曲 揚，羅永峰，朱釗辰，黃青隆

(同濟大學 土木工程學院， 上海 200092)

自汶川大地震以來，我國地震災害的機理研究、監(jiān)測預警、結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防和鑒定加固體系深度革新[1]，在此背景下，地震反應分析對象從原有的一維、單體結(jié)構(gòu)逐漸向多維化、區(qū)域化的建筑群過渡，其中大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作為最常見的公共建筑結(jié)構(gòu)形式，其多維性能化抗震設(shè)計的研究狀況滯后于工程應用的現(xiàn)象越發(fā)明顯.目前，大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在強震下彈塑性反應多采用時程分析方法計算，但該方法依賴于地震波的選擇，且計算代價較高[2].鑒于此，脫胎于反應譜理論發(fā)展而來的推覆分析方法，由于概念清晰、計算簡便，常用于推定結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下的彈塑性行為，該方法計算精度能夠滿足抗震性能化設(shè)計需求[3].

源于經(jīng)典Pushover方法基本假定，推覆分析方法在具體實踐中需面臨荷載模式的確定這一關(guān)鍵問題.侯愛波等[4]在對不同荷載模式的適用性進行深入研究后認為，對于振型豐富且復雜的結(jié)構(gòu)形式，應采用考慮結(jié)構(gòu)多階振型的荷載模式進行推覆分析.相陽等[5]采用SRSS(平方和開平方根)方法對振型位移進行組合，給出了適用于網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的推覆荷載模式，但該荷載模式僅考慮了結(jié)構(gòu)的自振特性，并未考慮地震動輸入的特性.Ohsaki等[6]針對大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)提出了一種多模態(tài)線性組合的推覆分析方法，雖然考慮了位移耦合和多階振型，但多次組合模態(tài)進行推覆分析的方法，既缺乏物理意義解釋，也喪失了簡潔性.Poursha等[7]基于對不同振型坐標相關(guān)性的分析，給出了適用于多高層結(jié)構(gòu)的振型向量線性組合的荷載模式，但該方法需事先根據(jù)彈性譜計算振型坐標的相關(guān)性，且針對網(wǎng)格結(jié)構(gòu)及多維地震激勵的適用性尚未被驗證.

自Chopra提出模態(tài)推覆分析方法后，推覆分析的熱點逐漸由多振型問題轉(zhuǎn)向多維化問題，已有國內(nèi)外學者對此進行了深入研究.Reyes等[8]基于模態(tài)推覆分析方法和主軸模型，率先提出了三維模態(tài)推覆分析方法，該方法對多振型響應進行CQC(完全二次項平方根)組合、對多維響應進行SRSS組合，從而得到結(jié)構(gòu)總響應.但該方法僅討論了結(jié)構(gòu)在水平兩維激勵下的動力響應，并未涉及對大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)尤為重要的豎向地震作用.為擺脫多維模態(tài)推覆分析方法對主軸模型的依賴，Manoukas等[9]引入了兩維地震動輸入呈線性關(guān)系的基本假定，基于一個能夠同時考慮兩維激勵和響應的等效單自由度體系，提出了兩維多模態(tài)推覆分析方法，通過一次模態(tài)推覆即可同時考慮兩維響應，但該方法相比三維模態(tài)推覆分析方法實際上并未減少所需選取的振型階數(shù)，且計算精度并無顯著提升.王豐等[10]引入了兩維彈性反應譜呈線性相關(guān)關(guān)系的假定，針對多高層結(jié)構(gòu)提出了兩階段多維推覆分析方法，通過改進的需求譜求解目標性能點，但該方法確定荷載模式時僅考慮了基底剪力，顯然不適用于多維耦合的網(wǎng)格結(jié)構(gòu).針對已有推覆分析成果尚未涉及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)豎向地震作用的現(xiàn)狀，楊木旺[11]沿用Pushover方法的思路，利用基于延性系數(shù)的方法建立了彈塑性豎向需求譜，從而提出了評估網(wǎng)格結(jié)構(gòu)豎向抗震性能的Pushdown方法，但該方法仍無法考慮多維位移耦合效應.

