陳書敏，王長青，扎伯羅特諾夫·尤里，李愛軍

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院， 陜西 西安 710129； 2. 中俄國際空間系繩系統(tǒng)研究中心， 陜西 西安 710129；

3. 薩馬拉國家研究型大學(xué) 空間與火箭技術(shù)學(xué)院， 俄羅斯 薩馬拉 443082)

空間系繩系統(tǒng)(Space Tether System, STS)是一種可延展數(shù)十乃至上百千米的復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)。作為一種新型航天器組合體，該系統(tǒng)具有廣闊的應(yīng)用前景。例如：利用長系繩系統(tǒng)可探測地球大氣、重力場及磁場等[1-2]；利用系繩代替?zhèn)鹘y(tǒng)的剛體機(jī)械臂所構(gòu)成的空間繩系機(jī)器人可執(zhí)行太空垃圾捕獲、拖曳離軌等太空任務(wù)[3-4]。

空間系繩系統(tǒng)的動力學(xué)建模是研究的重難點。建立精確的動力學(xué)模型是一個亟待解決的問題[5]。一般而言, 系繩展開是執(zhí)行太空任務(wù)的第一步，也是任務(wù)成敗的關(guān)鍵[6]。展開運動的復(fù)雜性要求對其動力學(xué)模型進(jìn)行更深入細(xì)致的研究。

目前在系繩系統(tǒng)動力學(xué)研究領(lǐng)域，計入末端星姿態(tài)的系統(tǒng)動力學(xué)分析及控制問題研究尚不成熟。典型的系繩系統(tǒng)模型有連續(xù)體模型、離散模型以及剛性桿模型：連續(xù)體模型是基于偏微分方程的分布參數(shù)式模型，這類模型結(jié)果精確，但方程求解較為復(fù)雜；離散模型假設(shè)系繩由一系列離散點通過無質(zhì)量彈性桿連接構(gòu)成，劉壯壯等[7]建立了一種改進(jìn)的離散珠式模型，具有可變自由度等特點，但是當(dāng)選取的離散點足夠多時，同樣面臨計算量過大的問題[8]；剛性桿模型可以降低模型復(fù)雜度，縮短計算時間，并能體現(xiàn)系繩系統(tǒng)的基本特性，得到了廣泛應(yīng)用，學(xué)者們基于剛性桿模型設(shè)計了多種系繩展開控制律[9]?？偨Y(jié)而言，上述模型多側(cè)重于對系統(tǒng)中的繩子進(jìn)行建模分析，多將系繩末端連接的星體視為質(zhì)點，忽略其尺寸及姿態(tài)運動。對于實際的太空任務(wù)，末端星姿態(tài)往往不可忽略。例如利用系繩系統(tǒng)執(zhí)行近距離空間抓捕任務(wù)時，需要對系繩末端的抓捕機(jī)構(gòu)及目標(biāo)進(jìn)行姿態(tài)分析及控制[10]。

計入末端星體姿態(tài)運動時，系繩系統(tǒng)的動力學(xué)與控制問題變得較為復(fù)雜。此時，系統(tǒng)為快-慢時變自由度動力學(xué)系統(tǒng)[11]。Zabolotnov[12]采用積分流形法對這類系統(tǒng)的快、慢變量進(jìn)行了分離處理。余本嵩等[13]將釋放機(jī)構(gòu)視為質(zhì)點，研究了系繩釋放對主星姿態(tài)的影響。Pang等[14]指出在一定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)中的主星姿態(tài)將產(chǎn)生混沌運動。朱仁璋等[15]研究了狀態(tài)保持階段的子星振蕩與姿態(tài)運動。Liu等[16]針對短系繩建立了考慮子星姿態(tài)的動力學(xué)模型，并利用推力對子星姿態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定控制。Gou等[17]針對展開過程子星姿態(tài)不穩(wěn)定問題，采用分?jǐn)?shù)階控制設(shè)計了姿態(tài)穩(wěn)定控制器。上述研究對系繩一端星體(母星或子星)的姿態(tài)進(jìn)行了分析，但未將母星及子星的姿態(tài)進(jìn)行綜合考慮，且忽略了系繩展開與末端星姿態(tài)之間的耦合作用，而這種耦合作用可能導(dǎo)致系繩展開時纏繞衛(wèi)星，因此有必要對此加以研究。

