穆沛澤

(山西省應(yīng)縣一中，037600)

波利亞曾指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題,中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練．”解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)不可或缺的重要組成部分,如何進(jìn)行高效的解題教學(xué)，是廣大師生共同面對(duì)的課題．實(shí)踐證明，一題多解是提高解題能力的有效方法,對(duì)同一道題目從不同角度思考,既可以對(duì)知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通,又能訓(xùn)練思維能力,使解題能力大大提升．本文結(jié)合一道雙變量代數(shù)式的取值范圍問題,從不同角度進(jìn)行切入,通過一題多解，最后殊途同歸來訓(xùn)練學(xué)生的解題能力,．

題目已知正數(shù)x,y滿足x2+6xy=1,則x+2y的最小值為______．

解法1(消元+基本不等式)

解法2(三角換元+基本不等式)

點(diǎn)評(píng)上述兩種方法都是基于消元思想,是多變量問題常見的一種解題思路．

解法3(雙換元)

解法4(參數(shù)方程+三角公式)

x2+6xy=(x+3y)2-9y2=1.

可得3mcosθ+sinθ=3,

解法5(參數(shù)方程+斜率模型)

解法6(判別式法)

解法7(齊次式+基本不等式)

∵x2+6xy=1,

解法8(齊次式+導(dǎo)數(shù))

同上可得

點(diǎn)評(píng)方法7和方法8都采用了齊次式的處理手法,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,可用基本不等式或?qū)?shù)進(jìn)行解決．

解法9(拉格朗日乘數(shù)法)

點(diǎn)評(píng)這是解決多元變量的通法,來源于高等數(shù)學(xué),已經(jīng)超出高中數(shù)學(xué)的范圍,可參考．

波利亞在《怎樣解題》中指出:“好題目和某種蘑菇有相似之處:當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出一個(gè)發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的．”通過一題多解,舉一反三,觸類旁通,可有效提高數(shù)學(xué)解題能力．