針對上述問題，本文通過對振型響應進行合理的線性組合，構(gòu)造了兩維地震激勵下的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的變形模式，在對兩維地震動輸入進行適當簡化的基礎(chǔ)上，建立了基于給定變形模式的等效單自由度體系，并推導了其動力方程，進而給出了等效單自由度體系的A-D格式能力曲線，從而提出了大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下動力響應的簡化評估方法，并總結(jié)了簡化方法的計算步驟.選取一個大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)為分析對象，對結(jié)構(gòu)分別在硬土和軟土場地若干條地震波兩維分量激勵下的動力響應進行計算，并與時程法計算結(jié)果進行對比，以驗證簡化方法的適用性與實用性.

1 簡化評估方法基本理論

1.1 變形模式的構(gòu)造

根據(jù)振型疊加法，結(jié)構(gòu)體系的總響應常采用CQC或SRSS振型響應組合法進行計算，但CQC方法過于復雜，實用性低，SRSS方法忽略振型間相互影響，且采用SRSS組合時，式中僅出現(xiàn)被不規(guī)則放大的正向位移響應，而無負向位移響應，造成變形模式進一步失真，尤其不適用于振型復雜的大跨度網(wǎng)格結(jié)構(gòu).此外，基于振型疊加法的模態(tài)推覆分析方法，需對選取的每一階振型均進行一次推覆分析，對于有效質(zhì)量參與系數(shù)累積緩慢的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，對多階振型進行模態(tài)推覆分析在一定程度上犧牲了推覆分析方法的簡潔性.基于此，本節(jié)給出線性組合振型響應進而構(gòu)造變形模式的方法，從而兼顧地震動輸入特性和多階振型的影響，將多階振型推覆分析縮減為一次.

對于線彈性體系，結(jié)構(gòu)在地震作用下的動力響應u(t)可擴展表示為

(1)

式中：φl、ql(t)分別為第l階振型的振型向量和廣義振型坐標.

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學，第l階振型的響應ul(t)為

ul=ΓlDl(t)φl

(2)

式中：Γl、Dl(t)分別為第l階振型的振型參與系數(shù)和譜位移.從而式(1)可寫為

(3)

對于非線性體系，地震作用下的位移響應仍可按線彈性體系的模態(tài)分解方法(式(3))進行擴展分解，但隨著結(jié)構(gòu)進入彈塑性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，若仍按照式(3)形式采用線彈性階段的振型組合得到結(jié)構(gòu)位移響應，可通過振型組合系數(shù)的形式考慮非線性體系的彈塑性發(fā)展以及各階振型的相關(guān)性(如文獻[5-7]).

有效質(zhì)量參與系數(shù)反映振型空間分布與動力輸入空間分布間的相似程度，是衡量結(jié)構(gòu)振型反應對結(jié)構(gòu)整體振動反應貢獻的合理指標.一般而言，振型的有效質(zhì)量參與系數(shù)越高，則該階振型對于結(jié)構(gòu)整體響應的控制作用往往越顯著，其振型組合系數(shù)越高[12-13].因此，針對格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)，為考慮橫向和豎向位移的耦合，同時兼顧地震動輸入特性和多階振型的相互影響，本文以有效質(zhì)量參與系數(shù)作為振型組合系數(shù)，構(gòu)造兩維地震激勵下目標性能點處的變形模式Φr為

Φr=∑rnΓnDnφn

(4)

式中：rn為第n階振型的有效質(zhì)量參與系數(shù).計算時，可依據(jù)有效質(zhì)量參與系數(shù)遴選結(jié)構(gòu)主振型，并使其累積值達到抗震規(guī)范的要求.

基于式(4)構(gòu)造的變形模式，僅需對結(jié)構(gòu)實施一次非線性推覆分析，計算結(jié)果即可較為全面地反映地震動輸入特性及各主振型對結(jié)構(gòu)總響應的貢獻.

1.2 動力方程的轉(zhuǎn)化

(5)

式中：u(t)為由于兩維地震激勵產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)體系動力位移向量；M和C分別為結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；lx和lz分別為x向和z向影響因子；Fs(t)為結(jié)構(gòu)體系恢復力向量，與當前變形狀態(tài)和加載歷史相關(guān).

現(xiàn)假定兩維地震動輸入呈相關(guān)關(guān)系，即

(6)

式中：κ為比例系數(shù).于是，式(5)右邊的有效地震力peff(t)可簡化為

(7)

式中：lxz=lx+κlz為兩維等效影響因子.

