劉達鋒

(廣東省陽江市第一中學(xué)，529500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》擬定了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),分別是抽象能力、邏輯推理與交流、建模能力與反思、運算能力、幾何直觀和空間想象、數(shù)據(jù)分析與知識獲取．其中，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式．是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力．研究表明，“知道數(shù)學(xué)建模是什么的意思”的同學(xué)為25.4%,“聽說過但不知是什么”的同學(xué)為62.02%，“沒聽說過”的同學(xué)為12.94%．針對這一現(xiàn)狀,在教學(xué)中培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模意識就顯得尤其重要．

談起數(shù)學(xué)建模,高中老師都覺得很不自信,這好像應(yīng)該是大學(xué)老師做的事情,高中老師似乎還沒有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的“功力”.筆者倒覺得數(shù)學(xué)建模其實離我們并不遙遠．例如在“離散型隨機變量的均值”教學(xué)中有這樣一個問題:

問題 某商場要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價才合理?

X182436 P121316

因此，權(quán)數(shù)恰好是隨機變量X的分布列,這樣每千克混合糖果的合理的價格可以表示為18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).

一般地,若離散型隨機變量X的分布列為

Xx1x2…xi…xn Pp1p2…pi…pn

則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpx為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映離散型隨機變量取值的平均水平．

通過一個糖果混合模型的學(xué)習(xí),從具體到抽象,從特殊到一般,讓學(xué)生能直觀形象地感受和理解離散型隨機變量的均值,而不再是生硬地記住一個結(jié)論．這就是數(shù)學(xué)建模帶給高中數(shù)學(xué)的魅力．

培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力,首先要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識．但培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識不是一朝一夕的事情,需要把數(shù)學(xué)建模意識貫穿在教學(xué)的始終,使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣．現(xiàn)在就如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識做一些初步的探討．

一、概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模意識

建構(gòu)主義認為，學(xué)習(xí)是一個意義建構(gòu)的過程,是學(xué)習(xí)者通過新、舊知識經(jīng)驗的相互作用,來形成、豐富和調(diào)整自己的認知結(jié)構(gòu)的過程．概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心,是學(xué)生思考問題、推理證明的依據(jù)．?dāng)?shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的第一步,在概念的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模意識,能為高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模能力的提升打下堅實的基礎(chǔ)．

案例1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念教學(xué)

1.創(chuàng)設(shè)情境,引入課題

問題1 展示生活中與圓有關(guān)的圖片并請學(xué)生找出這些圖片中物體的相同之處,舉出生活中與圓有關(guān)的例子．

(答:汽車輪胎,方向盤,升起的太陽,摩天輪,隧道等)

問題2 什么是圓?初中時我們是怎樣給圓下定義的?請同學(xué)用尺規(guī)作出一個圓的圖形．

2.深入探究，獲得新知

在平面直角坐標(biāo)系中如何確定一個圓的方程呢?

建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)圓心的坐標(biāo)為A(a,b),半徑為r.

點M(x,y)為圓上的任意一點(如圖1),則|MC|=r.

圓心為A的圓就是集合

P={M||MA|=r}.

由兩點間的距離公式,得

將上式兩邊平方,得

(x-a)2+(y-b)2=r2，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2.

特別地,當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點O(0,0)時,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2.

評注 結(jié)合實際模型對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念教學(xué),通過動手作圖，使學(xué)生能直觀感受和理解圓的圖形結(jié)構(gòu),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．教師引導(dǎo),循序漸進,層層深入,給學(xué)生提供一個自主探索學(xué)習(xí)的機會．讓學(xué)生經(jīng)歷“建坐標(biāo)系—設(shè)坐標(biāo)—列式—代入—化簡”推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，不僅能使學(xué)生認識到圓的圖形的特點,還能掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,更能深刻理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．這種依據(jù)實際問題,提出問題,解決問題的思想不正是數(shù)學(xué)建模思想嗎?當(dāng)學(xué)生有這樣的一種數(shù)學(xué)建模意識,那么，在橢圓、雙曲線、拋物線的教學(xué)中就會如魚得水．

二、例題講解中融入數(shù)學(xué)建模意識

例題作為學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié),在教學(xué)過程中擔(dān)負著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命．從結(jié)構(gòu)上看,例題是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶．知識的價值、技能的操作、思想與方法的作用都是通過例題來體現(xiàn)的．例題講解對學(xué)生的思維及解題行為起著潛移默化的作用,是啟迪學(xué)生掌握解決各類數(shù)學(xué)問題的鑰匙．可見在例題講解中創(chuàng)設(shè)情境,融入數(shù)學(xué)建模意識,對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力起著非常重要的作用．

案例2 幾何概型例題的教學(xué)

例題 甲、乙在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘,過時即可離去,求兩人能會面的概率.

解 設(shè)甲、乙兩人到達的時間分別用x、y表示,記為(x,y).因甲、乙兩人都是6時到7時之間,即60分鐘內(nèi),故試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},如圖2.

SΩ=60×60=3 600.

設(shè)甲、乙兩人能會面的事件為A,則

A={(x,y)||x-y|≤15,0≤x≤60,0≤y≤60}.

SA=3 600-45×45=1 575，

三、作業(yè)設(shè)計中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模意識

作業(yè)設(shè)計結(jié)合實際教學(xué)案例,對基本知識和基本技能具有鞏固和強化的作用．著名的德國心理學(xué)家艾賓浩斯提出了遺忘曲線,他認為遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始,而且遺忘的進程并不是均勻的．最初遺忘速度很快,以后逐漸緩慢,到了相當(dāng)長的時間后,幾乎就不再遺忘了,即呈現(xiàn)“先快后慢”的特點．在作業(yè)設(shè)計中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模意識就顯得十分必要．有利于鞏固和強化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力．在作業(yè)設(shè)計中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模意識并不是很難的事情．根據(jù)作業(yè)設(shè)計的鞏固性原則、針對性原則,加入相應(yīng)的應(yīng)用背景材料,一道體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的作業(yè)題應(yīng)然而生．

案例3 正余弦定理的作業(yè)設(shè)計

作業(yè) 如圖3,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從點A測得點M的仰角∠MAN=60°,點C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從點C測得∠MCA=60°，已知山高BC=100 m,則山高MN=______m.

評注 通過設(shè)計一個測量山高的問題,讓學(xué)生透過問題,看到本質(zhì),用數(shù)學(xué)的眼光來看待問題,應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決問題，進而鞏固和強化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識．

總之,提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力,首先要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識．在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，不僅對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有重要的作用,還對提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力以及學(xué)生的長遠發(fā)展都有深遠意義．