姜俊帥，劉慶杰，王家祿

(中國石油勘探開發(fā)研究院提高采收率國家重點實驗室，北京 100083)

隨著非常規(guī)油氣勘探開發(fā)技術的不斷發(fā)展，致密油藏已成為全球非常規(guī)石油勘探開發(fā)的重要領域[1-3]。美國開發(fā)致密油藏的主要模式是水平井體積壓裂后進行衰竭式開采[4-5]。由于美國致密油藏多為異常高壓油藏，壓力系數為1.35～1.80，故衰竭式開采的采收率可達9.2%～16%[6]。當前，中國致密油藏開發(fā)主要借鑒美國致密油藏開發(fā)方式，但是中國致密油藏多為正常壓力油藏或低壓油藏，壓力系數多在0.60～1.20，衰竭式開發(fā)采收率不到8%[7]。因此，如何提高致密油藏采收率已成為當務之急。

現場和室內研究表明，二氧化碳(CO2)吞吐能夠顯著地提高致密油藏采收率，是提高致密油藏采收率最有效的方法[8-10]。一般而言，實驗室長巖心二氧化碳吞吐采收率通常在60%[11-12]，而二氧化碳吞吐現場試驗采收率僅為10%～14%[13]。造成這種差異的主要原因是：在致密油藏二氧化碳吞吐過程中，主要通過二氧化碳的對流擴散來增大二氧化碳與原油的接觸體積，二氧化碳波及范圍較小[14-19]。因此，研究影響二氧化碳波及范圍的主要因素是提高致密油藏二氧化碳吞吐采收率的關鍵?，F有研究通常是在巖心尺度借助CT掃描技術來描述二氧化碳的波及范圍[20-22]，由于存在巨大的尺度差異，并不能反映現場實際情況，故亟需一種定量評價油田現場二氧化碳吞吐過程中二氧化碳波及范圍的方法。

為此，基于二氧化碳對流擴散機理，建立致密油藏二氧化碳吞吐的理論模型，通過Laplace變換方法得到了理論模型的解析解，繪制二氧化碳濃度分布圖版，形成一種合理計算致密油藏CO2吞吐波及范圍的新方法。在此基礎上提出二氧化碳有效作用半徑的概念，并分析擴散系數、彌散度和注入速度對有效作用半徑的影響，以期為致密油藏二氧化碳吞吐參數選擇及井網部署提供一定的指導。

1 物理模型

為了建立計算致密油藏二氧化碳吞吐波及范圍的數學模型，引入了一個基本的物理模型，如圖1所示。物理模型主要考慮吞吐注入期和燜井期，因為這兩個階段結束后，二氧化碳的波及范圍基本不再發(fā)生變化。假設條件如下。

圖1 物理模型示意圖

(1)在均質、等厚的無限大地層中，有一口直井先注入二氧化碳，注入一定量的二氧化碳后燜井，地層厚度為h，孔隙度為φ，滲透率為k。

(2)注入壓力大于最小混相壓力，認為注入的二氧化碳與原油一次接觸混相。

(3)忽略吞吐過程中發(fā)生的吸附作用。

(4)認為多孔介質具有恒定的截面積，忽略巖石和流體的壓縮性。

(5)流體在等溫條件下以恒定的質量流量流動，其中二氧化碳僅在徑向擴散不進行垂向擴散。

(6)擴散系數不隨濃度發(fā)生變化，僅與油藏物性相關。

(7)不考慮注入二氧化碳與原油和巖石發(fā)生化學反應。

2 數學模型

2.1 注入期

在吞吐注入期，流體發(fā)生對流擴散，基本對流擴散方程為

(1)

D=Dm+λv

(2)

式中：r為地層中任意一點到井中心的距離，m；t為注入時間，s；C為 CO2的濃度，kg/m3；D為擴散系數，m2/s；v為滲流速度，m2/s；Dm為分子擴散系數，m2/s；λ為彌散度，m。

在大于最小混相壓力的注入壓力下，以恒定的流量Q將質量濃度為C0的CO2注入地層中，根據達西定律，在任意r處的滲流速度v為

(3)

