摘要：現(xiàn)階段我國教育事業(yè)發(fā)展速度不斷加快，在此種背景下，大多數(shù)教師都在積極改變教學(xué)方法以及理念，以求可以提升教學(xué)質(zhì)量與效率?；诖耍疚牧⒆阌谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)角度，分析了模型思想以及數(shù)學(xué)模型等內(nèi)容的基本內(nèi)涵，研究了模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用方法，希望以下內(nèi)容的論述可以推動(dòng)我國教育事業(yè)穩(wěn)步發(fā)展。

關(guān)鍵詞：模型思想;數(shù)學(xué)模型;小學(xué)數(shù)學(xué);抽屜原理

一、 引言

近幾年，隨著我國教育事業(yè)改革的不斷深化，教師正在積極改變傳統(tǒng)教學(xué)方法，希望可以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。但是就目前我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情況而言，不僅沒有達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的，反而很多小學(xué)生表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，學(xué)習(xí)興趣不高等問題。因此，對模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究有著鮮明現(xiàn)實(shí)意義。

二、 模型概述

（一）數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型其實(shí)就是對一類數(shù)學(xué)知識的高度總結(jié)，隨著數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)δＰ脱芯康牟粩嗌钊?，對于?shù)學(xué)模型的概念界定逐漸趨于統(tǒng)一。美國數(shù)學(xué)家聯(lián)合協(xié)會(huì)在編制的《數(shù)學(xué)的理論與實(shí)踐》一書中明確指出，數(shù)學(xué)模型其實(shí)就是用來表示多個(gè)變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。2011年版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出：所謂數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言去抽象、去概括的表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。其中，對于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究與分析主要分為兩個(gè)方面：一方面，上述結(jié)構(gòu)是一種純數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu);另一方面，該結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學(xué)符號來表示，并能進(jìn)行數(shù)學(xué)推演的結(jié)構(gòu)。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)模型

在我國中小學(xué)教學(xué)當(dāng)中，對于數(shù)學(xué)模型的定義以下述內(nèi)容為主：小學(xué)數(shù)學(xué)模型是用來展示特定問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體而言，應(yīng)用各類符號、單位組合而成的代數(shù)式、關(guān)系式、方程函數(shù)、不等式以及各種圖表、圖形、方程等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如“速度×?xí)r間=路程”等。通過對小學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，結(jié)合其本身應(yīng)用情況，將模型應(yīng)用特點(diǎn)總結(jié)為以下兩個(gè)方面：一方面，數(shù)學(xué)模型是一種足以讓小學(xué)生理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在形成過程中，將數(shù)學(xué)知識原本具有的抽象化進(jìn)行了削減。另一方面，模型的基本組成部分是數(shù)字和符號，在形成完整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之后可以滿足任何推演要求。

三、 模型思想與方法

（一）模型思想

數(shù)學(xué)思想是個(gè)體對各類數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)深入研究之后所形成的一種思想意識，其在實(shí)際作用過程中很好的將數(shù)學(xué)推理以及數(shù)學(xué)抽象性進(jìn)行展示，而模型思想便是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)基本組成部分。結(jié)合數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵以及作用效果，可以將模型思想概括為以下內(nèi)容：通過對某一特定的情境抽象出數(shù)學(xué)問題進(jìn)行精簡化，然后建立相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最后應(yīng)用這一數(shù)學(xué)模型解決針對性實(shí)際問題。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出這樣的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。”從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個(gè)維度上概括了對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個(gè)重要思想。

之所以將模型思想與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行融合，主要原因可以分為兩點(diǎn)：第一點(diǎn)，模型思想從數(shù)學(xué)思想中演變形成，可以輔助教師完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，降低小學(xué)生理解難度。第二點(diǎn)，在我國教學(xué)改革中明確規(guī)定：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，重視學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)思維以及符號意識的養(yǎng)成。而數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用剛好可以達(dá)到上述目的。

（二）模型方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型方法的應(yīng)用將會(huì)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行模型構(gòu)建，并且最終用來解決教學(xué)問題。模型方法模型思想可以說是相輔相成，前者注重問題解決與實(shí)踐，后者注重思維規(guī)劃，這樣在明確正確構(gòu)建方向情況下，就可以通過實(shí)踐解決問題。

