章建鋒

(江蘇省梅村高級中學(xué)，214112)

在近幾年江蘇高考和各地模擬考試中,頻頻出現(xiàn)有關(guān)“阿波羅尼斯圓”的問題．本文主要介紹“阿波羅尼斯圓”在優(yōu)化解題,培養(yǎng)學(xué)生解題習(xí)慣,增強學(xué)生數(shù)學(xué)信心方面的作用.希望能帶給大家一定的幫助．

一、“阿波羅尼斯圓”的正用

高考考試說明上給出的說明是:“命題者本意考查三角形面積公式、余弦定理及函數(shù)思想．”可謂立意新穎,題意簡明,但是運算處理有一定難度．求解如下:

可此題若從軌跡的角度去求解,即在平時的教學(xué)中,注意滲透了“阿波羅尼斯圓”的定義,則該題的解決不但簡潔明了且運算簡捷．求解過程如下:

因為AB=2(定長),所以可以AB所在直線為x軸,以它的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0).

化簡得(x-3)2+y2=8 (y≠0).

詳析 如上解法簡潔,省去求解變量取值范圍的過程,又避免了復(fù)雜的運算．

其實,象這樣來源于數(shù)學(xué)史的題型不勝枚舉,在平時的教學(xué)中，如果我們能夠較多地滲透,對于進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,有極大的幫助．

二、“阿波羅尼斯圓”的逆用

(1)設(shè)存在定點E(a,b),使得滿足CE=λCB(λ>0且λ≠1)的點C的軌跡方程為

(x-1)2+y2=4,即x2+y2-2x-3=0.

化簡得點C的軌跡方程為:

又點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0,所以得到

∴存在定點E(5,0),使得滿足CE=2CB的點C的軌跡就是M．

(2)設(shè)存在定點F(m,n),使得滿足CF=μCD的點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0.

大家都知道，對已有知識進行新定義,已經(jīng)成為高考的一大亮點,這就要求教師學(xué)生面對陌生的題目背景,能迅速提取有用信息,善于挖掘概念的內(nèi)涵與本質(zhì),并合理遷移,運用已學(xué)的知識加以解決．