李紅光，郭 英，眭 萍，蔡 斌, 2，蘇令華

(1. 空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院， 西安 710077； 2. 北京信息技術(shù)研究所， 北京 10094)

跳頻(FH)通信作為一種重要的擴(kuò)頻通信類型，在軍事通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[1-3].FH信號的空域信息是一項(xiàng)重要參數(shù)，能夠?yàn)镕H通信網(wǎng)臺分選和干擾引導(dǎo)等任務(wù)提供重要依據(jù).Lin等[4]通過構(gòu)造空時(shí)頻矩陣，實(shí)現(xiàn)FH信號波達(dá)方向(DOA)估計(jì)，但該類算法需要滿足信源數(shù)小于陣元數(shù)的超定條件，在實(shí)際應(yīng)用過程中受限.陳利虎[5]將空時(shí)頻分析與多重信號分類(MUSIC)算法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了FH信號在超定和欠定條件下的DOA估計(jì)，但是該算法復(fù)雜度較高.張東偉等[6]通過建立FH信號的極化敏感陣列觀察模型，結(jié)合空時(shí)頻分布矩陣和多項(xiàng)式求根方法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，該類算法的計(jì)算復(fù)雜度較低，但對接收陣列結(jié)構(gòu)要求較為嚴(yán)格.Fu等[7-8]利用盲源分離的方法進(jìn)行單源點(diǎn)檢測，根據(jù)估計(jì)出的載頻信息和混合矩陣實(shí)現(xiàn)FH信號的DOA估計(jì)，能夠?qū)崿F(xiàn)欠定條件下的多跳頻信號DOA估計(jì)，但該算法只適用于正交組網(wǎng)方式的FH通信，在低信噪比條件下，單源點(diǎn)檢測容易受到噪聲干擾，算法魯棒性較差.上述算法均只能完成一維DOA估計(jì)，而對于FH網(wǎng)臺的分選和定位，二維DOA的信息特征辨識度更高.現(xiàn)有文獻(xiàn)對于FH信號的二維DOA估計(jì)較少，于欣永等[9]首先構(gòu)造每一跳信號的空時(shí)頻矩陣，將共軛子空間的思想引入到MUSIC算法中，通過半普搜索實(shí)現(xiàn)多跳頻信號的二維DOA估計(jì)，該算法在一定程度上降低了MUSIC的計(jì)算復(fù)雜度，但只適用于不相關(guān)信源.張東偉等[10-11]通過設(shè)計(jì)陣元時(shí)頻點(diǎn)選取策略，構(gòu)建了每跳信號空間極化時(shí)頻矩陣，并利用最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)算法完成多跳信號的二維DOA估計(jì)，但該算法必須預(yù)先知道信源個(gè)數(shù)，運(yùn)算量較大.

隨著壓縮感知技術(shù)不斷發(fā)展，基于稀疏重構(gòu)理論的DOA估計(jì)算法[12-13]相繼出現(xiàn)，這類算法不易受信源數(shù)量和相干性的影響，對接收天線陣列誤差和噪聲敏感度低.目前，基于壓縮感知的DOA算法主要應(yīng)用于非FH信源.韓樹楠等[14]對近似0范數(shù)稀疏類算法進(jìn)行改進(jìn)，利用奇異值分解估計(jì)出DOA，提高了算法在低信噪比、低快拍數(shù)條件下的DOA估計(jì)性能.但是，該算法在求解凸優(yōu)化問題的過程中計(jì)算復(fù)雜度較高，而且容易受空間譜偽峰和正則化參數(shù)變化的影響，導(dǎo)致DOA估計(jì)不準(zhǔn).Lei等[15-16]采用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)方法完成了DOA估計(jì)，此類算法保持了L1范數(shù)稀疏重構(gòu)算法的估計(jì)性能，具有更強(qiáng)的可拓展性，計(jì)算復(fù)雜度也有所降低.

為了實(shí)現(xiàn)對FH信號二維DOA估計(jì)，更好地輔助于FH信號網(wǎng)臺分選，本文利用L型陣列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將FH信號方位向和俯仰向的二維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一維DOA估計(jì)問題，再構(gòu)建空間頻率的過完備字典，通過SBL重構(gòu)方法求得方位向和俯仰向的空間頻率，再由Capon[17-18]空間頻率配對算法完成FH信號頻率和空間頻率的正確配對，最終解算出FH信號跳頻率、方位角和俯仰角三維信息.為了降低算法計(jì)算復(fù)雜度，利用奇異值分解方法對兩個(gè)子陣的接收矩陣進(jìn)行降維預(yù)處理，降低矩陣維數(shù)，減少運(yùn)算時(shí)間.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 FH信號L型陣列接收模型