研究末端星的姿態(tài)運動時，需要考慮星體動/靜不對稱性所造成的影響。靜不對稱性是指系繩連接點與星體慣性軸之間的偏差，動不對稱性則是衡量剛體質(zhì)量慣性特性不均勻性的指標(biāo)。王長青等[18]采用歐拉-牛頓方法建立了考慮子星姿態(tài)的系繩系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并基于該模型研究了子星靜不對稱的影響，但采用歐拉方程建立的姿態(tài)模型存在章動角奇異的情況。在衛(wèi)星制造過程中，通常存在動/靜不對稱性；且在系繩系統(tǒng)運行過程中，若產(chǎn)生質(zhì)量損耗或突變(如捕獲)，星體不對稱性將發(fā)生變化，因此需要研究星體不對稱性對系繩系統(tǒng)運動的影響。

本文研究空間雙體系繩系統(tǒng)展開過程中末端星體姿態(tài)的動力學(xué)問題，貢獻(xiàn)在于：①將系統(tǒng)中母星及子星視為尺寸不可忽略的剛體，推導(dǎo)出計入末端星姿態(tài)的系統(tǒng)展開數(shù)學(xué)模型，并考慮了系繩展開與末端星姿態(tài)運動之間的耦合作用; ②利用所得模型研究了系繩系統(tǒng)展開過程中末端星的角運動，以及存在初始擾動及動/靜不對稱性時的動力學(xué)特性。

1 動力學(xué)建模

本文研究的空間系繩系統(tǒng)由系繩連接母星和子星構(gòu)成，如圖1所示。為描述系統(tǒng)的展開運動，需要用到下列坐標(biāo)系：①OXYZ，地心赤道坐標(biāo)系；②OX0Y0Z0，地心軌道坐標(biāo)系；③cx0y0z0，軌道運動坐標(biāo)系，原點位于系統(tǒng)質(zhì)心，初始時刻各軸與OX0Y0Z0平行；④cxtytzt，系繩坐標(biāo)系，cxt軸沿系繩方向，指向母星，cxtyt平面與母星及子星矢徑Ra和Rb所張成的平面共面；⑤cixiyizi(i=1,2)，末端星本體坐標(biāo)系，原點固連于末端星質(zhì)心處，各坐標(biāo)軸沿星體慣性主軸方向。由系繩坐標(biāo)系通過“x-z-x”順序旋轉(zhuǎn)可得到本體坐標(biāo)系，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角分別為末端星姿態(tài)角：進(jìn)動角ψi、章動角αi以及自旋角φi。

圖1 空間雙體系繩系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of STS

為簡化模型推導(dǎo)過程，假設(shè)：

1)系統(tǒng)運行軌道為圓軌道，且運行軌道升交點赤經(jīng)Ω及軌道傾角i不變。

2)僅考慮萬有引力力矩與系繩張力力矩作用，忽略重力梯度及外部干擾作用影響。

3)系繩視為軸向不可承受壓力的剛性桿。

由于系繩展開多在一個或幾個軌道周期內(nèi)完成，時間相對較短，因此質(zhì)心軌道參數(shù)的變化幅度及外部干擾力矩的影響很小，可忽略不計。此外，展開過程中系繩保持張緊，張力始終為正值，不會出現(xiàn)系繩壓縮的情況，故可將系繩視為剛性桿。

根據(jù)第二類拉格朗日方程，有：

(1)

系統(tǒng)動能為：

T=T1+T2

(2)

其中，T1表示母星動能，T2表示子星動能。

建模時，假設(shè)系繩展開速度與展開方向平行，即VL1與L1共線，則母星動能T1為：

Vc·(ω1×Rc1)m1+VL1·(ω1×Rc1)m1+

Vc·VL1m1+(ωt×L1)·(ω1×Rc1)m1+

Vc·(ωt×L1)m1

(3)

子星動能表達(dá)式與母星形式一致，因此將下角標(biāo)1均用2替換，可得出子星的動能為：

Vc·(ω2×Rc2)m2+VL2(ω2×Rc2)m2+

Vc·VL2m2+(ωt×L2)·(ω2×Rc2)m2+

Vc·(ωt×L2)m2

(4)

其中：L1表示從系統(tǒng)質(zhì)心c指向母星連接點a的矢量，L2表示從c點指向子星連接點b的矢量，且假設(shè)L1與L2共線；Vc表示系統(tǒng)質(zhì)心速度，VL=VL1=-VL2表示系繩展開速度；ωt為系繩坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度，ωi(i=1,2)表示星體本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度；Rci(i=1,2)分別表示從母星及子星連接點指向相應(yīng)星體坐標(biāo)系原點的矢量；Ji(i=1,2)為星體的慣性張量矩陣。