假定結(jié)構(gòu)體系在兩維地震激勵下的變形模式為Φr，則動力位移向量為

u(t)=Φrqr(t)

(8)

式中：qr(t)為對應變形模式Φr的廣義坐標.

(9)

(10)

(11)

(12)

取等效振型參與系數(shù)Γr=Lr/Mr，令qr(t)=ΓrDr(t)，代入式(12)整理得到

(13)

式(13)即為與原MDF體系相對應的等效單自由度(Equivalent Single Degree of Freedom, ESDF)體系的基本動力方程，其中等效位移響應Dr(t)與結(jié)構(gòu)整體動力位移響應u(t)滿足如下關(guān)系

u(t)=ΓrΦrDr(t)

(14)

(15)

1.3 兩維地震動輸入的簡化

文獻[9]和[10]均引入了兩維地震動輸入呈線性相關(guān)關(guān)系的基本假定進行研究，雖大大簡化了理論推導過程，但其基本假定中線性相關(guān)系數(shù)的取值均未考慮地震動輸入特性，即對于不同的地震動，兩維輸入的線性相關(guān)關(guān)系不變，與實際不符.本節(jié)基于地震動輸入、彈性反應譜、結(jié)構(gòu)峰值位移響應量三者之間的對應關(guān)系，提出改進的兩維地震動輸入簡化方法.

(19)

對于兩維地震動輸入呈相關(guān)關(guān)系這一基本假定(式(6))，其關(guān)鍵是確定比例系數(shù)κ，結(jié)合式(17)和(19)可知：

(20)

(21)

1.4 ESDF體系的建立

本節(jié)采用非線性推覆分析轉(zhuǎn)化得到Ar-Dr關(guān)系，從而建立ESDF體系.

取結(jié)構(gòu)動力變形模式為Φr，則結(jié)構(gòu)體系的位移響應ur為

ur=ΓrDrΦr

(22)

設(shè)線彈性體系的恢復力增量ΔFs為

ΔFs=ΚΔur=ΓrΔDrΚΦr=

(23)

從而推覆荷載增量ΔFr可表示為

ΔFr=ΔFs=ΔχrMΦr

(24)

根據(jù)式(15)，偽加速度增量ΔAr和等效位移增量ΔDr分別為

(25)

(26)

進入非線性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，但考慮到振型相互之間耦聯(lián)性仍較弱，推覆分析的推覆荷載增量ΔFr仍可采用式(24)表示，因而，此時結(jié)構(gòu)體系的恢復力增量ΔFs可以表示為

ΔFs=ΔFr=ΔχrMΦr

(27)

從而偽加速度增量ΔAr為

(28)

(29)

至此，通過對結(jié)構(gòu)進行非線性推覆分析，得到了非線性體系的Ar-Dr關(guān)系.

1.5 簡化方法計算步驟

本文簡化方法的計算步驟如下：

(1) 對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，選取主振型，根據(jù)式(4)構(gòu)造變形模式Φr；

(2) 針對選取的地震波兩維分量，按1.3節(jié)對兩維地震動輸入進行簡化；

(3) 由變形模式導出荷載模式(式(24))，對結(jié)構(gòu)進行非線性推覆分析，得到Ar-Dr關(guān)系；

(4) 基于Ar-Dr關(guān)系，建立對應變形模式Φr的ESDF體系；

(5) 對ESDF體系進行時程分析，得到其目標性能點；

(6) 根據(jù)目標性能點處的結(jié)構(gòu)彈塑性響應，對結(jié)構(gòu)的抗震性能進行評估.

2 數(shù)值算例

為了驗證本文所提出簡化方法的適用性，基于 ANSYS 和MATLAB平臺，選取一系列地震波兩維分量，采用本文簡化方法和時程分析方法對一個大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應進行計算分析，并以兩向節(jié)點位移、單元最大應力以及計算精度和耗時作為對比參數(shù)，分析簡化方法的誤差和效率.

