于駿

摘 要：七巧板是中國人很早就發(fā)明出來的一種益智游戲，它巧妙地將幾何圖形融入游戲中，體現(xiàn)了中國古人的智慧。將數(shù)學史融入數(shù)學教學，讓學生通過對七巧板數(shù)學史知識的重構，了解“七巧板拼圖”體現(xiàn)的古人“出入相補”“數(shù)形結合”的思想，并且融入“分類討論”的方法，使得“七巧板”中的教學手段更加豐富，更加具有數(shù)學的味道——“巧中生變，巧中取智”。

關鍵詞：數(shù)學史;七巧板;HPM;出入相補;數(shù)形結合;分類討論

一、 引言

七巧板是中國人很早就發(fā)明出來的一種益智游戲，它巧妙地將幾何圖形融入游戲中，體現(xiàn)了中國古人的智慧。滬教版初中數(shù)學七年級下冊的探究活動一中就有“七巧板問題”探究內容，目的是將數(shù)學史融入數(shù)學教學中，不僅提升學生的興趣，而且使學生對“出入相補”原理有初步認識。但由于受到教材編排的順序以及教材的側重點、學生空間想象思維的限制，初中學生對“出入相補”原理并不是很熟悉。筆者通過教材“七巧板問題”探究活動的內容，以趣味性、科學性、可學性、有效性和新穎性五項原則為指導，對歷史材料進行了選擇和重構加工，開設了一節(jié)拓展課。這節(jié)課力求使學生了解“七巧板中的拼圖問題”不僅是各種有趣的拼圖，而且還體現(xiàn)古人“出入相補”原理以及“數(shù)形結合”的思想，并融入“分類討論”的方法，使得“七巧板”中的教學手段更加豐富，更加具有數(shù)學的味道，從而發(fā)展學生的思維能力。

二、歷史素材的選擇與重構

七巧圖的起源尚無定說，它的歷史也許應該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經》，其中就有3人拼成三角形的記載。七巧板在國外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是來自中國的拼圖。宋朝有個叫黃伯思的人，對幾何圖形很有研究，他熱情好客，發(fā)明了一種用6張小桌子組成的“宴幾”——請客吃飯的小桌子?？梢源_信的是，七巧圖及與它類似的游戲燕幾圖、蝶幾圖或益智圖，在明清兩代曾于民間廣為流行。清道光咸豐年間陸以濄（1801—1865年）在《冷瀘雜記》中記載：“宋黃伯思燕幾圃，以方幾七，長短相參。衍為二十五體， 變?yōu)榱嗣?。明儼征蝶幾岡，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯形，如蝶翅。其式三，其式六，其數(shù)十有三，其變化之式，凡一百有余。近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻。蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜之?！?/p>

這基本說明了其淵源，即宋代的燕幾圖到明代發(fā)展為蝶幾圖，到清初再演變成七巧圖。清康熙年間劉獻庭在《廣陽雞記》中記述，他看到十三只拼板圖所拼成的圖形頗似蝶幾圖，但其記述十三塊板或長方，或半長方，或銳角，或鈍角，則又不似蝶幾，然而這已是類似于七巧板（見圖1）的拼板游戲了。明末清初，皇宮中的人還經常用它來慶賀節(jié)日和娛樂，拼成各種吉祥圖案和文字，故宮博物院至今還保存著當時的七巧板，蘇州拙政園中還保留著七巧板圖案的清代家具。

七巧板后來傳往歐洲，至今風靡不衰。1978年荷蘭人Joosf Elffers編寫了一本有關七巧板的書，1818年德國和美國都出版了關于七巧板的書，意大利出版的書中還介紹了中國七巧板的歷史。

實際上歐洲早就有了比七巧板更為復雜的拼圖游戲——阿基米德的十四巧板（見圖2）。古希臘人阿基米德最為珍貴的是兩篇著作，即《方法論》和《十四巧板》，這是1998年在“阿基米德羊皮書”中整理發(fā)現(xiàn)的。據(jù)研究，十四巧板共有536種不同的拼成正方形的拼法，也有一說是17152種不同拼法。