四、 模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究

模型思想雖然是從數(shù)學(xué)思想中演變而來的一種思想形式，可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮重要作用，但是仍然需要教師做好教學(xué)設(shè)計(jì)，通過良好的課程體系構(gòu)建，進(jìn)一步提升模型思想應(yīng)用效果。因此，對模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究，本文主要立足于教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生等多個(gè)角度進(jìn)行綜合論述。

（一）立足教材，挖掘模型思想

數(shù)學(xué)教材是教師開展教學(xué)活動(dòng)的輔助工具，經(jīng)過幾代教材的不斷改革，現(xiàn)階段我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材更加契合學(xué)生思維特點(diǎn)，并且在教材中適當(dāng)融合了很多高端數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容，對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建有著正向幫助作用。因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)之前，應(yīng)該對現(xiàn)有教材進(jìn)行充分分析，通過挖掘教材潛在價(jià)值，發(fā)揮教材深度教學(xué)作用。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有一個(gè)十分經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題“鴿巢問題”，也就是通常說的“抽屜原理”，對于該問題的理解與處理，關(guān)鍵在于是否可以建立適當(dāng)?shù)镍澇?。立足于教材?nèi)容的選擇以及編排形式角度，其存在的目的是讓學(xué)生合理應(yīng)用各類實(shí)物完成模型建立，并且應(yīng)用建立的模型解決實(shí)際問題，將規(guī)范化的邏輯問題精簡化，降低數(shù)學(xué)理論的抽象性。

教材在內(nèi)容編排中一共給出了三個(gè)案例：第一個(gè)案例，讓學(xué)生將四支鉛筆放進(jìn)三個(gè)筆筒當(dāng)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論采用何種方法其中一個(gè)筆筒都需要放置兩只鉛筆，這讓學(xué)生了解，任何“n+1”物體放置于“n”物體當(dāng)中，其中一個(gè)抽屜必將會(huì)存在兩個(gè)物體。第二個(gè)案例，將七支鉛筆分別放在三個(gè)筆筒中，其中一個(gè)筆筒將會(huì)存在三只鉛筆，此時(shí)可以引用余數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算：7÷3=2……1，這樣就可以得出另一個(gè)鴿巢模型：a個(gè)物體放在b中，其中一個(gè)抽屜中將會(huì)有“（a÷b）+1”個(gè)物體。（a非b的倍數(shù)，并且大于b）第三個(gè)例子就是對抽屜原理進(jìn)行應(yīng)用。

通過對上述教材內(nèi)容進(jìn)行分析，例一代表的是模型引入，例二代表的是一般模型建立，例三則是抽屜原理的實(shí)踐?？梢哉f三個(gè)例題將數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與模型思維的應(yīng)用展現(xiàn)得淋漓盡致，在教學(xué)過程中，學(xué)生通過教師引導(dǎo)可以構(gòu)建完成數(shù)學(xué)模型思維，并且學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題。

（二）以人為本，完善思考過程

實(shí)際教學(xué)過程中，教師需要發(fā)揮引導(dǎo)作用，從多個(gè)角度考慮學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況以及知識應(yīng)用情況，例如學(xué)習(xí)到的抽屜原理，既需要讓學(xué)生可以應(yīng)用該原理解決相關(guān)的實(shí)際問題，又不能讓學(xué)生過分套用公式，這就需要教師充分聯(lián)系生活實(shí)際，從學(xué)生角度出發(fā)，幫助學(xué)生辯證的看待生活問題。雖然抽屜原理在生活中的應(yīng)用較為廣泛，但是想要將生活實(shí)際與理論完美結(jié)合，還需很長一段路要走。因此，在實(shí)際教學(xué)過程中，需要進(jìn)一步完善學(xué)生思維過程，幫助學(xué)生了解思想過程形成形式。

同樣是以鴿巢問題為例，為保證學(xué)生思想過程建設(shè)質(zhì)量，教師需要在課程開始之前進(jìn)行教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)以及目標(biāo)的確定。教學(xué)目標(biāo)：幫助學(xué)生理解抽屜原理的研究過程，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最終應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)問題。教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生可以真正理解抽屜原理，并且可以做到合理應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：理解總有以及至少等詞匯的真正含義，可以獨(dú)立構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