2.1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型

大跨度柱承格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)跨度45 m，高度15 m，上部拱結(jié)構(gòu)高度5 m，厚度1.2 m，矢跨比1/9，下部支承柱高度10 m，寬度1.5 m，支承柱腳為固定鉸支座.上部拱結(jié)構(gòu)外環(huán)節(jié)點集中質(zhì)量0.5 t，內(nèi)環(huán)節(jié)點集中質(zhì)量0.1 t，結(jié)構(gòu)模型和桿件截面如圖1所示.材料為Q235鋼，采用雙線性隨動強化模型，彈性模量206 GPa，屈服強度235 MPa，屈服后彈性模量0.8 GPa，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02.上部拱結(jié)構(gòu)節(jié)點編號為順時針序，外環(huán)節(jié)點1～35號，內(nèi)環(huán)節(jié)點36～68號，下部支承柱節(jié)點自下而上、自左而右編號為 69～88號，如圖1中括號標注所示.上部拱結(jié)構(gòu)單元編號同樣為順時針序，上弦桿單元1～34號，下弦桿單元35～66號，直腹桿單元67～99號，斜腹桿單元100～133號，下部支承柱單元如圖1中局部詳圖標注所示.本算例研究格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應，x向和z向主振型信息見表1和圖2，所列兩向主振型的累積質(zhì)量參與系數(shù)均超過了70%.

圖1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型及桿件截面Fig.1 Structural layout and member sections of the arch

圖2 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)主振型Fig.2 Fundamental vibration modes of the arch

表1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)主振型信息Tab.1 Information of fundamental modes of the arch

2.2 結(jié)構(gòu)ESDF體系

為兼顧簡化方法的準確性和簡潔性，本算例選取x向第1階和z向前2階主振型構(gòu)造變形模式，累積質(zhì)量參與系數(shù)達到70%，進而根據(jù)式(24)得到荷載模式進行非線性推覆分析，求得ESDF體系的Ar-Dr關(guān)系，對非線性推覆分析所得Ar-Dr曲線進行雙線性化處理[14]，即得到可用于時程分析求解的ESDF體系A(chǔ)r-Dr關(guān)系曲線.以地震波FS1和SS1為例，ESDF體系推覆分析得到的雙線性化Ar-Dr關(guān)系曲線如圖3所示.

圖3 ESDF在地震波FS1和SS1作用下的Ar-Dr關(guān)系曲線Fig.3 Ar-Dr curves for ESDF under FS1 and SS1

圖4 地震波偽加速度反應譜圖Fig.4 Pseudo acceleration response spectra of the seismic waves

2.3 結(jié)構(gòu)動力響應

2.3.1地震動輸入 為驗證簡化方法對于不同場地周期的適用性，本文從日本地球科學與防災技術(shù)研究所(NIED)的K-NET強震數(shù)據(jù)庫中選取2003年以來震級6.5級以上的8次地震，提取其硬土和軟土場地各12條地震波的x向和z向分量作為地震動輸入，其偽加速度譜見圖4.根據(jù)主軸模型[15-16]，兩維反應譜加速度Axz(T)為

(30)

2.3.2結(jié)構(gòu)節(jié)點位移響應 采用簡化方法(Simplified Procedure, SP)和時程分析(Response History Analysis, RHA)方法得到的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)節(jié)點位移(Unode)如圖5所示.相比時程分析方法計算結(jié)果，簡化方法動力響應計算結(jié)果的平均誤差ρ采用下式計算：

(31)

式中：rSP和rRHA分別為采用簡化方法和時程分析方法計算得到的響應量.

圖5 簡化方法和時程分析方法節(jié)點位移計算結(jié)果對比Fig.5 Nodal displacement responses given by SP and RHA

計算結(jié)果表明，采用簡化方法計算得到的目標性能點處的結(jié)構(gòu)位移響應與時程分析方法的計算結(jié)果比較接近：① 兩者計算結(jié)果的位移值隨節(jié)點號的變化趨勢大致相同，表明兩者在目標性能點處的變形模式基本一致，證明了本文構(gòu)造變形模式的合理性；② 與時程分析方法的計算結(jié)果相比，簡化方法在x方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為15.1%，z方向最大位移節(jié)點處位移計算值的平均誤差為12.5%，且絕大部分節(jié)點誤差在25%以內(nèi)，說明本文提出的兩維地震動輸入簡化方法具備一定的適用性，能夠有效估計結(jié)構(gòu)的地震需求，但對結(jié)構(gòu)體系目標性能點的求解精度仍有待進一步改進.此外，由圖5可見，對于z方向最大位移，簡化方法計算結(jié)果均大于時程分析方法計算結(jié)果，說明簡化方法對于豎向位移的計算評估偏于安全.

