徐偉華 楊蕾 張曉燕

摘要：目前，三支形式概念分析只適用于傳統(tǒng)的形式背景，無法處理模糊環(huán)境中的形式背景。為了解決這個問題，文中結(jié)合三支形式概念分析與模糊集理論，提出了模糊三支算子及其逆算子，并對其相關重要性質(zhì)進行了研究。在此基礎上，定義了兩類模糊三支概念，即屬性導出模糊三支概念和對象導出模糊三支概念。隨后，以對象導出的模糊三支概念為例，討論了模糊三支概念的概念認知學習方法，實現(xiàn)了不完備模糊三支概念的認知學習。最后，為了更好地解釋和理解所提出的理論，文中進行了案例分析并設計了認知學習算法，通過數(shù)值實驗驗證了所提出方法的有效性，進一步豐富了三支形式概念分析和概念認知學習理論。

關鍵詞：模糊三支概念；模糊三支算子；形式概念分析；概念認知學習

中圖分類號：O235；TP18

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020-04-002開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Fuzzy three-way formal concept analysisand concept-cognitive learning

XU Weihua1， YANG Lei2， ZHANG Xiaoyan1

（1.College of Artificial Intelligence， Southwest University， Chongqing 400715，? China;

2.School of Science， Chongqing University of Technology， Chongqing 400054， China）

Abstract： At present， the three-way formal concept analysis is only applicable to the traditional formal context， and can′t deal with the formal context in the fuzzy environment. In order to solve this problem， this paper combines the three-way formal concept analysis with the theory of fuzzy set， proposes the fuzzy three-way operator and its inverse operator， and studies its related important properties. On this basis， two kinds of fuzzy three-way concepts are defined， namely attribute-induced fuzzy three-way concepts and object-induced fuzzy three-way concepts. Then， taking the object-induced fuzzy three-way concept as an example， the concept-cognitive-learning approach to the fuzzy three-way concept is discussed， and the cognitive learning of the incomplete fuzzy three-way concept is realized in the environment. Finally， in order to explain and illustrate precisely the proposed theory， the paper gives a case study and designs an algorithm， at the same time， it uses some data sets for experimental evaluation. These results further enrich the theory of three-way formal concept analysis and concept-cognitive learning.

Key words： fuzzy three-way concept; fuzzy three-way operator; formal concept analysis; concept-cognitive learning

概念一詞來源于哲學，是外延與內(nèi)涵的統(tǒng)一。概念一般被認為由外延和內(nèi)涵構成，其中概念的外延是指這個概念所覆蓋的對象范圍，即該概念所覆蓋的特征所反映的對象，而概念的內(nèi)涵是指這個概念具體涵義，即該概念所覆蓋的對象指向的特征。隨著科學技術的發(fā)展，尤其是大數(shù)據(jù)科學和人工智能的興起，概念認知學習理論（concept-cognitive learning，下文簡稱CCL）逐漸成為了認知科學、腦科學、計算機科學等領域的研究熱點。狹義來說，CCL可以看為形式概念分析與認知計算相結(jié)合的一個新的研究方向。CCL的主要思想是指通過具體的認知模型從給定線索中進行概念學習，以揭示人腦概念學習的系統(tǒng)性規(guī)律。早在2007年，張和徐［1］提出了基于粒計算的概念認知模型，且實驗表明該模型是可行的［2-3］。這一研究逐步引起了同行專家的廣泛關注，并取得了非常好的研究成果［2，4-26］。

眾所周知，形式概念分析［27］是Wille于1982年提出的，為我們從形式背景中獲得認知概念提供了有效的數(shù)學基礎。概念格作為形式概念分析的核心工具，又稱概念格理論，簡稱概念格。到目前為止，對概念格的研究已經(jīng)取得了很大的成果，如概念格的構造［28-29］、概念格的屬性約簡［30-33］以及概念格與模糊集［34-36］、粗糙集［37］，粒度計算［38-40］，認知計算［3，6］等的組合。然而，過高的概念格構建成本，導致概念認知學習效率低下。粒計算方法［6］可以有效地解決這一問題。從信息?；慕嵌瘸霭l(fā)，徐等［2］

研究了從任意信息粒向充分、必要、充要信息粒的轉(zhuǎn)化方法，實現(xiàn)了概念的認知學習。徐和李［3］在模糊數(shù)據(jù)集中提出了概念的雙向?qū)W習方法。