結(jié)合上述分析內(nèi)容，本文立足于學(xué)生角度，將課程一共設(shè)計(jì)為五個(gè)階段。

1. 提出問題，模型引導(dǎo)

在第一個(gè)階段的教學(xué)活動(dòng)中，教師需要讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)模型，因此并不建議教師率先給出模型結(jié)論，而是先提出一個(gè)適當(dāng)?shù)膯栴}，將學(xué)生引入到問題研究情景當(dāng)中。例如上文提出的四支鉛筆分別放在三個(gè)筆筒當(dāng)中，學(xué)生通過實(shí)踐研究得出最終結(jié)論。這與抽屜原理形成的過程相同，相關(guān)科學(xué)家也是在發(fā)現(xiàn)上述現(xiàn)象之后，才逐漸深入研究，并且完成數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，此種做法的目的也是為了讓學(xué)生理解抽屜原理其實(shí)就是生活中較為常見的一種規(guī)律與模型，這樣學(xué)生對總有以及至少的含義理解就可以更加深刻。之后教師在學(xué)生充分實(shí)踐之后提出問題“你是怎么看待此種問題的？”，進(jìn)而引出數(shù)學(xué)模型。

2. 逐步深入，建立模型

在進(jìn)一步學(xué)習(xí)過程中，教師可以通過擴(kuò)大研究數(shù)量，讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)模型，例如將五支鉛筆分別放在三個(gè)抽屜當(dāng)中。這樣學(xué)生的研究范圍被進(jìn)一步擴(kuò)大，提升了知識理解空間。本階段的研究重點(diǎn)在于假設(shè)法的應(yīng)用，需要讓學(xué)生理解為何只應(yīng)用一種擺法，就可以得出結(jié)論，其中平均分配理論在其中起到了重要作用。平均分配理論要求，所有抽屜都有鉛筆，每次的放入需要建立在平均分配基礎(chǔ)之上，其目的在于讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)模型的形成，以免在今后的應(yīng)用過程中套用公式。

3. 深入研究，健全模型

經(jīng)歷上述兩個(gè)研究過程之后，學(xué)生開始引用數(shù)學(xué)思維與方法進(jìn)行問題思考，并且可以得出一般性結(jié)論。因此，在深入研究過程中要求學(xué)生可以健全模型，并且在模型建設(shè)完成之后可以進(jìn)行證明。這樣的教學(xué)過程，有助于學(xué)生能力的提升、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

4. 利用模型，解決問題

這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生能夠把生活情境和數(shù)學(xué)模型問建立起聯(lián)系，能運(yùn)用這個(gè)模型來解決生活中的實(shí)際問題。自己編題的環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)展創(chuàng)造力，學(xué)生的素材有飛鏢的環(huán)數(shù)、借書的本數(shù)、病房安排等等，回歸生活，用模型思想去指導(dǎo)、解決生活中的實(shí)際問題。

5. 小結(jié)提升，回顧模型

抽屜原理對于小學(xué)生而言，學(xué)習(xí)起來有一定難度，但通過以上的教學(xué)，學(xué)生的思考與表達(dá)都很清晰，對抽屜原理的理解已相當(dāng)?shù)轿?。因此，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出模型，建立完善模型，并運(yùn)用模型的全過程。

五、 結(jié)論

綜上所述，模型思想是一種較為符合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況的一種教學(xué)思想，可以充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的邏輯性，通過模型降低數(shù)學(xué)知識難度，讓所有小學(xué)生都可以體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，并且在不斷學(xué)習(xí)過程中，幫助小學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維，可以以正確的思維方式解決問題，這對于小學(xué)生今后的成長與發(fā)展十分重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬雪.模型思想在小學(xué)五年級數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀及策略研究[D].沈陽：沈陽師范大學(xué)，2019.

[2]殷春陽.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略研究[D].長春：東北師范大學(xué)，2019.

[3]于宗迎.淺析模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用與培養(yǎng)方法[J].課程教育研究，2017（18）：169.

[4]朱黎生.指向理解的小學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的教材編寫策略研究[D].重慶：西南大學(xué)，2013.

作者簡介：黃秀玲，福建省漳州市，漳州市巷口中心小學(xué)。