楊迎娟　田凱利

摘? 要：該文通過對高等數(shù)學(xué)中分部積分計算公式的研究，說明在分部積分計算時，除了記住“反對冪指三”的計算順序之外，還需要特別注意的幾點。將計算分部積分的題型進行分類，并且通過具體的例題說明分部積分計算的技巧和經(jīng)驗。進一步加深學(xué)生對概念和公式的理解，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：分部積分? 被積函數(shù)? 原函數(shù)? 教學(xué)效果

中圖分類號：G642 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）02（c）-0137-02

Abstract： This paper studies the calculation formula of the integral of the division in higher mathematics. Besides remembering that the order of calculation is inverse trigonometric function， logarithmic function， power function， exponential function and trigonometric function， and the points needing attention when calculating the integral of the division are explained. Through specific examples to illustrate the skills and experience of calculation of integration by parts to deepen the understanding of concepts and formulas for students and improve teaching results for teacher.

Key Words： Integration by parts; Integrand; Primitive; Teaching effect

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2020.06.137

關(guān)于分部積分計算需要注意的幾點

楊迎娟? 田凱利

（安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院? 安徽蕪湖? 241000）

摘? 要：該文通過對高等數(shù)學(xué)中分部積分計算公式的研究，說明在分部積分計算時，除了記住“反對冪指三”的計算順序之外，還需要特別注意的幾點。將計算分部積分的題型進行分類，并且通過具體的例題說明分部積分計算的技巧和經(jīng)驗。進一步加深學(xué)生對概念和公式的理解，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：分部積分? 被積函數(shù)? 原函數(shù)? 教學(xué)效果

中圖分類號：G642 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）02（c）-0137-02

Abstract： This paper studies the calculation formula of the integral of the division in higher mathematics. Besides remembering that the order of calculation is inverse trigonometric function， logarithmic function， power function， exponential function and trigonometric function， and the points needing attention when calculating the integral of the division are explained. Through specific examples to illustrate the skills and experience of calculation of integration by parts to deepen the understanding of concepts and formulas for students and improve teaching results for teacher.

Key Words： Integration by parts; Integrand; Primitive; Teaching effect

分部積分是不定積分計算方法中的一類重要的、基本的計算方法，它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導(dǎo)而來的。分部積分的主要作用是將不容易直接求出結(jié)果的不定積分通過轉(zhuǎn)化為等價的容易求出積分結(jié)果的不定積分。

1? 分部積分的原則

由導(dǎo)數(shù)公式（uv）'=u'v+uv'，積分可得。移項可得分部積分公式：或者。在進行函數(shù)的分部積分時，選取u及v'的原則：

（1）v比較容易求出。

（2）公式右邊的不定積分比公式左邊的不定積分容易計算出來結(jié)果。

2? 計算需要注意的幾點

在進行分部積分計算的時候，對于被積分的函數(shù)，一般按照“反對冪指三”的順序，前者為u，后者為v[1]。該文對分部積分的題型進行分類，通過分類說明分部積分計算中要注意的幾點。

（1）“直接分部化簡”型。

例1 求。

這類題型就是直接分部化簡的類型，按照“反對冪指三”的順序，設(shè)定冪函x數(shù)作為u，三角函數(shù)作cosx為v'，計算結(jié)果為xsinx+cosx+C。同理，如果求，那就要把反三角函數(shù)作為u，x作為v'。這類題型記住被積分函數(shù)的選取順序，直接化簡積分。

（2）“循環(huán)解出”型。

例2 求。

這類題目是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的分部積分，如果按照“反對冪指三”的順序，設(shè)定作為u，作為v'。但是與第一種情形不同，選取相應(yīng)的被積函數(shù)之后不能直接求解出積分結(jié)果，而是又出現(xiàn)一個指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的不定積分。這類題型我們稱之為“循環(huán)解出”型，對于這類題型必須注意兩次對于函數(shù)選取的類型必須一致。即對于不定積分，繼續(xù)選擇作為u，作為v'。此時一定要對學(xué)生強調(diào)“循環(huán)解出”類型的題目必須在兩次所選取的函數(shù)類型要一致，否則會越解越麻煩。而且，這類題型也可以將作為u，作為v'。

移項，可得。

（3）“遞推公式型”型。

對于含有自然數(shù)n的積分，通過分部積分建立遞推公式。

例3 求。

這類不定積分含有自然數(shù)n，選擇作為u，1作為v'?；喺砜傻媒Y(jié)果中含有項，即In+1。因此建立一個關(guān)于In+1與In的遞推公式，從而解出不定積分的結(jié)果。這類題型有明顯的自然數(shù)n，只有通過建立遞推公式才能巧妙地解出。

得遞推公式。已知，利用遞推公式可求得In。

（4）“整體換元”型。

例4 求。

這類題型學(xué)生會出現(xiàn)一個常見的錯誤。第一步都是湊微分，得到，然后按照分部積分的題型求解，即：

移項，可得0=1。學(xué)生會問這難道是一個錯題？顯然這個不定積分是正常的題型，為什么會得出這樣的驚人的結(jié)果？

首先，移項作兩個不定積分的相減，得到結(jié)果是0，這是第一個錯誤，因為不定積分是原函數(shù)的全體，不是數(shù)，相減不應(yīng)該為0。其次，這個類題型的正確做法是整體換元。即：

讓學(xué)生學(xué)到如此簡單的解法，再次感受到做題時整體考慮問題的重要性。同時讓學(xué)生掌握：不是出現(xiàn)乘積形式的被積函數(shù)就一定要用分部積分，解題最關(guān)鍵的是解法簡單，結(jié)果簡潔。

3? 結(jié)語

當被積函數(shù)是乘積的形式的不定積分，一般首先想到用分部積分公式計算。對被積函數(shù)的類型分類之后，按照“反對冪指三”的順序，計算不定積分。但是對于其他3類的題型，計算要注意上述需要注意的幾點，以免在計算的時候越算越麻煩。對于一道數(shù)學(xué)題目，要做到靈活運用合適的方法解題，需要學(xué)習(xí)過程中慢慢積累和總結(jié)。有的時候需要將分部積分和換元法結(jié)合使用，例如不定積分的求解，可以先分部積分再換元，也可以先換元再用分部積分。引導(dǎo)學(xué)生嘗試兩種方法來解題，讓學(xué)生體會不同解法的利弊，歸納總結(jié)出屬于自己的知識點。

參考文獻

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 周明儒.高等數(shù)學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2005.

[3] 余顯志.不定積分分部積分法教學(xué)小記[J].課程教育研究，2019（19）：127-128.

[4] 李東方.淺談不定積分的計算方法[J].科技風(fēng)，2019（25）：68.