郭 剛，李桂花

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 山西 太原 030051)

0 引 言

近年來，隨著人類社會發(fā)展對生態(tài)環(huán)境的影響，導(dǎo)致突發(fā)傳染病(如SARS)與一些死灰復(fù)燃的傳染病(比如瘧疾)頻頻出現(xiàn)，這些傳染病都給人們帶來了巨大的損失[1-5]. 而往往傳染病的爆發(fā)都會引起人們的恐慌，這很不利于疾病的控制及社會的穩(wěn)定，故增加人們對疾病的了解將變得尤為重要. 另外，隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，人們之間的交往越來越頻繁，這就更加速了疾病的傳播. 這就表明了公眾衛(wèi)生教育及斑塊遷移對疾病傳播影響研究的重要性. 公共衛(wèi)生教育包括大眾教育和人際傳播[2]，大眾教育指人們通過網(wǎng)絡(luò)、 電視等媒體獲得疾病信息. 人際傳播指人和人之間通過交流獲得疾病信息.

建立動力學(xué)模型分析疾病傳播機理是一種常用的辦法，本文將考慮公共衛(wèi)生教育和斑塊遷移對傳染病動力學(xué)模型的影響. 研究公共衛(wèi)生教育及斑塊遷移對傳染病影響的文獻有很多[2-7]，其中，一部分通過不同的非線性發(fā)生率函數(shù)(如μe-mI)來刻畫公共衛(wèi)生教育的影響[4-5]，另一部分則將易感人群分為有疾病意識和無疾病意識兩類人群[2-3,6]. 當(dāng)個體擁有疾病防護意識則會降低其被傳染概率. 將人口分為兩個斑塊，分別記S11、S12、I1和R1為第一個斑塊中有疾病意識易感人群、 無疾病意識易感人群、 感染人群和恢復(fù)人群，S21、S22、I2和R2則表示第二個斑塊中相應(yīng)的人群. 記單位時間內(nèi)，i斑塊中新增加的有疾病意識人數(shù)為σiSi1Si2，被感染的有疾病意識人數(shù)為βi1Si1Ii，被感染的無疾病意識人數(shù)為βi2Si2Ii，則模型如下：

(1)

式中：λij表示第i個斑塊中j類人群人口的輸入；μi和γi分別表示第i個斑塊中人口的自然死亡率和恢復(fù)率；ηi和σi分別表示第i個斑塊中的大眾傳播力度和人際傳播力度；βi1表示i斑塊中無疾病意識人群的感染率；βi2表示i斑塊中有疾病意識人群的感染率，顯然有βi1>βi2；mij表示第i個斑塊向第j個斑塊的遷移率.

本文首先分析了模型各參數(shù)的敏感性，確定疾病傳播的敏感參數(shù). 然后分析了各敏感參數(shù)對疾病傳播的具體影響，確定疾病傳播的主要因素.

1 敏感性分析

敏感性分析指通過一系列的測試，使用不同的輸入?yún)?shù)來觀察預(yù)測參數(shù)值的變化如何影響系統(tǒng)的動態(tài)行為，識別輸入?yún)?shù)與預(yù)測參數(shù)之間的關(guān)系[7-8]. 通過敏感性分析可以幫我們確定不同參數(shù)對疾病傳播和流行的相對重要性. 本節(jié)主要分析參數(shù)η1，η2，σ1，σ2，m12，m21，β11，β12，β21，β22，γ1，γ2的敏感性，采用LHS/PRCC和靈敏度指標法分別對模型基本再生數(shù)和地方病平衡點進行敏感性分析，確定影響疾病傳播的重要參數(shù).

1.1 基本再生數(shù)的敏感性分析

采用下一代矩陣法求模型的基本再生數(shù)[9]，基本再生數(shù)R0為下一代矩陣的譜半徑. 運用文獻[9]中的方法，可以得到以下兩個矩陣

(2)

(3)

式中：F表示新的被感染個體出現(xiàn)的速率，V=V--V+，V-表示感染個體離開感染倉室的速率，V+表示非感染個體進入感染倉室的速率. 分別計算F和V在E0處的導(dǎo)數(shù)，并記

f=β11S011+β12S012,

(4)

g=β21S021+β22S022,

(5)

m=μ1+γ1+m12,

(6)

n=μ2+γ2+m21,

(7)

D=mn-m12m21,

(8)

得到

(9)

(10)

則

R0=ρ(FV-1)=

(11)

本節(jié)通過LHS/PRCC法對模型基本再生數(shù)進行敏感性分析. LHS/PRCC法即拉丁超立方抽樣/偏秩相關(guān)系數(shù)法，是一種全局性的參數(shù)敏感性分析方法，可以快速有效識別模型中非線性和單調(diào)的敏感參數(shù)，適用于多個變量之間的相關(guān)分析[7]. 偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)絕對值越大相關(guān)性越強，值為正(負)代表正相關(guān)(負相關(guān)). 根據(jù)表1 參數(shù)的取值范圍，利用LHS方法隨機選取12個參數(shù)的1 000個樣本，并且每個參數(shù)都服從一個正態(tài)分布，通過MATLAB數(shù)值模擬得出PRCC值.

