萬金珠 侯 斌

(江蘇省無錫市太湖高級中學(xué), 214125)

一、背景介紹

筆者有幸參加無錫市高中數(shù)學(xué)評優(yōu)課評比活動，課題為“空間幾何體的表面積”.經(jīng)歷數(shù)次備課、磨課以及研討直到賽課，收獲頗多，對公式課教學(xué)也有了新的認(rèn)識和感悟.下面筆者從情境引入概念、自主探究公式、探索發(fā)現(xiàn)公式之間的聯(lián)系以及例題設(shè)計(jì)這幾個方面呈現(xiàn)該節(jié)課的歷次備課和磨課，敬請同行專家們批評指正.

二、教學(xué)呈現(xiàn)與分析

1. 情境引入

初案設(shè)計(jì)PPT展示2003年神州五號載人飛船及返回艙圖片.

設(shè)計(jì)意圖用神州五號火箭及返回艙的隔熱涂料作為問題情境導(dǎo)入課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.

磨課反思初案對航天飛行活動介紹過多,教學(xué)不能“為了情境而情境”,好的情境不能只有熱鬧和興趣,課堂上時(shí)間寶貴,更應(yīng)在有限的時(shí)間內(nèi)點(diǎn)出主題,追求“簡約”,發(fā)揮啟下的功能.

賽課實(shí)錄由實(shí)際情境引入課題,順勢發(fā)現(xiàn)和提出問題.

宜興陽羨是中國重要的茶葉基地之一，現(xiàn)有兩種不同的茶葉包裝盒如圖1所示,所用材料相同,規(guī)格相同(均用于裝125 g兩的茶葉),從節(jié)約成本的角度看,應(yīng)該選擇哪種?

設(shè)計(jì)意圖最后賽課的定稿放棄了神舟五號的例子，改為從學(xué)生身邊生活實(shí)際出發(fā),選擇了茶葉包裝盒問題(問題待公式出現(xiàn)后解決)設(shè)計(jì)該問題情境的目的是為了讓學(xué)生通過實(shí)際生活情境發(fā)現(xiàn)和提出問題,更加直觀明了,簡單易懂,更貼近本節(jié)課主題.

2. 公式探究

初案設(shè)計(jì)通過如下問題串逐步展開公式教學(xué)過程.

問題1我們把側(cè)棱和底面垂直的棱柱稱為直棱柱，棱柱的各條側(cè)棱有什么關(guān)系?什么樣的棱柱可以稱為正棱柱?

教師幫助學(xué)生歸納理解概念.

問題2把直(正)三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開,能得到什么圖形?如圖2，該棱柱的側(cè)面積怎么求?

S直棱柱側(cè)=(a+b+c)h=l底面周長h.

問題3什么樣的棱錐和棱臺可稱為正棱錐和正棱臺?

問題4正三棱柱展開得到矩形,那么將正三棱錐展開又可以得到什么圖形?正三棱錐的側(cè)面積該怎么求?

問題5請用同樣的方法求出正三棱臺的側(cè)面積.

學(xué)生通過類比,發(fā)現(xiàn)三個全等的等腰梯形組成了正三棱臺的側(cè)面,可得

設(shè)計(jì)意圖棱柱是多面體中比較簡單的模型,從它入手較符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu);通過問題串的形式將正三棱錐的概念、性質(zhì)、側(cè)面積公式一一揭示;利用類比思想研究正棱臺的性質(zhì)和側(cè)面積公式.

磨課反思初案中教師引導(dǎo)過多,導(dǎo)致學(xué)生缺乏概念和公式的自主建構(gòu)，比如求直棱柱的側(cè)面積，應(yīng)該給予充分的時(shí)間讓學(xué)生去考慮逐一相加和側(cè)面展開，這都是比較好的方法，不應(yīng)一味地去固化學(xué)生的思維——必須展開才能求側(cè)面積.

賽課實(shí)錄探究引領(lǐng),分析并解決問題.