另外，加拿大學者姚［24］于2009年提出了三支決策的概念。近年來，形式概念分析與三支決策的交叉研究受到了學者們的廣泛關注。姚［41］研究了不完備形式背景下的三支形式概念分析方法。任和魏［42］討論了三支概念格的屬性約簡。李等人［43］利用辨別矩陣在不完備背景下尋找約簡集，簡化了三支概念格的知識單元。這些構造方法實現(xiàn)了形式概念分析中的三支決策，統(tǒng)稱為三支概念分析。除了三支概念分析，概念格和三支決策，還有另一種組合模式，即三支概念學習［7］。與三支概念分析的結(jié)構化法不同，三支概念學習主要是通過公理化的方法將三支決策思想融入到概念學習中。李等［7］從認知的角度研究了多粒度三支概念學習方法。此外，由于三支概念學習往往涉及到多源數(shù)據(jù)環(huán)境，黃等［25］在多源數(shù)據(jù)環(huán)境下研究了三支概念學習的加權信息融合方法。石等［23］提出了一種基于決策背景的CCL模型，在動態(tài)環(huán)境下實現(xiàn)了概念的增量學習。

在實際應用過程中，除了傳統(tǒng)的形式背景還存在許多的模糊形式背景。另外，在模糊環(huán)境中學習三支概念是一個非常有意義的研究課題。受此啟發(fā)，本文提出了模糊三支形式概念分析方法，研究了模糊三支概念的認知學習問題。

1 預備知識

本節(jié)對形式概念分析的基本概念，如三支形式概念分析和模糊形式概念進行了簡要的回顧。更詳細的描述可以在文獻［27，44-46］中找到。

形式概念分析是由Wille提出的一種從形式背景中進行數(shù)據(jù)分析和規(guī)則提取的有用的工具。一個形如（U，A，I）的數(shù)據(jù)表被稱作一個形式背景，其中U是對象集，A是屬性集，I是U和A之間的二元關系。在一個（U，A，I）中，x∈U，a∈A，（x，a）∈I說明x擁有a或者a被x擁有。（x，a）I說明x沒有a或者a不被x擁有。為了簡便，通常分別使用“I（x，a）=1”和“I（x，a）=0”表示（x，a）∈I和（x，a）I。

4 案例分析和數(shù)值實驗

為了更好地說明上節(jié)中提出的三支概念的認知學習方法，我們在本節(jié)中通過一個案例來說明本文提出的理論。同時，設計對象導出模糊三支概念的學習算法，并通過8個模糊數(shù)據(jù)集對算法進行了分析。

4.1 案例分析

能夠反映發(fā)展中國家償債能力的指標因素有很多，例如，地區(qū)生產(chǎn)總值，人類發(fā)展指數(shù)，收訖貨物等。在本案例中，選擇了7個指標對10個發(fā)展中國家的償債能力進行評估。表1所示是一個模糊形式背景（U，A，），其中U=｛Algeria;Bhutan;Colombia;Dominica;Grenada;Jamaica;Lesotho; Mexico; Nigeria; Rwanda｝，U中每一個元素被記為xi（i=1，…，10）表示一個發(fā)展中國家;A=｛GRP，UR，EGI，HDI，DE，GS，F(xiàn)CR｝評價指標的集合。

現(xiàn)在，為了鼓勵發(fā)展中國家更好地發(fā)展，聯(lián)合國決定向綜合國力領先的發(fā)展中國家提供貸款。首先，必須考慮這些國家的償還能力。本文提出的學習方法能很好地解決這一問題。經(jīng)過初步評估，本文得到了一個模糊三支對（，（，）），其中是綜合國力領先的發(fā)展中國家。因為綜合國力領先是一個模糊的概念，所以是一個模糊集。（，）是屬性集A的模糊序?qū)ΑＷ詈?，應該選擇所有滿足模糊屬性且不滿足模糊屬性的發(fā)展中國家。然而，最初得到的可能包含不滿足屬性或滿足屬性的對象，因此需要學習模糊三支對（，（，））。在這里，人為設定，，為

4.2 實驗評估

為了證明第3節(jié)所提理論的有效性和可行性。結(jié)合相關理論分析，設計了一個模糊三支概念的學習算法，如算法1所示。算法1達到了從普通模糊三支對中獲取模糊三支概念的目的。

在進行實驗之前，需要得到實驗所需的模糊數(shù)據(jù)集和初始模糊三支對。接下來，我們將介紹模糊數(shù)據(jù)集和初始模糊三對的獲取方法。

初始模糊三支對（，（，））的生成：對于任意的（U，A，），隨機選擇|U|*α個對象作為中的對象并為中每一個對象賦予隸屬度，閾值α控制中的對象占所有對象的比例。類似地，和可以通過隨機賦予A中屬性隸屬度的方式獲得。需要注意的是：和中任意屬性的隸屬度

