曲元海，于梅菊，許 晶，索春鳳，陶玉杰，徐 姜

2016 年9 月13 日，中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布會在北京師范大學(xué)舉行.會議介紹了歷時三年對學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的研究成果，對學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、表現(xiàn)、實(shí)現(xiàn)途徑進(jìn)行了說明.所謂核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學(xué)性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面.具體表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，每個素養(yǎng)內(nèi)涵又細(xì)化為3個要點(diǎn)，共計(jì)18個觀察點(diǎn).其后人們又提出正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力，各個學(xué)科紛紛研究本學(xué)科在學(xué)生核心素養(yǎng)培育過程中所承擔(dān)的職能即學(xué)科核心素養(yǎng).2017年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中，提出6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.這六個內(nèi)容更像是從數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力這個角度來提出的.高等數(shù)學(xué)教育在核心素養(yǎng)方面也進(jìn)行了理論上的一些探索，但在實(shí)踐方面還沒有具體實(shí)施.通過項(xiàng)目對高等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行深入的研究，將其概括為：以極限、微元法為核心思想，以微積分、極限運(yùn)算為核心能力的素養(yǎng)，叫做高等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］.如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行設(shè)計(jì)實(shí)施，既要凸顯高等數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)又要滲透必備品格和正確價(jià)值觀，用課程思政這根主線把三者很好地結(jié)合.本文以高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念一節(jié)為例來進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，以期能給廣大同仁以啟示.

1 文化社會背景

數(shù)學(xué)教育家嚴(yán)士健說，應(yīng)該從廣泛得多的角度向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思想、發(fā)生規(guī)律、背景.簡單說，就是要講來龍去脈［2］.為了達(dá)到這一點(diǎn)，就應(yīng)該講清數(shù)學(xué)知識的背景.導(dǎo)數(shù)知識的歷史背景可以從文藝復(fù)興談起，文藝復(fù)興最先在意大利各城市興起，之后擴(kuò)展到西歐各國，于16世紀(jì)達(dá)到頂峰，帶來一段科學(xué)與藝術(shù)革命，同時也帶來了經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇與發(fā)展.人們也遇到了難以逾越的問題亟需解決.具體概括為：由距離和時間的函數(shù)關(guān)系，求物體在任意時刻的速度和加速度，及其反問題；曲線的切線問題；函數(shù)的最大值和最小值問題；曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題［3］.正是這些問題推動了新的思想方法的誕生——微積分.因此恩格斯說：“社會一旦有技術(shù)上的需要，則這種需要會比十所大學(xué)更能把科學(xué)推向前進(jìn).”簡單的幾句話，就把微積分的背景及數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)并服務(wù)于現(xiàn)實(shí)的觀點(diǎn)有理有據(jù)地表述清晰，數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生是有其特定的環(huán)境的，而本文要研究的導(dǎo)數(shù)恰恰可以用上面談到的問題來創(chuàng)設(shè)問題情境.

2 以極限思想助力導(dǎo)數(shù)概念的形成

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境

實(shí)例1 變速直線運(yùn)動的瞬時速度.設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，其位移s是時間t的函數(shù)s=s(t).求質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中某一時刻t0的瞬時速度.

這是一個非常接地氣的問題，而且學(xué)生比較熟悉，但又似乎超出學(xué)生的知識范圍，能激起學(xué)生的思維火花.

實(shí)例2 曲線的切線問題.一條曲線，求其上一點(diǎn)的切線.

學(xué)生對切線的認(rèn)識是中學(xué)接觸到的圓的切線，定義為與圓只有一個交點(diǎn)的直線叫圓的切線.這一定義僅僅對圓是適用的，對一般的曲線的切線，這樣定義就不科學(xué)了.如何定義曲線的切線，引起了學(xué)生認(rèn)知的沖突.

2.2 抽象概括為共性的方法

在分析這兩個問題的處理方法時，瞬時速度是通過平均速度的極限；求切線的重點(diǎn)是求切線的斜率，然后通過點(diǎn)斜式即可求出切線的方程.在處理斜率所采取的方法是通過割線斜率的極限來獲得的.不同問題，但采取的方法是相同的，即都是通過一個極限完成的.通過物理和數(shù)學(xué)上兩個例子的分析，進(jìn)而抽象出問題的本質(zhì)是計(jì)算函數(shù)的增量與自變量的增量的比值，當(dāng)自變量的增量趨于零時，比值的極限問題.再進(jìn)行進(jìn)一步概括就是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的概念.

在分析上述兩個例子的過程中，隱含著重要的哲學(xué)思想，從平均速度到瞬時速度，從割線斜率到切線斜率，包含著量變到質(zhì)變的哲學(xué)觀點(diǎn)，也體現(xiàn)著概念之間的聯(lián)系的觀點(diǎn)［4］.教學(xué)時要讓學(xué)生感悟和體會，對學(xué)生形成正確的世界觀很有意義.

之所以通過不同學(xué)科的例子來抽象概括出導(dǎo)數(shù)的定義，是為了讓學(xué)生經(jīng)歷比較分析抽象概括等思維過程，感受數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，服務(wù)于現(xiàn)實(shí)，同時學(xué)生能從情境中體會數(shù)學(xué)概念的形成過程，并能更深刻地理解概念，能更好地應(yīng)用概念.這樣做也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也能更好地讓學(xué)生知道知識的來龍去脈，掌握學(xué)習(xí)概念的基本過程，學(xué)會學(xué)習(xí).