圖6 簡化方法和時程分析方法單元最大應力云圖對比Fig.6 The extreme stresses of elements given by SP and RHA

圖7 簡化方法計算誤差Fig.7 Calculating errors of SP

2.3.3結(jié)構(gòu)最大單元應力響應 采用簡化方法和時程分析方法得到的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)單元最大應力(σmax)云圖如圖6所示.由圖可見，采用簡化方法求得的目標性能點處的單元最大應力與時程分析方法的計算結(jié)果比較接近，兩者計算結(jié)果的應力分布和變化趨勢基本相同，表明兩者在目標性能點處的單元應力狀態(tài)基本一致，說明基于變形模式導出的推覆荷載模式具備合理性.采用式(31)計算簡化方法所得結(jié)構(gòu)最大單元應力響應的誤差，各單元應力響應計算結(jié)果的誤差繪于圖7(a)，其平均誤差為16.6%，大部分單元應力誤差在30%以內(nèi).此外，簡化方法計算得到的單元應力普遍大于時程分析方法計算結(jié)果，說明簡化方法對于單元應力響應的計算評估偏于安全.將簡化方法和時程分析方法預測得到的屈服桿件數(shù)量統(tǒng)計示于圖7(b)，可見簡化方法對于結(jié)構(gòu)屈服桿件的預測可靠性較高，屈服桿件數(shù)量略高于時程分析方法，說明預測結(jié)果偏于安全.

2.4 計算效率對比

與對格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)直接進行時程分析相比，采用簡化方法，依據(jù)累積質(zhì)量參與系數(shù)截取不同振型階數(shù)構(gòu)造變形模式，從而分析得到的節(jié)點位移和單元最大應力計算誤差和計算耗時占比如表2所示.綜合圖5～7和表2可以發(fā)現(xiàn)，在保證了一定的計算精度的前提下，簡化方法相比時程分析方法在計算效率方面優(yōu)勢顯著，耗時僅為時程分析方法的20%～25%.此外，隨著選取主振型累積質(zhì)量參與系數(shù)的增大，簡化方法對位移響應和單元應力響應的計算精度分別提高9.1%和8.4%，而計算耗時也隨之增加，達到了時程分析方法的30%～35%，但相比之下仍然優(yōu)勢顯著，說明隨著截取振型的增多，本文構(gòu)造的變形模式考慮了更高階振型，故計算結(jié)果有所提高.綜上，當累積質(zhì)量參與系數(shù)達到70%時，簡化方法可較好地兼顧精度和耗時，計算效率較高.

表2 簡化方法與時程分析方法計算效率對比Tab.2 Comparison of computing efficiency by SP and RHA

3 結(jié)論

本文通過對各階振型響應按有效質(zhì)量參與系數(shù)進行線性組合，給出了兩維地震激勵下的格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的變形模式，并在對兩維地震動輸入進行適當簡化的基礎(chǔ)上，提出了大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下動力響應的簡化評估方法，同時給出了簡化方法的理論推導過程和計算步驟，通過兩種場地條件下兩維地震激勵的數(shù)值算例與時程分析方法進行對比分析，得出以下結(jié)論：

(1) 本文提出的變形模式能夠考慮雙向位移響應，且避免了SRSS方法對網(wǎng)格結(jié)構(gòu)位移響應的不合理放大，并將推覆分析縮減為一次；

(2)研究表明，本文對兩維地震動輸入的簡化，在保證了一定的計算精度的基礎(chǔ)上考慮了地震動輸入特性，從而大大簡化了理論推導；

(3) 數(shù)值分析結(jié)果表明，無論是硬土還是軟土場地，簡化方法對大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的動力響應均具有較好的適用性，節(jié)點兩向位移平均誤差分別為15.1%和12.5%，單元最大應力平均誤差為16.6%，計算精度較高；

(4) 簡化方法概念簡潔、可操作性強，且僅需較小的計算代價，即可得到較高的精度，計算結(jié)果偏于安全，可用于初步評估大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在兩維地震激勵下的抗震性能.