表1 參數(shù)取值

如圖1 所示，參數(shù)η1，η2，σ1，σ2，m21，γ1，γ2與基本再生數(shù)負相關(guān)，其中γ2相關(guān)性最強，其次為γ1，σ2，σ1，η2，η1. 所以，雖然公眾衛(wèi)生教育可以減緩疾病的傳播，但相應(yīng)治療水平的提高更為重要. 參數(shù)m12，β11，β12，β21，β22與基本再生數(shù)正相關(guān)，其中β22相關(guān)性最強，其次為β12，β21，β11，m12.

圖1 PRCC值Fig.1 PRCC value

1.2 地方病平衡點的敏感性分析

靈敏度指標是變量相對變化與參數(shù)相對變化的比值，通過靈敏度指標的分析，可以測量參數(shù)變化時狀態(tài)變量的相對變化[8]. 靈敏度指標值的絕對值越大參數(shù)敏感性越強，值為正(負)代表正相關(guān)(負相關(guān)). 根據(jù)文獻[10]中計算靈敏度指標的方法，記變量(S11,S12,I1,R1,S21,S22,I2,R2)為(x1,x2,…,x8)； 參數(shù)(Λ11,μ1,η1,σ1,β11,m12,m21,Λ12,β12,γ1,Λ21,μ2,η2,σ2,β21,Λ22,β22,γ2)為(y1,y2,…,y18). 則八個平衡方程為

f1(x1,…,x8;y1,…,y18)=y1-y2x1-y3x1-

y4x1x2-y5x1x3-y6x1+y7x5=0,

(12)

f2(x1,…,x8;y1,…,y18)=y8-y2x2+y3x1+

y4x1x2-y9x2x3-y6x2+y7x6=0,

(13)

f3(x1,…,x8;y1,…,y18)=-y2x3-y10x3+

y5x1x3+y9x2x3-y6x3+y7x7=0,

(14)

f4(x1,…,x8;y1,…,y18)=-y2x4+y10x3-

y6x4+y7x8=0,

(15)

f5(x1,…,x8;y1,…,y18)=y11-y12x5-y13x5-

y14x5x6-y15x5x7+y6x1-y7x5=0,

(16)

f6(x1,…,x8;y1,…,y18)=y16-y12x6+y13x5+

y14x5x6-y17x6x7+y6x2-y7x6=0,

(17)

f7(x1,…,x8;y1,…,y18)=-y12x7-y18x7+

y15x5x7+y17x6x7+y6x3-y7x7=0,

(18)

f8(x1,…,x8;y1,…,y18)=-y12x8+y18x7+

y6x4-y7x8=0,

(19)

(i=1,…,8;j=1,…,18).

(20)

當(dāng)l≠j，有

(21)

進而

(22)

令

AXj=Yj,

(23)

(i=1,…,8;j=1,…,18).

(24)

根據(jù)文獻[10]中方法，取表1 中參數(shù)基線值，通過MATLAB數(shù)值模擬，得出地方病平衡點的靈敏度指標，見表2.

表2 地方病平衡點靈敏度指標

通過表2 可以觀察每個參數(shù)對各斑塊疾病傳播的影響. 其中每個斑塊中的恢復(fù)率與疾病流行程度的負相關(guān)性最強，說明治療水平是控制疾病傳播最主要的因素； 無疾病意識人群的感染率與疾病流行程度的正相關(guān)性最強，這就要求加強公共衛(wèi)生教育，促進無疾病意識人群進入有疾病意識人群. 另外，m12與I1呈負相關(guān)，與I2呈正相關(guān)，m21則相反，說明人口的遷出都有利于本地區(qū)疾病傳播的控制，但不利于其他斑塊疾病傳播的控制.

2 疾病的影響因素

影響傳染病的傳播因素多種多樣，公共衛(wèi)生教育力度、 疾病防護的反應(yīng)時間、 疾病信息的正確性、 人口流動及醫(yī)療水平，都對疾病的傳播有很大的影響，本節(jié)將通過MATLAB數(shù)值模擬來分析這些因素對疾病傳播的具體影響.

