，所用的材料的造價其正面是6元/m2，其余三面是3元/m2，問場地的長、寬各為多少時，才能使所用的材料費最少？

分析：已知場地的面積，高度為定值，未知長、寬，求使用材料的最小點。

解：設場地的寬為xm，則長為m，設高為定值h米，使用材料費為y元，由題意得：

，令得x=10，又，x=10是唯一極值可疑點，所以是最小點。答略。

3.4 平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積及最優(yōu)化問題的綜合應用題

例6（2007年浙江省專升本考試綜合題*1題）設直線y=αx與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，直線y=αx，x=1與拋物線y=x2所成圖形的面積為S2，當α<1時，試確定α的值，使得S=S1+S2最小。

分析：通過畫草圖，可以知道要分兩種情形作圖，一種是當0<α<1時，另一種是當α≤0時，然后分別利用定積分求出S，再利用導數(shù)求出最小點。

解：作兩種草圖（略），當0<α<1時，y=αx與y=x2的交點是（0，0），（α，α2）

，令得，

S''（α）=2α>0，所以，當0<α<1時，。

當α≤0時，y=αx與y=x2的交點是（0，0），（α，α2）

，，S（α）在α≤0時單調(diào)最小，故在α≤0時S（0）為S（α）的最小值，，又，所以在α<1時，S的最小值在時取得。

例7（2017年浙江省專升本考試綜合題*24題）設D1是y=2x2，x=α，x=2，y=0圍成，D2是y=2x2，x=α，y=0圍成（其中0<α<2）。（1）求D1繞x軸所得旋轉(zhuǎn)體體積V1，D2繞軸y所得旋轉(zhuǎn)體體積V2;（2）求α的值，使V1+V2最大，并求最大值。

分析：通過畫草圖，求出V1，V2，從而求出V=V1+V2，再利用導數(shù)求出最大點。

解：作草圖（略）（1），，

（2），令，得α=1，

因，又α=1是唯一極值可疑點，所以是α=1最大點。答略。

3.5 平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積與常微分方程綜合應用題

例8（2018年浙江省專升本考試綜合題*25題）f（x）在[1，+∞）上導函數(shù)連續(xù)，f（x）>0，已知曲線f（x）與直線x=1，x=t（t>1）及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積是該曲邊梯形面積的πt倍，求f（x）。

分析：先求出曲邊梯形面積和旋轉(zhuǎn)體體積，由題意列出方程，利用求導得到一個微分方程，再解出這個微分方程。

解：由題意得：，

兩邊求導：，

兩邊再求導：，即，，

即，由一階線性微分方程公式得：，

由f（1）=f2（1）得f（1）=1，代入通解得，故曲線方程為。

4? ?結(jié)語

對于專升本高等數(shù)學考試中的應用題，還要強調(diào)在做應用題之前要審題清楚，已知什么，未知什么，求什么，是什么類型的應用題。如是最優(yōu)化問題，熟練掌握最優(yōu)化解題五步驟;如是求平面圖形面積或旋轉(zhuǎn)體體積，熟練掌握此類題目3個解題步驟;如是綜合應用，分別用以上兩種解題方法，就可以順利解決。復習時，要讓學生多訓練、多總結(jié)，就一定能大大提高學生解決應用題能力。

參考文獻

[1] 劉新華.淺析自考“高等數(shù)學（一）”的應用題應考[J].新課程研究，2008（7）：45-46.

[2] 郭培俊.浙江省專升本《高等數(shù)學》試卷分析[J].溫州職業(yè)技術(shù)學院學報，2014（3）：24-28.

[3] 張春紅.專升本《高等數(shù)學》考試中導數(shù)與微分部分內(nèi)容解析[J].職業(yè)技術(shù)，2016（11）：70-71.