2.3 運(yùn)用極限思想定義導(dǎo)數(shù)

抽象概括導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0取得增量Δx（點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地，因變量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；若存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)［5］，記為f′(x0)，即

2.4 剖析導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)涵

給出定義后，接著對該定義進(jìn)行幾點(diǎn)說明：

（1）函數(shù)在某鄰域有定義，同時保證當(dāng)自變量x在x0取得增Δx（點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）.

（2）計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限.

（3）極限必須存在（當(dāng)然在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是個具體的數(shù)值）.

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)符號表示，牛頓的老師巴羅就曾在他的著作《微分三角形》中引用了a:e來表示，后來牛頓用x˙，y˙來表示，人們稱之為點(diǎn)主義［6］.后來萊布尼茲用不久又表示為而y′這種表示方法是由法國大數(shù)學(xué)家拉格朗日在1797 年第一個給出的，沿用至今.通過簡要的語言介紹導(dǎo)數(shù)的符號表示，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史，將數(shù)學(xué)文化的元素潤物無聲地浸透到數(shù)學(xué)課堂，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，豐滿了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵.

2.5 拓展導(dǎo)數(shù)的思想文化

在講述導(dǎo)數(shù)概念的過程中，可以穿插關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭的歷史事實(shí).牛頓從運(yùn)動學(xué)的角度給出導(dǎo)數(shù)的定義，萊布尼茲從幾何學(xué)的角度給出導(dǎo)數(shù)的概念.歷史上關(guān)于誰先發(fā)明了微積分引起了一場曠日持久的論戰(zhàn).牛頓、萊布尼茲以及他們的追隨者相互之間進(jìn)行口誅筆伐，這一無為的論戰(zhàn)持續(xù)了二十多年.現(xiàn)在可以說，牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，這也印證了這句話，紫羅蘭在世界各地都能開放.牛頓更多地關(guān)心建立微積分的體系和基本方法，而萊布尼茲則致力于建立運(yùn)算公式和創(chuàng)立微積分的符號.可惜，當(dāng)時迷信牛頓的崇拜者，夾雜著狹隘的民族偏見，遲遲不接受萊布尼茲創(chuàng)造的符號及其方法，固步自封，不對外交流，阻礙了英國分析數(shù)學(xué)的發(fā)展，結(jié)果使得其本已領(lǐng)先的數(shù)學(xué)水平很快就落后于歐洲大陸.文明因交流而多彩，文明因互鑒而豐富，歷史證明盲目排外的做法是錯誤的.通過這個所謂維權(quán)之爭，讓學(xué)生明白道理，一個國家或個人離不開對一切先進(jìn)科學(xué)技術(shù)、文化的學(xué)習(xí)和交流，培養(yǎng)學(xué)生的國際認(rèn)同感，要有國際視野，本土情懷，這也是學(xué)生素養(yǎng)的一個重要組成部分.你吃的是豬，長出來的是你的肉，而不可能是豬肉；你喝的是牛奶，長出來的還是你的肉而不是牛肉.其中的道理值得人們思考.

3 通過極限運(yùn)算強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用

學(xué)習(xí)概念的最終目的還是為了應(yīng)用，在設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用過程中，在注重計(jì)算之外（函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限），要重點(diǎn)圍繞導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，在實(shí)際問題中，凡是需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題，即所謂函數(shù)的變化率問題，就是導(dǎo)數(shù)的用武之地.不管問題是物理上的或是數(shù)學(xué)上的以及其他方面的，這樣學(xué)生能清楚感受到導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用的一般性，同時能更準(zhǔn)確更深刻地理解導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)涵.

首先，按照導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，鞏固訓(xùn)練學(xué)生對定義應(yīng)用及其計(jì)算能力，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個方面.選取這些函數(shù)也是為后面的導(dǎo)數(shù)法則學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

其次，對導(dǎo)數(shù)的幾何意義也要重點(diǎn)探究.因?yàn)樗菍?dǎo)數(shù)概念在數(shù)學(xué)上的一個重要應(yīng)用，也體現(xiàn)著數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合思想，因此值得關(guān)注.

最后，應(yīng)該設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題，讓學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用的具體情境.如，物體繞定軸旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的，如何求物體在某時刻的角速度問題；物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時，物體就不斷冷卻.物體的溫度與時間具有一種函數(shù)關(guān)系，如何求物體在某時刻的冷卻速度問題；工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的成本函數(shù)已知，如何求邊際成本問題等.

4 以極限思想為核心建立概念間聯(lián)系

對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知應(yīng)該把它放到一個知識系統(tǒng)中去貯存，建立概念之間的聯(lián)系，這樣才能更好地認(rèn)識概念、貯存概念、提取概念.

對導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)也要建立它與其他相關(guān)概念之間的聯(lián)系.如，連續(xù)這個概念是通過極限來定義的，是通過函數(shù)的增量在自變量增量趨于零時的極限為零來定義的；導(dǎo)數(shù)的定義也是通過一個極限來定義的.它們之間是什么關(guān)系呢？經(jīng)過討論可以得出：對一元函數(shù)來說，可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo).以及與后面要學(xué)習(xí)的可微的關(guān)系.這樣就建立起如下概念之間的聯(lián)系：極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微.

一元函數(shù)可微?可導(dǎo)?連續(xù)?極限存在；反過來不一定成立，這樣就形成了一個相關(guān)概念的體系.

綜上所述，在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)時，既要注重傳統(tǒng)意義上的概念的引入、概念的形成、概念的應(yīng)用，也要注重在教學(xué)過程中植入數(shù)學(xué)文化的元素；既要圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，也要隱含正確的價(jià)值觀和必備品格的要素.把課程思政的內(nèi)涵自然巧妙的融入進(jìn)課程內(nèi)容，達(dá)到教書育人，讓學(xué)生全面和諧地發(fā)展.