王凱強(qiáng) ，于魯川 ，張建華 ，張志剛

（1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061；2.高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/國家級機(jī)械基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，山東 濟(jì)南 250061；3.濟(jì)南二機(jī)床集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250022）

汽車產(chǎn)業(yè)的競爭日益激烈，汽車部件的生產(chǎn)效率對提高市場占有率具有十分重要的作用，而汽車車身超過60%的外覆蓋件部件是通過沖壓工藝生產(chǎn)制造，并且上下料系統(tǒng)是沖壓生產(chǎn)線最主要的單元，因此，提高上下料機(jī)械臂的運(yùn)動節(jié)拍會極大提高汽車覆蓋件的生產(chǎn)效率。

通過機(jī)械臂在各個壓機(jī)之間進(jìn)行物料輸送是目前應(yīng)用最廣泛的上下料方式。上下料機(jī)械臂軌跡運(yùn)動規(guī)劃的優(yōu)劣直接決定著機(jī)械臂的運(yùn)動節(jié)拍、工作效率、關(guān)節(jié)扭矩、整線配合等性能。將上下料機(jī)械臂設(shè)計成具有一定的冗余自由度可以提高其運(yùn)行的靈活性，這種機(jī)械臂適合在高度受限的空間中工作，在運(yùn)行平穩(wěn)性、使用可靠性等方面要明顯優(yōu)于冗余度低的機(jī)械臂[1]。高冗余機(jī)械臂可以處理一些非常規(guī)功能，但是運(yùn)動學(xué)逆解求解困難，容易出現(xiàn)多解的情況，很多學(xué)者在求冗余機(jī)械的逆解方法上提供了有效的方法，Samer Yahya等人提出一種幾何方法，該方法能夠在無限解中運(yùn)用較少的計算量來得出冗余或者超冗余機(jī)械臂的最佳解，這種方法適應(yīng)性較強(qiáng)，可以適合所有的任意平面n序列機(jī)械臂[2]。García-Sedano等人[3]提出一種改進(jìn)遺傳算法將機(jī)械臂的運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化，生成無碰撞的有效的運(yùn)行軌跡，最大程度的縮短運(yùn)行周期的時間，此種方法考慮到了機(jī)械臂特定組件的幾何形狀，來調(diào)整路徑以優(yōu)化給定沖壓單元中的循環(huán)時間。在軌跡規(guī)劃過程中還可以用五次均勻B樣條曲線對關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行擬合，并采用改進(jìn)遺傳算法對擬合后的曲線進(jìn)行尋優(yōu)，然后求得曲線的速度、加速度曲線，通過此方法可以使運(yùn)行軌跡更加平滑[4]。本文從建立機(jī)械臂的正運(yùn)動學(xué)模型出發(fā)，對末端執(zhí)行器軌跡和冗余自由度關(guān)節(jié)進(jìn)行規(guī)劃，進(jìn)而求出各關(guān)節(jié)的逆解，旨在對冗余機(jī)械臂的求逆解方法提供參考。

1 正運(yùn)動學(xué)分析

1.1 模型分析

圖1為沖壓生產(chǎn)線上下料機(jī)械臂的三維模型，圖2為其結(jié)構(gòu)簡圖，該機(jī)構(gòu)共7個構(gòu)件，8個低副，可以得出該送料臂的自由度為5，由于其運(yùn)動全部是在一個平面中運(yùn)行，所以此機(jī)械臂具有兩個冗余的自由度。

1.2 正運(yùn)動學(xué)求解

圖2中各符號表示的意義為：S為參考坐標(biāo)系，T為工具坐標(biāo)系。d0表示各關(guān)節(jié)角度為0時，滑塊D1理論最低點(diǎn)和參考坐標(biāo)系S原點(diǎn)的距離，d10表滑塊D1初始位置和D1理論最低點(diǎn)之間的距離，d1為滑塊D1的位移，r2為連桿 R2的長度，r31表示滑塊D7的關(guān)節(jié)點(diǎn)和大擺臂與R2連點(diǎn)之間的距離，d40為滑塊D4初始位置距離滑塊D7之間的距離，d4為滑塊D4的位移，r5為送料臂R5的長度，R6為末端執(zhí)行器。

圖1 送料臂三維模型

圖2 送料臂簡圖

根據(jù)對上下料機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)分析可知：滑塊D7屬于從動件，其運(yùn)動軌跡可根據(jù)其他關(guān)節(jié)的軌跡確定，在進(jìn)行運(yùn)行學(xué)求解時不需要對其求解。旋量理論在正運(yùn)動學(xué)建模中相對于D-H法具有簡潔、幾何關(guān)系明顯的優(yōu)點(diǎn)，只需要建立參考坐標(biāo)系S和工具坐標(biāo)系T，不需要在各關(guān)節(jié)軸上建立局部坐標(biāo)系，計算過程也比較簡單。