假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場FH信號s(t)=[s1(t)s2(t) …sK(t)]T入射到一個(gè)L型陣列，如圖1所示，圖中αi和βi分別為FH信號si(t) (i=1,2,…,K)入射方向與子陣x及y的夾角.該L型陣列位于x-y平面，子陣x和y互成90°，每個(gè)子陣分別由M(M>K)個(gè)陣元組成，陣元間距均為d且d

圖1 FH信號L型陣列接收示意圖Fig.1 Schematic diagram of FH signal L-array reception

在觀測時(shí)間內(nèi)，第i個(gè)FH信號可表示為

(1)

式中：νi為si(t)的幅度；Bi為在觀測時(shí)間內(nèi)si(t)的總跳數(shù)；fi,bi為si(t)第bi跳的載頻；Ti為si(t)的跳頻周期；t′為觀測時(shí)長，t′=t-(bi-1)Ti.

假設(shè)接收陣列中各陣元是各向同性的，則第i個(gè)FH信號在子陣x和y的導(dǎo)向矢量分別為

(2)

(3)

式中：τi,m=(M-m)fi,bidcosθisinφi/c；υi,m=(M-m)fi,bidsinθisinφi/c，m=1,2,…,M.

由圖1所示的空間幾何關(guān)系可得

將式(4)，(5)代入式(2)，(3)得

(6)

(7)

由式(6)和(7)可知，F(xiàn)H信號在子陣x和y的方位角、俯仰角和跳頻率三維信息可由空間角和跳頻率二維信息表示.為了進(jìn)一步降低算法求解難度，現(xiàn)定義第i個(gè)FH信號在頻率fi,b處的方位向空間頻率為Hi,b，俯仰向空間頻率為Vi,b，其表達(dá)式為

由式(8)和(9)可知，子陣x和y的導(dǎo)向矢量為

(10)

(11)

由式(10)和(11)可知，F(xiàn)H信號在子陣x和y只有空間頻率一維信息，則接收陣列流型矩陣可分別表示為

(12)

(13)

從而得到子陣x和y接收的FH信號分別為

1.2 基于空間頻率的FH信號稀疏表示

考慮到子陣x和y接收的FH信號空間頻率具有稀疏性，分別將方位向空間頻率和俯仰向空間頻率進(jìn)行均勻離散劃分，得到超完備的空間頻率集合，分別為F={F1,F2,…,FN}和G={G1,G2,…,GN}，F(xiàn)n和Gn分別表示空間頻率集合F和G中的第n個(gè)空間頻率元素，n=1,2,…,N，N為劃分網(wǎng)格數(shù)且N?M>K.則由式(14)和(15)可得基于空間頻率的子陣x和y單測量陣列輸出模型：

在多快拍數(shù)條件下，將子陣x和y每次接收的快拍數(shù)據(jù)L作為1個(gè)快拍幀進(jìn)行運(yùn)算，則基于空間頻率的稀疏表示為

(20)

同理，對于子陣y接收的FH信號也可以估計(jì)出其俯仰向空間頻率，即

(21)

2 算法原理

2.1 輸出矩陣降維預(yù)處理

在實(shí)際應(yīng)用過程中，為了提高FH信號DOA的估計(jì)精度，一般需要增加FH信號的快拍數(shù)L，但是隨著快拍數(shù)L的增加，輸出矩陣的維數(shù)增多，這必然會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大幅增加，算法的時(shí)效性降低.為了在保證算法估計(jì)精度的基礎(chǔ)上減少算法運(yùn)算時(shí)間，采用奇異值分解(SVD)的方法分別對輸出矩陣X和Y進(jìn)行降維處理.根據(jù)文獻(xiàn)[19-20]，矩陣X和Y的SVD表達(dá)式為

式中：Ux和Uy分別為X和Y的M×M維左特征正交矩陣；Σx和Σy為M×L維對角陣；Wx=[Wx1Wx2]和Wy=[Wy1Wy2]分別為X和Y的L×L維右特征正交矩陣，Wx1和Wy1分別為Wx和Wy的前K列.Wx1和Wy1中分別包含了X和Y經(jīng)過SVD分解后的特征值所對應(yīng)的所有特征向量，因此可得X和Y經(jīng)SVD降維后的矩陣Xsvd和Ysvd分別為

Xsvd和Ysvd包含了子陣x和y接收的所有FH信號空間頻率信息，可將式(18)和(19)轉(zhuǎn)化為

本節(jié)利用SVD算法將M×L維輸出矩陣X和Y降低到M×K維，且SVD算法本身對子陣接收的噪聲產(chǎn)生抑制作用.由于噪聲的奇異值相對于FH信號非常小，所以在SVD過程中能夠?qū)H信號中的大部分噪聲分離出來，提高了算法在低信噪比條件下的估計(jì)性能.