這些歷史素材使得七巧板的整個脈絡清晰起來，可以引發(fā)學生的興趣，但是課堂教學畢竟時間有限，無法詳細闡述，而且有些素材與本節(jié)課的主旨——研究“出入相補”和“數(shù)形結合”思想并不十分契合。因此在選材的時候重點考慮本節(jié)課的教學目標來加以取舍，以達到更好的效果：

1.通過探究活動，認識到拼圖問題實質是需要分清、剖析組成圖形的邊、角、周長及面積要素之間的關系;

2.知道古人是如何通過七巧板甚至十四巧板將幾何融入游戲、融入生活的，體會“出入相補”原理和“數(shù)形結合”思想;

3.在探究中結合分類討論的思想，提升學生分析問題、解決問題的能力。

因此，最后重構時決定錄制一個2分鐘左右的短視頻——“七巧板的來歷”，介紹七巧板最初的燕幾圖、后續(xù)發(fā)展的蝶幾圖、拙政園的清代七巧板家具、變化多端的七巧板拼圖以及阿基米德的十四巧板等內容。

三、教學設計與實施

1教材與學情分析

單純用七巧板拼出不同的圖案，只是小學數(shù)學對學生直觀感受出圖形與幾何的關系、感受幾何圖形的變化和美感的要求。而到了初中階段，就要求學生具有“數(shù)形結合”的能力，要求學生能根據(jù)“出入相補”的原理來解釋和進一步理解乘法公式的內涵。

本節(jié)內容是滬教版七年級第二學期第十四章《三角形》中的探究活動一，是在學生學習了三角形有關概念和性質的基礎上的探究活動。教材以活動課的形式設計，引導學生通過對七巧板中蘊含的各種不同的圖形構造，進行各種拼圖游戲，充分調動學生學習的積極性，發(fā)揮學生豐富的空間想象力，倡導合作交流的學習氣氛。

（1）七年級學生正處于形象思維向抽象思維過渡的時期，在學習了六年級的代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）以及七年級上學期整式的乘法公式之后，學生已經初步具備用字母表示數(shù)的觀念和能力，也初步具有運用“出入相補”原理來解釋整式的乘法公式的能力。

（2） 滬教版七年級上學期教材第九章拓展活動一的設計過程中強調問題情境創(chuàng)設的直觀性以及情境的趣味性，借助七巧板拼擺可以引發(fā)這個時期學生對幾何學習的積極性，并深入思考其中圖形的內在聯(lián)系。

（3）七年級學生的抽象思維能力還較弱，空間觀念有待發(fā)展。教師在進行七巧板的拼擺及教學活動時，應讓學生在充分觀察實物模型的基礎上感知圖形，并多提供機會，讓他們在主動參與、勤于動手中自主創(chuàng)造、交互學習，從而樂于探究。

2新課引入

設問1：七巧板由幾個圖形組成？分別是什么樣的圖形呢？

通過觀察，學生能很快地正確回答。教師引導大家觀察兩個最小塊，它們形狀和大小完全一致，這與我們目前學習的“全等三角形”知識點聯(lián)系了起來。

設問2：“七巧板”的七個圖形各個內角分別是多少度？假設“七巧板”中最小一塊直角三角形的直角邊長為1，那么它的斜邊與直角邊有何關系？

關于邊長和角度，七巧板中的角度只有三種，分別為45°、90°、135°，這可以把最小的兩塊等腰直角三角形用不同的拼接方式得到，通過兩種不同的重疊直角邊和一種重疊斜邊而形成了三種不同的圖形：等腰直角三角形、正方形、平行四邊形。同時引導學生觀察兩組圖形中的面積剛好是2倍的關系，這樣可為后面研究等腰直角三角形的斜邊和直角邊的關系奠定很好的基礎。通過后續(xù)調查，以前玩過七巧板的很多學生并沒有細想七巧板中圖形的邊與角的關系，只是憑直覺想象進行拼圖。而通過這兩個問題的提問，以及對“七巧板”中圖形的觀察和探究，學生認識到，幾何拼圖需要分清圖形之間的邊、角、面積等要素的關系，而且初步意識到可以從面積的角度來分析“七巧板拼圖問題”。

