陳建忠

（甘肅省隴西縣第二中學(xué)，甘肅 定西 748100）

一、函數(shù)的視角探究公垂線定義距離的合理性

問(wèn)題1.如圖，已知點(diǎn)P,Q分別是正方體ABCO-A'B'C'D'的對(duì)角線和棱上的點(diǎn)，試探究下列問(wèn)題：

（一）若P是的中點(diǎn)，求的最小值；

（二）若Q是的中點(diǎn)，求的最小值；

（三）若P是上的動(dòng)點(diǎn)，Q是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；

解：（一）建立如圖所示的空間右手直角坐標(biāo)系，設(shè)

由P是的中點(diǎn)，知設(shè)Q(0,1,λ)

解：（二）Q是的中點(diǎn)，則設(shè)P(λ,λ,1-λ)，則

解：（三）若P是上的動(dòng)點(diǎn)，Q是上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P(λ,λ,1-λ)，Q(0,1,μ)，則.

上式是兩個(gè)變量λ,μ的二元函數(shù)，不妨視為μ主元，λ為常量，則.

即當(dāng)且僅當(dāng)P是的中點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，的最小值.

【點(diǎn)評(píng)】P是的中點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，的最小值.有，即PQ是異面直線和的公垂線.課本編者精挑細(xì)選的這道題，學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法的思想，利用代數(shù)中二次函數(shù)的最值法，體驗(yàn)了異面直線上兩點(diǎn)之間的距離為公垂線段的長(zhǎng)度.進(jìn)一步理解了兩個(gè)圖形的距離是指兩個(gè)圖形上兩點(diǎn)之間距離的最小值。

【反思與回顧】

經(jīng)歷上述三問(wèn)的探究過(guò)程，真切感知異面直線上兩點(diǎn)之間的距離，公垂線最短.

二、向量的視角探究問(wèn)題一般化結(jié)論

問(wèn)題2.在長(zhǎng)方體ABCO-A'B'C'D'中，設(shè)P,Q分別為對(duì)角線與棱上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

設(shè)Q(0 ,b,y)，P(x0,y0,z0)，

視y為主元，則

特別地，當(dāng)a=b=c=1時(shí)，分別為的中點(diǎn).

方法2——向量的視角

方法3——斜向量在法向量上投影的視角

由

所以，z=0，由，令所以

【點(diǎn)評(píng)】斜向量在法向量上投影的長(zhǎng)度，即為異面直線間的距離。向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。解題中視為異面直線和的法向量，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)解.

【回顧與反思】

（一）在正方體中，通過(guò)彼此關(guān)聯(lián)的三個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)“異面直線、的距離”是“公垂線段”的長(zhǎng)度的合理性；

（二）建立空間直角坐標(biāo)系，采用坐標(biāo)法，是幾何問(wèn)題代數(shù)化，引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，將?wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的最值法使問(wèn)題得以解決；

（三）雙變量的二次式的最值問(wèn)題，通過(guò)確定主元法和二次函數(shù)的配方法兩次放縮，便可得到問(wèn)題的解；

（四）利用異面直線間距離的定義和斜向量在法向量上的投影，使得對(duì)研究問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解。

三、問(wèn)題的變式拓展，體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的普適性

問(wèn)題3.如圖，已知點(diǎn)分別是正方體的對(duì)角線和棱上的點(diǎn)，試探究下列問(wèn)題：

（一）若P是的中點(diǎn)，求的最小值；

（二）若Q是的中點(diǎn)，求的最小值；

（三）若P是上的動(dòng)點(diǎn)，Q是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；

問(wèn)題4.在長(zhǎng)方體ABCO-A'B'C'D'中，設(shè)P,Q分別為對(duì)角線與棱上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

結(jié)束語(yǔ)：經(jīng)歷對(duì)原問(wèn)題和變式、拓展問(wèn)題的探究，領(lǐng)略了函數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，體驗(yàn)了向量法的普適性。探究過(guò)程是艱辛的，活動(dòng)結(jié)果是喜人的，會(huì)更加激發(fā)探究的熱情，不斷激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論冰冷美麗的火熱思考，不斷地改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，興趣盎然的去學(xué)習(xí)與探究，因此而極大提升了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自我效能感。