為了觀察兩種傳播方式對疾病控制的影響，分別對僅含大眾傳播與僅含人際傳播的情況進行模擬. 根據(jù)文獻[5]和[10]中參數(shù)取值，取Λ12=0.01，Λ21=0.04，Λ22=0.02，μ1=1/78，μ2=1/70，β11=0.12，β12=0.03，β11=0.14，β12=0.04. 在圖2(a) 中，γ1=2/5,γ2=2/6，圖2(b) 中，γ1=1/10,γ2=1/12. 圖2 中實線代表不含公共衛(wèi)生教育，虛線代表僅有媒體傳播方式，點線代表僅有人際傳播方式. 從圖中可以看出，實線峰值最高，其次為虛線和點線，表明公共衛(wèi)生教育的兩種措施，都可以降低疾病爆發(fā)的峰值，但相對于大眾傳播，人際傳播對疾病峰值的控制更有效，能更好地降低疾病帶來的損失.

圖2 傳播方式對疾病峰值的影響Fig.2 The impact of transmission patterns on peak disease

另外，由于一些不可控因素導(dǎo)致信息傳播具有一定的滯后性，當(dāng)疾病爆發(fā)后，往往不能及時有效地采取相應(yīng)的教育防控措施，增加了疾病帶來的損失. 令σ1=0.1，η1=0.1，σ2=0.1，η2=0.1，且圖3(a)中，γ1=2/5，γ2=2/6，圖3(b)中，γ1=1/10,γ2=1/12，其余參數(shù)取值不變. 圖3 中實線代表不含公共衛(wèi)生教育，虛線代表在疾病爆發(fā)第一天后加入公共教育，點線代表在疾病爆發(fā)第五天后加入公共教育. 從圖3 可以看出，實線峰值最高，其次為點線和虛線，說明當(dāng)疾病爆發(fā)后，及時的公共衛(wèi)生教育可以更好地降低疾病爆發(fā)的峰值，減少疾病帶來的損失.

圖3 反應(yīng)時間對疾病峰值的影響Fig.3 Effect of response time on peak disease

人們通過兩種傳播方式獲得疾病防護的相關(guān)知識后，就會有一定的疾病防護能力. 假設(shè)bi=βi1-βi2(i=1,2)為人們獲得疾病防護信息的正確性，bi>0表示獲得正確的疾病防護信息，bi<0表示獲得的疾病防護信息是錯誤的，bi的絕對值表示獲得信息正確與錯誤的程度，令β12=β11-b1，β22=β21-b2，η1=0.006，η2=0.005，σ1=0.006，σ2=0.005，γ1=1/10，γ2=1/12，其余參數(shù)不變. 圖4 表示平衡狀態(tài)下染病者的數(shù)量隨著bi變化的情況，縱軸大小表示染病者人數(shù). 從圖中可以看出，隨著bi的增加，染病者人數(shù)逐漸減小，表明正確的疾病防護信息可以很好地降低疾病的流行程度，相反謠言的傳播反而會助長疾病的流行，故我們應(yīng)注重信息傳播的質(zhì)量，確保信息的準確性，并且應(yīng)加強謠言的監(jiān)管.

由于日益頻繁的經(jīng)濟交流，人口的流動對疾病傳播的影響越來越受重視，接下來對人口遷移對疾病流行程度的影響進行模擬. 令m12和m21變化，其余參數(shù)不變. 從圖5(a)可以看出，隨著m12的增加，染病者數(shù)量逐漸增大，隨著m21的增加，當(dāng)m12較小時染病者數(shù)量先減少后逐漸增加，但當(dāng)m12增大到某一值后，隨著m21的增加，染病者數(shù)量也呈上升趨勢，說明第一個斑塊向第二個斑塊的遷移促進了疾病的傳播，而由于第一個斑塊的高治療水平，在一定范圍內(nèi)第二個斑塊向第一個斑塊的遷移有助于整體疾病的控制，但繼續(xù)增加后同樣會促進疾病的傳播. 在圖5(b)和圖5(c)中可以看到，隨著m12的增加，I1逐漸減小，I2逐漸增大，隨著m21的增加，I1逐漸增大，I2逐漸減小，表明人口的遷出都有利于本地區(qū)疾病的控制，但會加重其他地區(qū)的疫情，所以疾病爆發(fā)后要盡量減少人口流通.

圖4 疾病防護能力對疾病流行的影響Fig.4 The impact of disease protection on disease transmission

圖5 人口遷移對疾病動力學(xué)性態(tài)的影響Fig.5 Effects of population migration on disease dynamics

3 結(jié) 論

本文通過LHS/PRCC和靈敏度指標法，分別對雙斑塊SIR傳染病模型的基本再生數(shù)和地方病平衡點進行了敏感性分析，得出各參數(shù)對模型性態(tài)的敏感程度，之后，通過MATLAB數(shù)值分析了各因素對傳染病傳播的具體影響.

分析結(jié)果表明，傳染病爆發(fā)后，我們應(yīng)第一時間采取有效的措施，給予大眾準確的疾病防護信息，控制謠言的傳播，提升人們的疾病防護能力，另一方面，要嚴格控制人口的流動，防止疾病的擴散，這都可以有效地降低疾病帶來的損失，但從本質(zhì)上來講，疾病的根除更重要的還是醫(yī)療水平的提升.