3問題探究

（1）拼大號三角形

問題1：在一套“七巧板”中中號圖形能由小號圖形組合得到，那么大號圖形可以嗎？

針對這個問題，有些學生從直觀的想象中，比較容易地回答出其中的兩種（見圖3），卻遺漏了第三種拼法（見圖4）。這時，教師通過引入部分面積的鋪墊，引導大家思考：

假如最小的等腰直角三角形的直角邊為1，則其面積為12，因此中號的三角形、正方形、平行四邊形的面積則為1，大號等腰直角三角形就是2了。那么我們發(fā)現(xiàn)圖3中的拼法從面積角度就是12+12+1=2，其中兩個面積為12的小三角形都用了，面積為1的中號圖形中分別用了等腰直角三角形和正方形，那么這兩個圖形可以用另一個面積為1的平行四邊形來代替嗎？

經過嘗試發(fā)現(xiàn)，學生很快地拼出了圖4的拼法，而且考慮到大號三角形的面積為2的拆分，以及一套七巧板的限制，只有這三種構成大號三角形的方法了。因此，很自然地將7塊七巧板按照面積分成三類：面積是12的兩小塊小號等腰直角三角形，面積是1的三塊中號圖形（分別為等腰直角三角形、正方形、平行四邊形），面積為2的兩塊大號等腰直角三角形。

（2）4塊巧板拼正方形

問題2：你能用七巧板中的4塊拼出正方形嗎？你是如何分類的？也就是分類的標準是什么？

有了上述面積的數(shù)和拆分以及分類的基礎，接下來學生明顯不是盲目地拼圖，而是有意識地考慮：

4塊的正方形的面積應該是4，一是因為4是平方數(shù)，這時它的邊長為2;二是因為7塊七巧板的面積總和為8，不會再出現(xiàn)其他的類型。因此考慮數(shù)和4的拆分，拆成4個數(shù)（可從2個2，3個1，2個12中選擇）相加，于是比較順利地得出4=2+1+12+12的唯一拆分方法，而其中的面積為1的圖形同樣如問題1中那樣，可以分別用三種不同的圖形去嘗試，最后得出三種拼圖（見圖5）。

同時結合以上分析得出分類標準：從面積的角度考慮，用數(shù)和的拆分來分類討論，而在標準制訂好之后，分類討論的要求不重復、不遺漏。

（3）5塊巧板、7塊巧板拼正方形

問題3：你能用七巧板中的5塊拼出正方形嗎？能用所有7塊拼出正方形嗎？在以上拼圖過程中運用到什么原理？

用5塊巧板拼出正方形是比較有難度的，讓人意想不到的是，由于前面關于面積的數(shù)和拆分的分類討論的講解，課堂上很快就有學生能拼出來，回答也非常準確：由于5塊拼出正方形，面積應該還是4，邊長為2，考慮數(shù)和5的拆分，只可能是將問題2中的4=2+1+12+12拆分中的2再拆成兩個1相加，即4=1+1+1+12+12，也就是3塊中號圖形和2塊小號三角形都要用上，考慮到邊和角的拼接，最后拼出了圖形（見圖6）。由于小時候都接觸過七巧板，加上本節(jié)課的介紹，用7塊七巧板也順利拼出正方形（見圖7）。

像上面的將幾個圖形經過拼接形成新的圖形的方法，稱為割補法。在課堂上，許多學生對這個概念都有印象，但是它實際上是運用到“出入相補”的原理，這個說法學生卻顯得有點陌生。雖然“出入相補”原理在七年級上學期整式的乘法和乘法公式中已經有過介紹和應用，但學生對它的印象卻并不深刻，在課后的學生問卷調查中，其中有一個問題是“本節(jié)課蘊含了哪些數(shù)學思想？”在全部47份問卷中只有4位學生回答了“出入相補”原理。

針對這種缺失，筆者在課堂針對性地設計“七巧板的拼圖問題”教學，滲透“出入相補”原理于教學中，繼續(xù)探究下面幾個問題。

（4）七巧板拼平方差公式

問題4：我們學習過平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）。你能用七巧板中的幾塊拼出這個公式嗎？