探究1研究柱錐臺的相關(guān)概念及側(cè)面積公式.(拿出事先準(zhǔn)備好的直棱柱和斜棱柱,讓學(xué)生觀察并比較)

問題1這兩種棱柱有何明顯區(qū)別?(由學(xué)生觀察并引出直棱柱的定義,再比較直棱柱和正棱柱的區(qū)別,從而得到正棱柱的定義)

問題2你能求這些棱柱的表面積嗎?如何求?哪種方法容易?(學(xué)生分組討論,并進(jìn)行實(shí)際操作,探究后回答問題)

生1:選擇正棱柱,其側(cè)面都是矩形,逐一求出后相加,得S正三棱柱側(cè)=ah+ah+ah.

師:既然所求面積對應(yīng)平面圖形,是否可將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形?該如何操作?

生2:將正棱柱沿側(cè)棱剪開得到側(cè)面展開圖是一個大矩形，矩形的長和寬分別對應(yīng)正棱柱的底面周長和高，所以S正三棱柱側(cè)=底面周長×高.

PPT投影總結(jié)—— (1)結(jié)論:S直棱柱側(cè)=ch;(2)方法:側(cè)面累加法、側(cè)面展開法.

問題3由棱柱的上底面收縮為一個點(diǎn)得到的幾何體是棱錐.既然有正棱柱,是不是就有正棱錐呢?那么滿足什么條件的棱錐才是正棱錐?(留給學(xué)生思考時(shí)間)

生3:底面肯定是一個正多邊形

師:很好,對頂點(diǎn)的位置是不是也有要求?

生4:頂點(diǎn)應(yīng)該在底面中心的正上方.

師:非常好!底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐稱為正棱錐.將頂點(diǎn)P和底面的射影O連結(jié),得到的是正棱錐的高,可用h表示.

問題4正棱錐有哪些特點(diǎn)呢?

生5:底面是正多邊形,側(cè)棱都相等.

生6:側(cè)面是等腰三角形.

師:如圖3,對正三棱錐P-ABC,如何證明其側(cè)棱相等?

生7:利用?POA≌?POB≌?POC.

師:如何求側(cè)面等腰三角形的面積?

師:此處的高是側(cè)面等腰三角形的高而不是錐體的高,我們稱之為斜高,通常用h′來表示.

問題5你會求正三棱錐的側(cè)面積嗎?試一試.

問題6回憶一下棱臺是怎么來的?什么叫正棱臺?…(學(xué)生們很快推出公式)

設(shè)計(jì)意圖教師利用模型教具啟發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.在引導(dǎo)學(xué)生探究側(cè)面積公式的過程中滲透了兩個思想:一是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的化歸思想;二是從特殊到一般的歸納思想.

探究2探究多面體側(cè)面積公式之間的關(guān)系

師:觀察上述正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式,能否從運(yùn)動變化的角度看出圖形之間的變化和聯(lián)系?公式上又是如何體現(xiàn)的?(幾何畫板展示,讓學(xué)生直觀感受正棱臺變化為正棱錐和正棱柱的過程，如圖4.)

生9:當(dāng)正棱臺的上底面收縮至一個點(diǎn)時(shí),正棱臺變成了正棱錐;而當(dāng)正棱臺的上底面擴(kuò)大到與底面一樣大的時(shí)候,正棱臺變成了正棱柱.這是“形”上的變化,反映到“數(shù)”上可表示為:

設(shè)計(jì)意圖通過分析柱、錐、臺的側(cè)面積之間的關(guān)系,提高學(xué)生分析、歸納的能力,讓學(xué)生從數(shù)與形兩個角度去看它們之間的關(guān)系,體會“數(shù)”與“形”的相互交融，感受數(shù)與形的完美統(tǒng)一.

探究3探究旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式

師:類比研究多面體側(cè)面積的方法與步驟,你能計(jì)算旋轉(zhuǎn)體中圓柱和圓錐的側(cè)面積嗎?