2.2 基于SBL的空間頻率估計(jì)

本節(jié)以子陣x為例，求解方位向空間頻率.根據(jù)式(26)，其觀測噪聲矩陣Ex-svd各列均是相互獨(dú)立的，且服從均值為0，協(xié)方差矩陣為(σ2/L)IM(IM為M×M維單位矩陣)的高斯分布.則Xsvd關(guān)于FH信號幅度的概率密度函數(shù)可表示為

(28)

本節(jié)SBL引入中間參數(shù)γ=[γ1γ2…γN]T表示FH信號在空間頻率集Dx上的功率譜分布，各參數(shù)間相互獨(dú)立，且有

(29)

式中：N(0,Γ)為均值為0，協(xié)方差矩陣為Γ的高斯分布，Γ=diag(γ).

(30)

(31)

(32)

式中：US為均值；ΣS為方差.

對式(30)取對數(shù)并忽略其常數(shù)項(xiàng)，即可得到優(yōu)化γ的目標(biāo)函數(shù)：

(γ,

(33)

(34)

通過式(34)的j次迭代運(yùn)算后，可估計(jì)出所有FH信號的方位向空間頻率集

則其對應(yīng)噪聲功率的無偏估計(jì)值為

(35)

(36)

式中：λm表示Xsvd的第m個(gè)奇異值.

2.3 Capon空間頻率配對方法

根據(jù)式(8)，其方位向空間角可表示為

αi=arccos(cHi,b/fi,b)

(37)

可見，只要將FH信號的跳頻率和空間頻率正確配對，即可估計(jì)出方位向和俯仰向的空間角，從而解算出方位角、俯仰角和跳頻率三維信息.

將式(14)進(jìn)行傅里葉變換，可得到子陣x接收的混合信號在fi,b處的頻域輸出為

x(fi,b)=Ax(Hi,b)sx(fi,b)+ex(fi,b)

(38)

式中：sx(fi,b)為子陣x接收的FH信號在fi,b處的頻域輸出；ex(fi,b)為子陣x接收的噪聲在fi,b處的頻域輸出.

根據(jù)Capon波束形成思想，對方位向空間頻率上的FH信號功率進(jìn)行歸一化處理，并最小化子陣x輸出功率，其約束方程為

(39)

式中：ω為最優(yōu)權(quán)值系數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[24]有

(40)

Rx(fi,b)為頻率fi,b處的頻域協(xié)方差矩陣，

Rx(fi,b)=E[x(fi,b)xH(fi,b)]

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

2.4 算法流程及復(fù)雜度分析

本文算法的具體步驟如下：

(1) 構(gòu)造方位向和俯仰向空間頻率字典F和G.

(2) 根據(jù)式(18)和(19)構(gòu)造方位向和俯仰向空間頻率的陣列輸出矩陣X和Y，流型矩陣Dx和Dy.

(3) 根據(jù)式(24)和(25)降低輸出矩陣X和Y經(jīng)過SVD分解得到降維后的矩陣Xsvd和Ysvd，減少計(jì)算量.

τ=

(47)

圖2 相干FH信號的空間頻率估計(jì)和空間角與頻率配對結(jié)果Fig.2 Spatial frequency estimation and pairing results of coherent FH signals

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對比分析本文算法和文獻(xiàn)[13]基于MUSIC的對稱壓縮譜算法(MSCS)的二維DOA估計(jì)性能.假設(shè)有若干個(gè)遠(yuǎn)場FH信號分別從不同角度入射到L型均勻陣列上，子陣陣元數(shù)均為8，陣元間距為1 m，角度范圍 -90°～90°，頻率范圍0～100 MHz，則空間頻率Hi,b和Vi,b的范圍為 -0.333 3～0.333 3，超完備字典網(wǎng)格數(shù)N=400.