于是有：

(ωt×L1)2m1+(ωt×L2)2m2+

(ω1×Rc1)2m1+(ω1×Rc2)2m2+

Rc1)m1+2VL2(ω2×Rc2)m2+2(ωt×L1)·(ω1×Rc1)m1+2(ωt×L2)·

(ω2×Rc2)m2

(5)

其中，

(6)

這里，Jt為系繩系統(tǒng)的慣性張量矩陣，形式為：Jt=diag(0,Jty,Jtz)。

計入系繩質(zhì)量：mt=ρL，其中，ρ表示系繩線密度，L為系繩展開長度，L=L1+L2。則系繩系統(tǒng)的主慣性矩為：

(7)

(8)

(9)

相對于系繩長度而言，Rci(i=1,2)均為小量，因此可忽略Rci(i=1,2)及其比例項，以簡化系統(tǒng)動能表達(dá)式。最終可得系統(tǒng)動能為：

(10)

這里，Vc=RcΩ(Rc表示系統(tǒng)質(zhì)心距地心的距離)。

系統(tǒng)勢能表達(dá)式為：

Π=Π1+Π2+Πt

(11)

其中，Πt表示將末端星體視為質(zhì)點時的系統(tǒng)勢能(即末端星質(zhì)心的位置勢能)，Π1、Π2分別表示將母星、子星視為有限尺寸剛體時的空間姿態(tài)勢能。

作用在系繩系統(tǒng)上的萬有引力為：

(12)

其中，ma=m1+mL1為母星與系繩段L1的總質(zhì)量，mb=m2+mL2為子星與系繩段L2的總質(zhì)量，Kg為地球的萬有引力常數(shù)，ri(i=1,2)表示地心到末端星質(zhì)心的距離，可由幾何關(guān)系求出：

(13)

式中，θ、β分別表示系繩的面內(nèi)角與面外角，γi為矢量Rc與Rci的夾角，δi為Li與Rci的夾角。

(14)

積分后可得母星及子星質(zhì)心的位置勢能為：

(15)

(16)

其中，ξ1i、ξ2i、ξ3i表示星體坐標(biāo)系各軸偏離地垂線的角度，ξ1i=arccos(DΣi1,1),ξ2i=arccos(DΣi1,2),ξ3i=arccos(DΣi1,3)。這里，矩陣DΣi為坐標(biāo)系cixiyizi與慣性系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

將上述各分項代入方程式(1)中，可得：

(17)

式中：i=1,2，…，8；q=(α1,2,ψ1,2,φ1,2,θ,β)。

同理，還可得出系繩展開時繩長L滿足：

(18)

其中，F(xiàn)c表示系繩張力。

根據(jù)各坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換關(guān)系，還可得末端星及系繩的角速度滿足下列運動學(xué)方程：

(19)

(20)

綜上，聯(lián)立式(17)～(20)，即得計入末端星姿態(tài)的空間雙體系繩系統(tǒng)展開階段數(shù)學(xué)模型。

2 系繩系統(tǒng)展開控制律

本文在忽略展開控制機(jī)構(gòu)工作誤差的情況下，通過參數(shù)優(yōu)化得出標(biāo)稱展開控制力[19]：

利用粒子群優(yōu)化算法得出各參數(shù)取值為：a=4.6,b=3.5,c=1.6,Tmin=0.02 N,Tmax=2.1 N,T1=0.243 N,δ1=6000 s,k=0.002。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 仿真條件

考慮到母星及子星的質(zhì)量與尺寸，設(shè)母星和子星與系繩連接點位置分別為Δ1=(2 m,0 m,0 m) ，Δ2=(0.2 m,0 m,0 m)；慣性張量矩陣(單位為kg·m2)分別為J1=diag(15 000,35 000,35 000)，J2=diag(0.256,0.32,0.32)。

3.2 仿真結(jié)果及分析

3.2.1 模型校驗

為驗證所得數(shù)學(xué)模型的正確性，與文獻(xiàn)[17]中所采用的簡化模型進(jìn)行對比。在相同控制律作用下，得到系繩展開結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 展開繩長對比曲線Fig.2 Comparison curves of deployed lengths