應(yīng)用旋量理論將參考坐標(biāo)系S的原點(diǎn)建立在地面和機(jī)械臂中軸線的交點(diǎn)，工具坐標(biāo)系T建立在末端執(zhí)行器R6的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，當(dāng)上下料機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)角為0時參考坐標(biāo)系和工具坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

通過分析機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)可知所有的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動只繞著旋轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)動而沒有沿軸線的移動，其節(jié)距為0，各關(guān)節(jié)軸線的單位矢量分別為：

各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸線在各關(guān)節(jié)角為0時經(jīng)過的點(diǎn)分為：

根據(jù)旋量理論，關(guān)節(jié)的運(yùn)動副旋量計算公式（1）和指數(shù)積公式（2）可以得出各關(guān)節(jié)的指數(shù)積公式為：

θ3的初始位姿為180°，其角度變化要添加一個相位角，所以其角度為（π+θ3）。

機(jī)械臂的正運(yùn)動學(xué)方程可以通過各關(guān)節(jié)的指數(shù)積矩陣相乘得到：

在正運(yùn)動學(xué)方程中，角度和位移都為矢量，在進(jìn)行指數(shù)積方程運(yùn)算時不需要考慮其正負(fù)，在求解時若符號為正則旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動方向表示為在右手坐標(biāo)系中，沿軸線方向觀察為順時針方向，對于移動軸移動方向?yàn)檠豘軸正方向運(yùn)。其各簡化符號的意義為：

2 逆運(yùn)動學(xué)求解

2.1 末端執(zhí)行器軌跡規(guī)劃

在機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃過程中，連接起點(diǎn)和終點(diǎn)位姿的具有時間序列的點(diǎn)或者曲線叫做軌跡，用多項(xiàng)式或者樣條曲線對曲線關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行擬合稱為軌跡規(guī)劃[5，6]，用算法將規(guī)劃后的軌跡進(jìn)行優(yōu)化叫做軌跡優(yōu)化[7]。

在進(jìn)行末端執(zhí)行器軌跡進(jìn)行規(guī)劃前，需要對其關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行設(shè)定。送料機(jī)械臂末端執(zhí)行器的運(yùn)行參數(shù)如表1所示，關(guān)鍵點(diǎn)主要設(shè)置在Home點(diǎn)和模區(qū)邊界、取放料點(diǎn)。關(guān)鍵點(diǎn)的選取將直接決定末端執(zhí)行器運(yùn)行時的速度、加速度、沖擊、關(guān)節(jié)扭矩等。而其非關(guān)鍵點(diǎn)的位置可以在一定范圍內(nèi)波動，這就能夠提供一定的優(yōu)化空間。

表1 機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)行參數(shù)

B樣條是一種以“逼近”為原理的擬合曲線[8]，根據(jù)表1中末端執(zhí)行器Y方向和Z方向的運(yùn)行參數(shù)可以對其進(jìn)行初步的規(guī)劃，通過在MATLAB中設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)采用五次B樣條曲線的插值方式形成初步的位移曲線，這樣可以保證擬合后的軌跡曲線的位移、速度、加速度都連續(xù)可導(dǎo)，使運(yùn)行軌跡盡可能的平滑。在機(jī)械臂初始運(yùn)行時選取幾個點(diǎn)為靜點(diǎn)，這樣可以避免運(yùn)行過程中出現(xiàn)加速度突變或加速度無限大的情況。

沖擊率的定義為加速度相對于時間的變化率，稱之為加加速度[9]。為保證采用五次B樣條差值的位移曲線的沖擊率盡可能的小，可采用算法對其進(jìn)行優(yōu)化，使軌跡更加平滑。遺傳算法作為一種通用的智能算法，可以將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，最終得到最優(yōu)解。以加加速度的最大值為優(yōu)化目標(biāo)，通過調(diào)節(jié)非關(guān)鍵點(diǎn)處對應(yīng)的時間使其最大值盡量減少，經(jīng)過編碼、計算適應(yīng)度值、選擇、交叉、變異的操作，迭代次數(shù)設(shè)定為50代，最終得出沖擊率最小的一條曲線。末端執(zhí)行器Y方向和Z方向運(yùn)行軌跡的位移、速度、加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后的圖像如圖3、圖4所示，加加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后的圖像如圖5、圖6所示。