實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證本文算法對相干FH信號的空間頻率估計(jì)以及與跳頻率正確配對的有效性.假設(shè)兩個(gè)遠(yuǎn)場相干FH信號的入射角分別為(-25°，57°)和(33°，-48°)，F(xiàn)H周期均為100 μs，頻率集均為{41,62,87} MHz，采樣率為200 MHz，采樣時(shí)長為1 ms，信噪比為0.經(jīng)計(jì)算，兩個(gè)FH信號的空間頻率分別為(0.103 9，-0.048 4)，(0.157 1，-0.073 3)，(0.220 4，-0.102 8)和(-0.085 2，-0.055 3)，(-0.128 8，-0.083 6)，(-0.180 7，-0.117 4).圖2所示為兩個(gè)相干FH信號在快拍數(shù)為80條件下的空間頻率估計(jì)和配對結(jié)果.圖中：P為功率；Spf為空間頻率；Spa為空間角.從圖2(a)和2(b)可知，SBL-Capon算法能夠?qū)崿F(xiàn)對相干FH信號空間頻率的有效估計(jì).從圖2(c)和2(d)可知，在完成空間頻率正確估計(jì)后，利用基于FFT變換的頻率估計(jì)和Capon空間頻率配對算法， 將空間頻率和跳頻率進(jìn)行正確配對并得到空間角，根據(jù)入射角空間幾何關(guān)系，計(jì)算出方位角和俯仰角，實(shí)現(xiàn)了FH信號跳頻率和二維DOA的聯(lián)合估計(jì).由圖2(c)還可以看出，SBL-Capon算法能夠?qū)H信號頻率集進(jìn)行分選，即相同空間角度的跳頻率來自于同一個(gè)FH信號，當(dāng)觀測時(shí)間足夠長時(shí)，即可完成FH信號的跳頻率集估計(jì)，能夠有效輔助FH網(wǎng)臺分選.

實(shí)驗(yàn)2對比分析SBL-Capon和 MSCS兩種算法在不同空間頻率間隔下的空間頻率估計(jì)精度.由空間頻率定義和空間角幾何關(guān)系可知，空間頻率的估計(jì)精度對DOA的解算精確性有重要影響.為了方便控制仿真中各FH信號間的空間頻率間隔，由于MSCS算法只適用于非相干信源，所以取入射角相近的兩個(gè)非相干FH信號.其入射角分別設(shè)為(25°，64°)和(27°，62°)，頻率集均為{71,86,97} MHz，跳周期分別為100和50 μs，采樣率為200 MHz，采樣時(shí)長為1 ms，信噪比0 dB，快拍數(shù)為80.經(jīng)計(jì)算，兩個(gè)FH信號的空間頻率分別為(0.192 8,0.089 9)，(0.233 5,0.108 9)，(0.263 4,0.122 8)和(0.186 2,0.094 9)，(0.225 5,0.114 9)，(0.254 4,0.129 6).圖3為SBL-Capon和 MSCS兩種算法的空間頻率估計(jì)結(jié)果.從圖3(b)和3(d)可知，當(dāng)FH信號源的空間頻率間隔較小時(shí)(即空間角度相近)，SBL-Capon算法的估計(jì)精度優(yōu)于 MSCS算法的估計(jì)精度.

圖3 非相干FH信號的空間頻率估計(jì)結(jié)果Fig.3 Spatial frequency estimation results of non-coherent FH signals

圖4所示為空間頻率估計(jì)的方均根誤差隨最小空間頻率間隔的變化情況，圖中ΔS為最小空間頻率間隔，空間頻率范圍為0.01～0.1，最小間隔0.02，空間頻率的方均根誤差為

RMSEFV=

(48)

從圖4可知，當(dāng)兩個(gè)FH信號的最小空間頻率間隔較小時(shí)，SBL-Capon的空間頻率估計(jì)性能優(yōu)于MSCS算法的空間頻率估計(jì)性能.隨著空間頻率間隔增加，MSCS算法的空間頻率估計(jì)精度逐漸提高，SBL-Capon算法的估計(jì)性能基本保持不變，不易受空間頻率間隔影響，當(dāng)空間頻率間隔大于0.07時(shí)，SBL-Capon和MSCS算法的估計(jì)性能基本一致.

實(shí)驗(yàn)3對比分析SBL-Capon和 MSCS兩種算法在不同信噪比下DOA方均根誤差和估計(jì)成功率.假設(shè)：3個(gè)非相干遠(yuǎn)場FH信號，入射角在 -90°～90° 范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，角度間隔不小于2°；FH周期分別為150，100和80 μs；頻率集分別為65～95 MHz范圍內(nèi)的3個(gè)隨機(jī)頻率，且同一個(gè)FH信號的相鄰跳點(diǎn)頻率間隔大于5 MHz；采樣率為200 MHz，采樣時(shí)長為1 ms，快拍數(shù)為80；信噪比范圍 -10～20 dB，間隔為2 dB.