學(xué)生通過畫圖——計(jì)算——分析,得出圓柱、圓錐的側(cè)面積公式.

師:類比正棱臺的側(cè)面積公式,能猜想圓臺的側(cè)面積嗎?

學(xué)生再次類比得圓臺的側(cè)面積公式.因?yàn)閳A臺的側(cè)面積公式推導(dǎo)較為復(fù)雜,課本對公式推導(dǎo)不作要求.

師:是否能仿照上一組公式,從數(shù)和形兩個角度來闡述旋轉(zhuǎn)體之間的聯(lián)系?

(學(xué)生總結(jié)，略)

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)過類比,自行歸納出旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)和側(cè)面積公式,以及兩組公式之間的聯(lián)系.類比使探究事半功倍,不僅學(xué)得輕松,而且從中習(xí)得獲得知識的方法——通過觀察、對比前后聯(lián)系,進(jìn)行知識遷移.

3. 公式理解

初案設(shè)計(jì)通過如下問題展開公式教學(xué)過程.

例1若一個正三棱錐的底面邊長為6 cm,高等于3 cm，則它的側(cè)面積是______.

練習(xí)1已知正三棱柱的底面邊長和高都是a，則它的側(cè)面積為______.

練習(xí)2一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個長為4p,寬為2p的矩形,則它的底面半徑為______.

例3有一根長為5 cm,底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞1圈,并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少?

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置了兩個層次的練習(xí)題，例1和例2分別是柱、錐、臺體的公式運(yùn)用，旨在熟練掌握公式的應(yīng)用;而例3是所謂的“小螞蟻爬行問題”.通過不同的類型讓學(xué)生充分掌握立體轉(zhuǎn)化成平面的思想方法.

磨課反思初稿題量太“滿”,且思維量大,基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生會覺得很累,而大多數(shù)學(xué)生也會覺得課堂的枯燥、機(jī)械、無味.

賽課實(shí)錄探究公式本質(zhì)——尋找聯(lián)系,滲透多種思想方法.

案例講解情境引入中的包裝盒選擇問題.(學(xué)生計(jì)算并給出方案)

設(shè)計(jì)意圖公式的簡單應(yīng)用，既能加深對公式的理解，又解決茶葉包裝盒問題，前后呼應(yīng).本節(jié)課的重點(diǎn)是公式推導(dǎo)過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想方法,所以沒有必要設(shè)計(jì)大量的練習(xí)題, 精而簡的例題可以提高課堂教學(xué)的實(shí)效性.

探究4探究多面體、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式之間的關(guān)系

師:多面體的側(cè)面積與其每一個側(cè)面圖形的面積公式結(jié)構(gòu)類似,而旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式與其軸截面一致,這樣六個公式的結(jié)構(gòu)可統(tǒng)一歸結(jié)為哪三個基本圖形的面積公式?

由學(xué)生觀察并得到結(jié)論:矩形、三角形和梯形.[1]

師:多面體和旋轉(zhuǎn)體公式結(jié)構(gòu)上的相似并不是偶然,事實(shí)上,它們在本質(zhì)上也是統(tǒng)一的. (播放動畫,留足夠的時(shí)間讓學(xué)生思考發(fā)現(xiàn))以圓臺為例,同學(xué)們看到正四棱臺,正五棱臺,正六棱臺…到正十棱臺,可以發(fā)現(xiàn)隨著n的變化,棱臺越來越接近圓臺.底面是正n多邊形,隨著n的變大,這個正n邊形越來越貼合圓周.可以想象,當(dāng)n趨于無窮大時(shí),底面趨于圓,正n棱臺趨于圓臺.這種無限分割,以直代曲的思路來源于古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”,實(shí)質(zhì)就是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法.

設(shè)計(jì)意圖極限思想的提出給學(xué)生以新穎、興奮之感,也讓學(xué)生感受知識間的神奇聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)的奧秘所在,完善學(xué)生思維發(fā)展結(jié)構(gòu),培養(yǎng)空間想象能力.