圖3 展開時面內(nèi)角對比曲線Fig.3 Comparison curves of in-plane angles in deployment

由圖2～3可知，根據(jù)參考模型及本文模型所得到的展開過程繩長及面內(nèi)角變化曲線均基本吻合。相較于文獻(xiàn)[17]中的模型，利用本文模型計算的繩長偏差約為0.05 km，面內(nèi)角偏差約0.01 rad，存在小量偏差的原因在于本文模型計入了星體姿態(tài)，這會對展開過程造成影響。據(jù)此可證明本文所建立的數(shù)學(xué)模型的有效性。

3.2.2 初始姿態(tài)角擾動的影響

下面利用所建立的模型研究展開過程中末端星的姿態(tài)運動。根據(jù)姿態(tài)角的定義，在系繩系統(tǒng)的展開過程中，章動角的大小能作為衡量系繩是否纏繞星體的重要依據(jù)，因此下面將重點研究章動角的運動特性。首先研究初始擾動近似為0的情形。圖4為初始章動角α0=0.000 1 rad時子星章動角的變化曲線，由圖可知，這種情況下，展開過程中子星章動角始終近似為0。

圖4 子星章動角變化曲線Fig.4 Curve of nutation angle of sub-satellite

接下來研究初始姿態(tài)角擾動增加的影響。圖5所示為α0=0.1 rad時子星章動角及其相軌跡曲線。由圖5可知，子星章動角在系繩快速展開階段達(dá)到最大值0.129 rad。與圖4對比可知，隨著初始擾動的增加，展開過程中章動角及其峰值隨之增加。由圖5可知，此時章動角相軌跡近似呈穩(wěn)定的極限環(huán)，子星姿態(tài)未失穩(wěn)?？偨Y(jié)而言，當(dāng)初始姿態(tài)角為小擾動時，子星相對系繩的擺動呈現(xiàn)小振幅高頻性質(zhì)，子星姿態(tài)保持穩(wěn)定。這是由于子星的質(zhì)量慣性特性較小，因此影響其姿態(tài)運動的主要力矩為系繩張力力矩。如圖6所示，章動角的變化與系繩張力變化具有同步性，子星姿態(tài)有沿系繩張緊方向穩(wěn)定的趨勢。

圖5 子星章動角曲線及其相位圖Fig.5 Curve of nutation angle and phase diagram of sub-satellite

圖6 系繩張力及張力力矩變化曲線Fig.6 Curves of tether tension and tension torque

然而，繼續(xù)增加初始擾動將破壞這種穩(wěn)定性。圖7所示為α0=0.8 rad時的章動角曲線。此時，展開過程中的章動角變化劇烈，最大值為1.38 rad，接近所允許的章動角臨界值(π/2 rad)?？紤]到子星為有尺寸的剛體，這會使得系繩與子星表面接觸并發(fā)生纏繞，導(dǎo)致展開失敗。

圖7 子星章動角變化曲線Fig.7 Curve of nutation angle of sub-satellite

3.2.3 動/靜不對稱性影響研究

上述結(jié)果是基于子星為動力學(xué)對稱體，且與系繩連接點位于本體坐標(biāo)系c2x2軸上的假設(shè)得到的。然而，實際的航天器并不是理想的對稱旋轉(zhuǎn)體，與系繩的連接點位置也存在偏差。

圖8 末端星體靜/動不對稱性示意圖Fig.8 Static/dynamic asymmetry of end-bodies

首先研究靜不對稱性的影響。設(shè)初始章動角為0，取六組數(shù)據(jù)表征靜不對稱性大小，靜態(tài)誤差Δ分別為0.001 m、0.005 m、0.01 m、0.05 m、0.08 m、0.1 m,其余初始條件不變，對比分析子星章動角變化曲線，如圖9所示(圖中靜不對稱性從左至右、從上至下依次增大)。

(a) Δ=0.001 m (b) Δ=0.005 m (c) Δ=0.01 m

(d) Δ=0.05 m (e) Δ=0.08 m (f) Δ=0.1 m圖9 子星章動角對比圖Fig.9 Comparison of the nutation angles of the sub-satellite

仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)存在上述靜態(tài)誤差時，系統(tǒng)均能順利展開，且系繩展開特性變化不大，繩長及面內(nèi)角的變化參見圖2～3。末端星章動角幅值隨靜不對稱性增加變化明顯，呈增加趨勢，如圖9所示。表1給出了上述六組仿真條件分別對應(yīng)的章動角及張力力矩最大值。對于給定的初始條件，當(dāng)Δ=0.09 m時，最大章動角即已達(dá)90°。此外，張力力矩沿cz軸的分量也隨之增加。