圖3 末端執(zhí)行器Y方向位移、速度、加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后對比

圖4 末端執(zhí)行器Z方向位移、速度、加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后對比

從圖3和圖4可以看出，加加速度的調(diào)整導(dǎo)致了位移曲線的變化，使運(yùn)行軌跡在某些非關(guān)鍵點(diǎn)處發(fā)生了變化。從圖5和圖6中可以看出：末端執(zhí)行器Y方向和Z方向軌跡的加加速度波動范圍變小，在絕對值最大處經(jīng)過優(yōu)化后明顯降低，表明遺傳算法的優(yōu)化效果使沖擊率變化更加穩(wěn)定。

在Matlab中進(jìn)行優(yōu)化的過程中，記錄每代種群二次加速度的最大值，加加速度的最大值隨迭代次數(shù)的變化趨勢如圖7和圖8所示。

圖5 末端執(zhí)行器Y方向加加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后對比

圖6 末端執(zhí)行器Z方向加加速度優(yōu)化前和優(yōu)化后對比

圖7 末端執(zhí)行器Y方向加加速度最大值變化趨勢

圖8 末端執(zhí)行器Z軸加加速度最大值變化趨勢

從圖7和圖8中可以看出，Y方向和Z方向加加速度的最大值隨著迭代次數(shù)的增加呈減小趨勢，分別在第35代和40代左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，加加速度最大值分別減小了14.2%和11.0%，說明遺傳算法沒有提前收斂且優(yōu)化效果比較明顯。

2.2 冗余關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃

前面提到此送料機(jī)械臂的自由度為5，有兩個冗余自由度，如果直接求運(yùn)動學(xué)逆解，會導(dǎo)致多解或者無解的情況發(fā)生。采用消除冗余自由度的方法可以解決這一問題。在選擇消除的冗余自由度時，各個關(guān)節(jié)都可以作為對象，各關(guān)節(jié)的求解效率會根據(jù)選擇消除自由度的關(guān)節(jié)的不同差別很大。經(jīng)過多次測試發(fā)現(xiàn)對滑塊D4和R5_R6關(guān)節(jié)進(jìn)行規(guī)劃，可以大大提高其他關(guān)節(jié)的求解效率。在對滑塊D4和R5_R6關(guān)節(jié)進(jìn)行規(guī)劃時采用的方法和末端執(zhí)行器的方法一樣，固定關(guān)鍵位置點(diǎn)然后采用五次B樣條曲線進(jìn)行擬合，擬合后的運(yùn)動曲線如圖9和圖10所示。

2.3 其他關(guān)節(jié)求解

根據(jù)正運(yùn)動學(xué)方程和機(jī)械臂的幾何關(guān)系可得：

根據(jù) θ2，θ3，r2，r31之間的三角幾何關(guān)系，并根據(jù)正弦定理可得：

圖9 滑塊D1位移、速度、加速度、加加速度曲線

圖10 R5_R6關(guān)節(jié)位移、速度、加速度、加加速度曲線

式（3）、（4）、（5）、（6）中 py，pz，d4，θ6已經(jīng)通過軌跡規(guī)劃求出，四個方程四個未知量，可以求出唯一的解。利用MATLAB的數(shù)值計算功能對其他關(guān)節(jié)進(jìn)行求解，求解結(jié)果如圖11～圖14所示。

通過圖11～圖14可以看出求出的其他關(guān)節(jié)解的運(yùn)動曲線是連續(xù)并且比較平滑，各關(guān)節(jié)運(yùn)動過程比較平穩(wěn)，沒有較大的波動，說明前面的軌跡規(guī)劃和優(yōu)化效果比較明顯。

3 結(jié)論

圖11 移動滑塊D1位移曲線

圖12 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)D1_R2角度曲線

圖13 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)R2_R31角度曲線

圖14 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)D4_R5角度曲線

軌跡規(guī)劃在沖壓生產(chǎn)線的上下料系統(tǒng)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，本文根據(jù)上下料機(jī)械臂的工作過程和冗余機(jī)械臂特點(diǎn)提出一種通用的運(yùn)動學(xué)分析方法，主要工作有以下兩點(diǎn)：

（1）采用五次B樣條曲線結(jié)合遺傳算法對末端執(zhí)行器的運(yùn)行軌跡進(jìn)行規(guī)劃和優(yōu)化，使運(yùn)行軌跡更加平滑，能夠?qū)⒆畲鬀_擊率降低10%以上，從而可提高上下料機(jī)械臂的平穩(wěn)性。

（2）針對冗余機(jī)械臂的求逆解特點(diǎn)，選擇首先對滑塊D1和R5_R6關(guān)節(jié)的軌跡進(jìn)行規(guī)劃，提高其他關(guān)節(jié)的求解效率。