教師剛開始提出這個問題時大家有點懵：“七巧板還能表示平方差公式？”大多數(shù)學生之前都沒有考慮過。教師適當?shù)刂赋觯梢杂脝栴}3中5塊巧板拼出的正方形來試一試的時候，再結合圖形的面積考慮，大家的思路一下子就開闊了。

生：我們可以把a2-b2看作是兩個邊長為a和b的正方形的面積之差，就如問題3中，把那塊小的邊長為b的正方形去掉，再重新組合成一個長方形，這個長方形的長是a+b，寬是a-b，這樣就可以說明平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）（見圖8）。

生：也可以把剩下的兩個直角梯形的高重疊在一起，構成一個等腰梯形，上底是2a，下底是2b，高是a-b，也能得到平方差公式。

生：還可以把它轉一下，仍然是重疊高，但是得到的是平行四邊形，底和高分別是a+b與a-b，還是得到平方差公式。

經過學生熱烈的發(fā)言，筆者進一步指明，圖8的第三種方法就是三國時期的趙爽用來說明平方差公式的方法，我們的想法和古人的想法是如此相似，并且創(chuàng)新出更多的方案。

（5）七巧板拼完全平方公式

問題5：我們學習過完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。 你能利用兩套七巧板中的幾塊拼出這個公式嗎？

對于完全平方公式的拼法，由于涉及要在大正方形中分出一個小正方形、一個中正方形以及兩個全等的長方形，因此用一套七巧板是不夠的。而利用兩套七巧板時，還是要注意到面積，由于7塊巧板的面積之和是8，而9是平方數(shù)，可以作為邊長為3的正方形的面積，這樣只要再加上兩塊面積是12的小三角形，就可以用圖9的方式表達出來。

（6）七巧板拼等腰梯形和直角梯形

問題6是一道思考題：你能用7塊七巧板拼出一個等腰梯形嗎？或是直角梯形呢？這樣拼圖的原理是什么？

原理還是“出入相補”，同時考慮到面積的數(shù)和拆分。七塊圖形的總面積為8，并且考慮到七巧板的各個圖形的內角只有3種：45°，90°，135°。因此等腰梯形可以考慮S=（2+6）×2÷2=8;直角梯形可以考慮S=（3+5）×2÷2=8（見圖10）。

學生通過體會“出入相補”的原理，并且動手實踐，拼出各種符合要求的圖形，不僅提升了興趣，更進一步挖掘了“七巧板拼圖問題”中所包含的“數(shù)形結合”“分類討論”思想，提升其總結和歸納的能力。

四、數(shù)學史融入數(shù)學教學的學生評價

1教學體現(xiàn)數(shù)學知識之諧、方法之美

從知識技能來說，數(shù)學史融入數(shù)學教學（HPM）有助于學生理解數(shù)學符號、術語、計算方法、表征方式、數(shù)學語言的演進過程，體現(xiàn)HPM的知識之諧、方法之美，從而更好地理解數(shù)學。

課前，教師對全班47名學生進行了前測調查，其中有一個問題：“我們學習過平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b），你能用圖形的割補來表示這個公式嗎？請畫出你知道的方式（有幾種畫幾種）?！苯Y果不盡如人意：只有一人畫出三種方式，35人只能畫出圖8中第三種拼圖方式，沒有人畫出圖8中的第二種拼圖方式。

本節(jié)課后，教師對學生做了后測，其中的問題4“本節(jié)課你學會了哪些平方差公式的幾何圖形表示？請畫出（有幾種畫幾種）”。有16人能正確畫出三種表示方式，有4人能畫出兩種方式，還有16人能準確地畫出一種方式。這說明學生對本節(jié)課利用圖形的方式表示乘法公式的印象非常深刻，并對運用“出入相補”原理來構造平方差等乘法公式有了更好的理解。