表1 章動角及張力力矩最大值Tab.1 The maximum of nutation angle and tension torque

(a) 子星姿態(tài)(a) Attitude of sub-satellite

(b) 張力力矩(b) Tension torque圖10 慣性積為0時子星姿態(tài)和張力力矩Fig.10 Attitude of sub-satellite and tension torque when its inertia product is 0

(a) 子星姿態(tài)(a) Attitude of sub-satellite

(b) 張力力矩(b) Tension torque圖11 慣性積為0.001 kg·m2時的子星姿態(tài)和張力力矩Fig. 11 The attitude of sub-satellite and tension torque when its inertia product is 0.001 kg·m2

(a) 子星姿態(tài)(a) Attitude of sub-satellite

(b) 張力力矩(b) Tension torque圖12 慣性積為0.01 kg·m2時的子星姿態(tài)和張力力矩Fig.12 Attitude of sub-satellite and tension torque when its inertia product is 0.01 kg·m2

接著增加動不對稱性，設(shè)ΔJ=0.05，Jxy=Jyz=Jxz=0.05，子星初始章動角α0=0.1 rad，子星章動角變化如圖13所示。由圖可知，當(dāng)子星不是對稱旋轉(zhuǎn)體，具有動不對稱性時，姿態(tài)運動較為復(fù)雜，章動角除了高頻振蕩外，還出現(xiàn)類似標(biāo)準(zhǔn)擺運動的低頻振蕩，即章動角振蕩振幅呈周期性變化，且隨著不對稱性增加，展開過程中章動角幅值可超過90°，導(dǎo)致系繩纏繞末端星。

圖13 子星章動角變化曲線Fig.13 Curve of nutation angle of sub-satellite

需要指出的是，上述仿真中子星的不對稱性對母星姿態(tài)影響不大。與子星相比，母星姿態(tài)角變化緩慢但幅值較大。這是由于母星質(zhì)量慣性遠(yuǎn)大于子星，子星的不對稱性所產(chǎn)生的力矩不足以對母星運動特性產(chǎn)生實質(zhì)性影響。隨著母星慣性特性減小，系繩張力力矩對母星角運動的影響作用將會增加。圖14為母星章動角變化曲線對比圖，其中圖14(a)所對應(yīng)的母星慣性是圖14(b)的10倍。對比表明，隨著慣性減小，母星最終將同子星一樣沿系繩方向穩(wěn)定，并做小振幅高頻振蕩。這表明，當(dāng)末端星質(zhì)量相近時(如系繩連接納衛(wèi)星所構(gòu)成的系統(tǒng))，在合適的張力控制律作用下，系統(tǒng)中所有末端星角運動均有沿系繩方向穩(wěn)定的趨勢。

(a) J1=diag(0.256,0.32,0.32)kg·m2 (b) J′1=0.1J1 圖14 母星章動角變化曲線對比圖Fig.14 Comparison of nutation angle of mother-satellite

4 結(jié)論

本文研究結(jié)果表明，對于大質(zhì)量比空間系繩系統(tǒng)，當(dāng)子星對稱時，其姿態(tài)角變化趨勢與系繩張力同步，且子星最終沿系繩方向穩(wěn)定。當(dāng)子星存在靜不對稱性時，姿態(tài)角幅值增加，且隨著靜不對稱性增加而增加，張力力矩增大，章動角曲線劇烈振蕩，在受到擾動時，章動角可能超過90°，引起子星與系繩纏繞。當(dāng)子星具有動不對稱性時，會引起類似標(biāo)準(zhǔn)擺形式的低頻振蕩。由于在實際的空間系繩系統(tǒng)中，燃料消耗等因素會使得衛(wèi)星質(zhì)心及轉(zhuǎn)動慣量等發(fā)生變化，因此開展空間試驗時需要考慮動/靜不對稱性對子星姿態(tài)的影響，并對其姿態(tài)運動進(jìn)行振蕩抑制。此外，隨著母星質(zhì)量慣性減小，母星的姿態(tài)運動趨勢與子星趨同，章動角變化曲線的幅值減小，振動頻率增加，并有沿系繩方向穩(wěn)定的趨勢。