黃利元

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 漳州 363105)

1 引 言

量子糾纏作為量子通信和量子信息處理的重要物理資源[1-4]，在量子信息學(xué)的各方面都起著舉足輕重的作用.近年來，一種自然界的糾纏現(xiàn)象――熱糾纏，逐漸得到人們的重視.這種存在于固態(tài)系統(tǒng)中自旋粒子間的糾纏為量子信息和固態(tài)物理系統(tǒng)提供了一座橋梁.海森堡模型作為最簡單而又實際的固態(tài)物理系統(tǒng)，被認(rèn)為是實現(xiàn)量子通信和量子計算最有前景的物理體系之一[5].海森堡模型在熱平衡狀態(tài)下的量子糾纏――熱糾纏已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于量子計算[6]、量子密碼[7]等各個領(lǐng)域.

目前，有關(guān)海森堡模型在均勻磁場和非均勻磁場情況下糾纏性質(zhì)的研究取得了廣泛進(jìn)展[8-16]，但對在時變磁場下系統(tǒng)糾纏性質(zhì)的研究[17-19]還不多見.而時變磁場對糾纏度的作用機(jī)理更加接近固態(tài)系統(tǒng)中量子信息的實現(xiàn).本研究主要討論時變外磁場對海森堡XXZ鏈的熱糾纏和時間糾纏的作用.

2 模 型

考慮兩個角頻率不同的余弦時變磁場分別加在Heisenberg XXZ鏈的兩個量子比特上.此時系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為：

(1)

(2)

其本征態(tài)及相應(yīng)的本征值為：

|φ1〉=|00〉，

|φ2〉=|11〉,

|φ3,4〉=sin±|01〉+cos±|10〉

(3)

E1=JΔ+B(cosω1t+cosω2t),

E2=JΔ-B(cosω1t+cosω2t),

(4)

哈密頓量為H的熱態(tài)也可以寫成如下形式：

(5)

式中β=1/(kT)，k為玻爾茲曼常數(shù)，簡單起見記為1，T為熱力學(xué)溫度,H為系統(tǒng)哈密頓量，Z=tr[exp(-βH)]為配分函數(shù).因為ρ(T)表示的是熱態(tài)，所以該態(tài)內(nèi)的糾纏稱為熱糾纏[20]. 在標(biāo)準(zhǔn)基{ |00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,

(6)

式中

u=exp[-β(J△+Bcosω1t+Bcosω2t)],

v=exp[-β(J△-Bcosω1t-Bcosω2t)],

Z=2exp(-βJ△)cosh[βB(cosω1t+Bcosω2t)]+

(7)

3 熱糾纏

對于兩量子比特的糾纏度，ρ12可以是純態(tài)也可以是混合態(tài).Concurrence[21]糾纏度定義為：

C12=max{λ1-λ2-λ3-λ4, 0},

(8)

根據(jù)上述定義，密度矩陣的糾纏度C為：

(9)

如圖1所示，糾纏度C隨ω2周期性變化，周期為4，且在一個周期內(nèi)，圖形關(guān)于ω2=2對稱，這是由cos函數(shù)的特點決定的.從圖1的任意一幅子圖可以看出，當(dāng)ω1一定時，隨著ω2的增大，糾纏度C在經(jīng)歷一個較小的波峰(次極大值)后迅速降到主極小值0 (即系統(tǒng)失去糾纏).然后又迅速達(dá)到一個新的更高峰，此時C取主極大值，隨后C緩慢下降，在ω2=2處形成一個波谷，取次極小值.因此，當(dāng)ω1一定時，可以通過選擇合適的ω2使系統(tǒng)維持在較大的糾纏度上.

圖1 當(dāng)角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數(shù)J=1，溫度T=1，各向異性參數(shù)△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/2.(a) ω1=0.2； (b) ω1=0.4； (c) ω1=0.6； (d) ω1=1.Fig.1 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1， the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/2.(a) ω1=0.2； (b) ω1=0.4； (c) ω1=0.6； (d) ω1=1.

圖2 當(dāng)角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數(shù)J=1，溫度T=1，各向異性參數(shù)△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/2.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.Fig.2 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1， the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/2.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.

在一定范圍內(nèi)，隨著ω1值的增大，小波峰上的C的次極大值增大，主波峰上的主極大值先增大后略有減小，但兩主極大值之間的值保持增加趨勢，向主極大值靠近，即使C取較大值的ω2的范圍變大了.但需注意的是，糾纏度C除了波谷的次極小值對應(yīng)的ω2值(=2)沒變，其余取主極大值、次極大值及最小值0的ω2值都變了，而且都向?qū)ΨQ軸ω2=2靠近.