本節(jié)課“分類討論”和“數(shù)形結合”的數(shù)學思想的滲透也十分有效。在后測的問題“簡要介紹一下七巧板的組成以及它們之間的面積關系”中，大多數(shù)學生能正確說出七巧板的組成以及按照面積進行分類。對于問題“用4塊拼正方形，有幾種拼法，為什么？”大多數(shù)學生都正確地說出用面積來進行數(shù)和的拆分，即4=2+1+12+12，因此用4塊巧板可以有3種方法來拼出正方形。在“本節(jié)課蘊含了哪些數(shù)學思想”問題中，大多數(shù)學生回答了“分類討論”“數(shù)形結合”，有少數(shù)學生還回答出“出入相補”“等積變形”“探究與實踐”“復制、平移、翻折等圖形運動”等，這說明學生對“分類討論”和“數(shù)形結合”思想有了更深入的理解。

2教學促進了思考，體現(xiàn)探究之樂

從過程和方法來看，HPM教學不僅為學生提供了探究機會，更多的是經過古今對比，拓寬了思維，促進了思考，體現(xiàn)了HPM的探究之樂。

對于后測的問題：“用5塊拼正方形，你是如何考慮的？隨意嘗試還是用面積關系？”學生大都回答從面積的角度來考慮：“一開始是隨便嘗試，后來學會了用面積來進行數(shù)和的拆分?！?/p>

問題“小學或者幼兒園時，你玩過七巧板嗎？你覺得本節(jié)課中你對七巧板有哪些新的認識？”只有8位學生表示沒有玩過，而通過本節(jié)課的學習，學生對七巧板這種游戲也有了新的認識：

學會了通過七巧板的面積來解決代數(shù)問題;

將數(shù)與形結合起來研究問題;

七巧板不僅可以用來玩，還可以用來解決數(shù)學題，用另一種思考方式來解決問題;

在拼的過程中，其中蘊含許多數(shù)學原理;

七巧板是古人智慧的結晶;

了解了七巧板的歷史以及運用;

不只是拼小人，還可以用來推演幾何;

原來七巧板問題如此復雜多樣，可能性很多;

七巧板不只是瞎拼亂湊;

七巧板以前對我而言是拼出花鳥魚蟲的玩具，現(xiàn)在我發(fā)現(xiàn)它也是一種解釋說明數(shù)學公式的好方法。

3教學能激發(fā)學習興趣，體現(xiàn)文化之魅、德育之效

在情感、態(tài)度和價值觀上，HPM教學經過教師的加工重構后，使得學生能重新經歷數(shù)學史中知識的發(fā)展遷移過程，從新角度來審視過程中的合理性，不斷提出新的問題，分析問題，解決問題，從而激發(fā)學生的學習興趣，也體現(xiàn)了HPM的文化之魅和德育之效。

在“談談你對本節(jié)課的感想”中，學生的回答就能說明HPM的有效性：

學習方法十分新穎，運用不同的視角學習數(shù)學;

寓教于樂，有動手的機會;

運用圖形具象化題目是很好的方法，讓我獲益匪淺;

懂得了七巧板的奧秘，了解了中國古人的智慧;

老師講得有聲有色，我學會了不少新知識，其實笛卡爾應該是數(shù)形結合的始祖，能運用圖形解釋公式真的十分奧妙;

巧妙地用七巧板勾起了學生對數(shù)學的興趣;

生活中蘊含著許多數(shù)學原理，我們需要去發(fā)現(xiàn)它們;

有趣，有互動，淺顯易懂，方法新;

增強了我的思維能力，能用不同的標準來分類討論;

學會了很多教材上沒有的知識。

結合本節(jié)課，學生對“分類討論”的思想和用圖形來表示公式的“出入相補”原理都有更深的理解，達成了“知識與技能”的目標;而“過程與方法”則更是在深入思考的前提下給予學生動手實踐的機會，不僅讓學生體會到七巧板中古人的智慧，更是從另一個角度來重構七巧板的功能，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力; 本節(jié)課中對七巧板的全新解構，讓學生認識到數(shù)學來源于生活，與生活息息相關，而不是一些冰冷的符號、公式、運算，使得數(shù)學更具有親和力，讓學生逐步喜歡上數(shù)學，這些都是“情感態(tài)度與價值觀”目標實現(xiàn)的標志。 總之，在HPM教學設計中，教師可以充分挖掘和拓展教材，對數(shù)學史的材料進行重構，使得數(shù)學史知識、數(shù)學史教育在課堂上發(fā)揮更大的價值。

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