實驗數(shù)據(jù)的來源：為了獲得實驗數(shù)據(jù)，我們從機器學習數(shù)據(jù)庫（https：∥archive.ics.uci.ed u／ml／index.php）中下載了4個數(shù)據(jù)集，即“Movement-libras”，“Vehicle”，“Winequality-red”和“Winequality-white”。并進行相應的模糊處理，即數(shù)據(jù)集中每一列的數(shù)據(jù)除以該列的最大值。此外，利用Matlab生成了4個模糊數(shù)據(jù)集，即“owndata1”，“owndata2”，“owndata3”和“owndata4”。有關數(shù)據(jù)集的更多信息，請參閱表2。整個實驗是在個人電腦上進行的。實驗環(huán)境詳見表3。

為了測試算法1中模糊三支概念的獲取能力，本文進行了相關的實驗。通過設置α值得到初始模糊三對。在本實驗中，將每個數(shù)據(jù)集下的α值設為0.1，0.3，0.5，0.7和0.9。實驗過程中記錄了在每次實驗得到的模糊三支概念的數(shù)目和每次實驗的運行時間。實驗結(jié)果見表4～5。

表4記錄了在每個數(shù)據(jù)集中一個模糊三支對通過概念學習獲得的模糊三支概念的數(shù)量。表5記錄了每次實驗的運行時間。從表4～5，可以得出以下結(jié)論。

1）在每個數(shù)據(jù)集中，每次實驗的運行時間與初始模糊三支對選擇的對象數(shù)量和屬性數(shù)量密切相關。隨著初始模糊三支對中包含的對象和屬性數(shù)量的增加，運行時間也隨之增加。

2）從理論上講，通過概念學習，每個模糊三支對可以得到16個模糊三支概念。但從實驗結(jié)果可以看出，不同的不完備模糊三支概念可以得到相同的充要模糊三支概念。因此事實上，通過概念學習得到的模糊三支概念的個數(shù)小于或等于16。

5 結(jié) 論

三支形式概念分析實現(xiàn)了形式概念分析從雙向決策到三支決策的擴展。但在現(xiàn)實生活中，除了傳統(tǒng)的形式背景之外，還有很多模糊的形式背景。此時，三支形式概念分析不再適用。因此，本文提出了模糊形式背景下的模糊三支概念分析模型。在此基礎上，本文提出了基于模糊三支算子的概念學習方法，實現(xiàn)了任意模糊三支對的概念學習。為了說明理論的正確性，本文進行了案例分析和實驗分析。實驗結(jié)果表明，通過文中所提出的模糊三支概念學習方法可以從普通的模糊三支對中獲得模糊三支概念。

為了在模糊形式背景中實現(xiàn)三支概念的認知學習，本文提出了模糊三支形式概念分析的概念認知學習理論。不過，正如前述概念認知學習是一個新興的交叉學科研究領域，雖然已取得階段性的研究成果，但是還有很多方面的研究需要繼續(xù)深入研究。例如，大數(shù)據(jù)環(huán)境下的概念認知增量學習問題、概念認知學習的不完全認知問題、通過認知主體自身的一些特點優(yōu)化概念認知結(jié)果等等。這也正是在當前大數(shù)據(jù)科學和人工智能時代下概念認知學習領域需要進一步發(fā)展的重要方向。

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（編 輯 張 歡）

作者簡介：

徐偉華，男，西南大學人工智能學院教授，博士生導師。重慶市中青年骨干教師、重慶市十佳科技青年提名獎、重慶市巴南區(qū)學術技術帶頭人、重慶市數(shù)學會理事。國際粗糙集學會高級會員、中國人工智能學會粒計算與知識發(fā)現(xiàn)常務委員、中國人工智能學會知識工程與分布智能專業(yè)委員會委員、美國數(shù)學評論評論員、國家自然科學基金通訊評審專家、教育部自然科學獎評審專家。已在IEEETCYB，INS，F(xiàn)SS等國內(nèi)外重要學術刊物上發(fā)表論110余篇，其中SCI檢索70余篇（次），Web of Science引用1 500余次，H指數(shù)為21，其中3篇論文入選ESI高被引論文。出版學術著作4部，主持國家自然科學基金及省部級項目多項，獲河北省自然科學三等獎1項。