縱觀圖1的4幅子圖，發(fā)現(xiàn)，選取某一特定時刻，當(dāng)ω1一定時，糾纏度都有主極大值、次極大值、主極小值、次極小值，對應(yīng)著圖中的主波峰、次波峰、主波谷、次波谷.即在某一時刻，當(dāng)ω1一定時，可選擇合適的ω2使系統(tǒng)C取最大值，以滿足需要.對比圖1的4幅子圖，發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，隨著ω1值的增大，主極大值呈先增大后減小的趨勢.

圖2中的ω1的取值跨度比圖1大些.發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，隨著ω1值的增大，糾纏度C的主極大值變小.所以當(dāng)t一定時，ω1值不宜太大.還發(fā)現(xiàn)，隨著ω1值的進(jìn)一步增大，原來取次極小值的位置變成了主極小值(ω2=2處)，而且主極小值逐漸升高，但主極大值則在C=0.4附近振蕩.

對比圖2和圖3，當(dāng)t不同時(即選取的時刻不同)，圖形的周期不同，出現(xiàn)不同規(guī)律的ω1值不同.圖2和圖3除了選取的時刻不同，其它參數(shù)都一樣.發(fā)現(xiàn)t=π/4相比t=π/2時，ω2可以在較大的范圍內(nèi)使系統(tǒng)保持在相對穩(wěn)定且較大的糾纏度C上.

圖4給出了當(dāng)ω1和ω2取不同的確定值且相互之間呈一定的倍數(shù)關(guān)系時，C隨t變化的曲線圖.發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ω1=ω2時，糾纏度C雖然呈周期性變化，但始終能保持較大的值，在0.8174到0.8956之間.這對系統(tǒng)需要較大糾纏是有意義的.當(dāng)ω1和ω2呈現(xiàn)其它的倍數(shù)關(guān)系時，根據(jù)C的變化情況，如糾纏突然死亡到迅速恢復(fù)，這種情況可以用作快速反應(yīng)開關(guān).

圖3 當(dāng)角頻率ω1不同時，糾纏度C隨角頻率ω2的變化.自旋耦合常數(shù)J=1，溫度T=1，各向異性參數(shù)△=1，均勻磁場B=3，時間t=π/4.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.Fig.3 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the angular frequency ω2 for different angular frequencies ω1.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1, the uniform magnetic field B=3 and the time t=π/4.(a) ω1=1； (b) ω1=1.5； (c) ω1=2； (d) ω1=2.4.

圖4 當(dāng)ω1和ω2為不同的倍數(shù)關(guān)系時，糾纏度C隨時間t的變化.自旋耦合常數(shù)J=1，溫度T=1，各向異性參數(shù)△=1，均勻磁場B=1，ω2=π， (a) ω1=ω2； (b) ω1=2ω2； (c) ω1=3ω2； (d) ω1=4ω2. Fig.4 The thermal entanglement measured by the concurrence C as a function of the time t for different multiple relationship of angular frequencies ω1 and ω2.The coupling constant J=1, the temperature T=1, the anisotropic parameter △=1, the uniform magnetic field B=1 and ω2=π， (a) ω1=ω2； (b) ω1=2ω2； (c) ω1=3ω2； (d) ω1=4ω2.

4 結(jié) 論

對于兩量子比特的海森堡XXZ自旋鏈，本研究通過將兩個角頻率為ω1和ω2的余弦時變外磁場分別加在這兩個量子比特上，得到其糾纏度與ω1和ω2的解析表達(dá)式，以及糾纏度隨時間的變化情況.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選取的時刻一定時，糾纏度會隨著ω1和ω2值的變化而變化.特別地，當(dāng)ω1和ω2的取值組合恰當(dāng)時，系統(tǒng)可以維持在較大的糾纏度上.因此，在某一時刻，當(dāng)ω1一定時，總可以通過選擇合適的ω2使系統(tǒng)的糾纏度較大.結(jié)果還表明，當(dāng)ω1=ω2時，系統(tǒng)的糾纏度雖然會隨時間發(fā)生周期性變化，但始終能維持在較高的值.而當(dāng)ω1和ω2為其它的倍數(shù)關(guān)系時，根據(jù)糾纏度的變化情況可以用作快速反應(yīng)開關(guān).本研究的計算結(jié)果對固態(tài)系統(tǒng)中通過構(gòu)建和選擇參數(shù)調(diào)整系統(tǒng)的糾纏度具有一定的作用和意義.