式(3)中：Q為流量，m3/s；h為油層厚度，m；B為滲流截面積，m2；φ為油藏孔隙度。

在注入期，分子擴散作用相對于機械彌散作用很小，故在吞吐注入期忽略分子擴散作用，將式(3)代入式(1)可化簡為

(4)

注入期初始條件及邊界條件如式(5)～式(7)所示：

C|t=0=0

(5)

C|r=r0=C0

(6)

C|r→∞=0

(7)

式中：r0為井徑。

式(4)～式(7)構成了吞吐注入期的數學模型。

令D0=λB，對式(4)～式(7)進行Laplace變換，則有：

(8)

(9)

C(r,p)|r→∞=0

(10)

式中:p為Laplace變量。

將式(8)兩邊同時除以D0，則有：

(11)

引入如下變換：

z=r+α/p

(12)

α=B2/(4D0)

(13)

將式(12)、式(13)代入式(11)中得：

(14)

易得到式(14)的通解為

(15)

式(15)中：I1/3、K1/3分別為第一類修正Bessel函數和第二類修正Bessel函數；a、b均為常數。

將式(10)、式(11)代入式(15)中可得：

(16)

式(16)中：z0=r0+α/p。

為了求解方程(16)，引入如下變換：

(17)

(18)

將式(17)、式(18)代入式(16)中，方程(16)可簡化為

(19)

式(19)即為數學模型的拉式空間解。對式(19)進行Laplace反演，其反演結果為

(20)

(22)

(23)

式中：J1/3為第一類修正Bessel函數；Y1/3為第二類修正Bessel函數。

其中：

argZ=β(α/r-p2)3/2/p2

(24)

argX=γ(α/r0-p2)3/2/p2

(25)

argF=β(p2-α/r)3/2/p2

(26)

argG=γ(α/r0-p2)3/2/p2

(27)

argS=β(p2-α/r)3/2/p2

(28)

argD=γ(p2-α/r0)3/2/p2

(29)

2.2 燜井期

研究表明二氧化碳(CO2)吞吐燜井時間的長短顯著影響著致密油藏二氧化碳吞吐最終效果的好壞，如圖2所示[18]。主要原因是：在燜井期，二氧化碳主要通過分子擴散作用進入儲層基質中置換出原油，但二氧化碳分子擴散速度較慢，因此需要二氧化碳與原油接觸較長時間才能使置換原油過程充分完成。

bbl表示桶，1 bbl=158.97 L

為求得燜井期二氧化碳的波及范圍，假設進入燜井期后主要發(fā)生二氧化碳分子擴散作用，忽略機械彌散作用，則燜井期的數學模型如式(30)～式(33)所示：

(30)

C(r,t)|t=0=φ(r)

(31)

C(r,t)|r→∞=0

(32)

(33)

式中：Dm為擴散系數；φ(r)為注入期結束時二氧化碳的濃度分布。

對濃度函數C(r,t)進行變量分離，即C(r,t)=R(r)T(t)，將其代入式(31)中得：

(34)

方程(34)的等號左邊是空間變量r的函數，等號右邊是時間變量t的函數，要使該等式成立必須兩邊都等于同一個常數，此處用-β2表示，故方程(34)可以分解成兩個方程。其中一個方程為

(35)

則方程(35)有如下形式的解：

T(t)=e-Dmβ2t

(36)

由式(36)可以看出，由于擴散系數Dm總為正值，取-β2使得t趨近與無窮大時T(t)=0，而不使其發(fā)散。

另一個方程及其邊界條件為

(37)

R(β,r)即以上特征值問題的解。

對于半無限區(qū)域特征值β可取0～∞的任意實數值，故基本解為對β在整個半無限區(qū)域進行疊加，也就是積分，濃度C(r,t)的完全解為

(38)

利用初始條件式(31)可以求得：

(39)

利用特征函數R(β,r)的正交性和范數N(β)的定義式：

(40)

可以得到：

(41)

將式(41)代入式(38)中可以得到該模型的解為

(β,r1)φ(r1)dr1]dβ

(42)

式(42)中：特征函數R(β,r)和范數N(β)可由文獻[23]查出，即

R(β,r)=Y1(βr0)J0(βr)-J1(βro)Y0(βr)