圖4 空間頻率估計(jì)的方均根誤差隨最小空間頻率間隔變化Fig.4 Root mean square error varies of the spacial frequency with minimum spatial frequency interval

DOA方均根誤差RMSEDOA和估計(jì)成功率ηDOA分別為

RMSEDOA=

(49)

(50)

圖5 不同信噪比下DOA估計(jì)性能Fig.5 DOA estimation performance under different SNR

圖6 不同快拍數(shù)下DOA估計(jì)性能Fig.6 DOA estimation performance under different snapshots

圖5所示為RMSEDOA和ηDOA隨信噪比SNR增加的變化情況.從圖5可知，隨著信噪比增加，兩種算法的DOA估計(jì)方均根誤差逐漸減小，估計(jì)成功率逐漸提高.在低信噪比條件下，SBL-Capon算法的估計(jì)精度和成功率均高于MSCS算法.主要原因是由于SVD降維預(yù)處理和SBL稀疏求解過程都對噪聲起到抑制作用，當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí)，兩種算法的估計(jì)性能基本一致.

實(shí)驗(yàn)4對比分析SBL-Capon和 MSCS兩種算法在不同快拍數(shù)下DOA方均根誤差和估計(jì)成功率.假設(shè)：3個(gè)非相干遠(yuǎn)場FH信號，入射角在 -90°～90° 范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，角度間隔不小于2°；FH周期分別為150，100和80 μs；頻率集分別為 65～95 MHz范圍內(nèi)的3個(gè)隨機(jī)頻率，且同一FH信號的相鄰跳點(diǎn)頻率間隔大于5 MHz；采樣率為200 MHz，采樣時(shí)長為1 ms，信噪比0 dB；快拍數(shù)范圍50～550，間隔50.圖6所示是RMSEDOA和ηDOA隨快拍數(shù)變化情況.從圖6可知：隨著快拍數(shù)的增加，兩種算法的DOA估計(jì)性能逐漸提高；在低快拍數(shù)條件下，SBL-Capon的DOA估計(jì)精度和成功率均優(yōu)于MSCS算法；當(dāng)快拍數(shù)大于450后，兩種算法的估計(jì)性能基本保持不變.

實(shí)驗(yàn)5對比分析SBL-Capon算法在不同字典網(wǎng)格數(shù)N下DOA方均根誤差RMSEDOA和運(yùn)算時(shí)間t.假設(shè)：3個(gè)非相干遠(yuǎn)場FH信號，入射角在 -90°～90° 范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，角度間隔不小于2°；FH周期分別為150，100和80 μs；頻率集分別為65～95 MHz范圍內(nèi)的3個(gè)隨機(jī)頻率，且同一FH信號的相鄰跳點(diǎn)頻率間隔大于5 MHz；采樣率為200 MHz，采樣時(shí)長為1 ms，快拍數(shù)為80；信噪比范圍 -10～20 dB，間隔2 dB；N取值分別為300，400和500.運(yùn)算時(shí)間均是在MATLAB2014環(huán)境下，通過TIC和TOC指令計(jì)算平均運(yùn)算時(shí)間t.

圖7所示為不同網(wǎng)格數(shù)N條件下RMSEDOA和t隨信噪比增加的變化情況.從圖7可知，在相同信噪比條件下，字典網(wǎng)格數(shù)越小，算法運(yùn)算時(shí)間越短.這主要是由于字典網(wǎng)格數(shù)減少使得流型矩陣各列之間相關(guān)性減弱，從而減小了超參數(shù)求解的迭代次數(shù)，加快了算法收斂，但是DOA估計(jì)精度也有所下降.因此，在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)FH信號帶寬范圍合理劃分字典間隔.

圖7 不同網(wǎng)格數(shù)下DOA估計(jì)性能和運(yùn)算時(shí)間Fig.7 DOA estimation performance and operation time under different grid numbers

4 結(jié)語

為了更好地輔助FH信號網(wǎng)臺分選，本文提出一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的FH信號二維DOA估計(jì)算法.該算法首先根據(jù)入射角的空間幾何關(guān)系，將方位角、俯仰角和跳頻率三維信息轉(zhuǎn)換為一維空間頻率信息，降低了稀疏重構(gòu)算法復(fù)雜度.然后經(jīng)過SVD降維處理，減少矩陣運(yùn)算維數(shù)，通過SBL算法估計(jì)出空間頻率，利用FFT頻率估計(jì)算法和Capon空間頻率配對算法將空間頻率和跳頻率正確配對，解算出方位角和俯仰角.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在低信噪比或低快拍數(shù)條件下，該算法能有效估計(jì)出相干或非相干多FH信號的二維DOA信息，而且不易受空間頻率間隔影響.如何進(jìn)一步提高本算法時(shí)效性，以及實(shí)現(xiàn)FH信號DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)是下一步研究工作.