(43)

(44)

R(β,r1)=Y1(βro)J0(βr1)-J1(βr0)Y0(βr1)

(45)

式中：Y1、J1為一階Bessel函數；Y0、J0為0階Bessel函數。

3 實例計算

某一致密油藏油層厚度為20 m，孔隙度為0.1，滲透率為0.08 mD, 二氧化碳在該油藏的彌散度為0.001 m。研究發(fā)現在混相狀態(tài)下，二氧化碳分子擴散系數較大，參照文獻[24]所給范圍，取分子擴散系數為5×10-7m2/s。作業(yè)前測得該油藏最小混相壓力為25 MPa，隨后在35 MPa的注入壓力下通過井徑為0.1 m的同注同采直井以0.005 m3/s的流量將濃度為827 kg/m3的二氧化碳注入儲層中，注入期為2個月，燜井期為3個月。

將數學模型應用于該致密油藏，分別從二氧化碳濃度分布、二氧化碳波及范圍及有效作用半徑計算和有效半徑敏感性分析三個方面展開討論。

3.1 注入期和燜井期二氧化碳濃度分布

應用上述模型，借助于MATLAB計算二氧化碳不同時刻的濃度分布。其中注入期二氧化碳濃度分布情形如圖3所示。

圖3 注入期不同時刻二氧化碳濃度分布

由圖3可知，在注入期隨著注入時間的不斷增加，二氧化碳不斷向前擴進，且存在一個明顯的過渡區(qū)域，但是在注入期該過渡區(qū)域十分窄，主要因為注入期機械彌散作用占主導地位，過渡前緣變化速度相對較快。

連續(xù)注入二氧化碳兩個月后進入燜井期，應用燜井期的數學模型計算二氧化碳的濃度分布，求出二氧化碳在燜井期不同時刻濃度分布，如圖4所示。

圖4 燜井期不同時刻二氧化碳濃度分布

由圖4可知，進入燜井期后，隨著燜井時間的不斷增加，過渡區(qū)域開始遠處逐漸擴大。但由于這一階段分子擴散作用占主導地位，過渡區(qū)擴大的速度相對較慢。隨著燜井時間的增加，過渡區(qū)擴大的速度越來越慢。

3.2 注入期和燜井期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

圖5所示為注入期結束時刻的濃度分布。在不考慮重力分異的情況下，假定二氧化碳在縱向完全波及，故僅討論徑向波及范圍。注入期結束時，二氧化碳徑向波及范圍是半徑為45.65 m 的圓形區(qū)域。但是已有研究表明只有當二氧化碳濃度達到一定值，才可以發(fā)揮在儲層基質中置換原油的作用[24]，定義該濃度為二氧化碳吞吐的極限作用濃度，取值為Cmin=100 kg/m3，則存在對應的有效作用半徑rer=45.52 m。

圖5 注入期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

圖6 燜井期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

同理，圖6所示為燜井期不同時刻濃度分布，燜井30天徑向波及半徑為51.5 m,有效作用半徑為48.0 m，燜井60 d徑向波及半徑為53.7 m，有效作用半徑為49.1 m，燜井期結束徑向的波及半徑為55.4 m，有效作用半徑為50.0 m。

通過對注入期和燜井期二氧化碳有效作用半徑進行計算可得，整個吞吐過程中，注入期對二氧化碳有效作用半徑貢獻率超過90%，燜井期對二氧化碳有效作用半徑貢獻率低于10%。在燜井期，隨著燜井時間增加，有效作用半徑增大幅度越來越小。

3.3 彌散度和二氧化碳分子擴散系數對有效作用半徑的影響

在注入期，保持基本參數不變，計算彌散度分別為0.000 1、0.001、0.01 m時二氧化碳的濃度分布。如圖7所示，3種彌散度對應的有效作用半徑分別為45.45、45.52、45.73 m。由圖7可知，彌散度對有效作用半徑的影響十分小。

圖7 不同彌散度下二氧化碳的濃度分布

圖8 不同擴散系數下二氧化碳的濃度分布

在燜井期，保持其他基本參數不變，計算分子擴散系數分別為5×10-8、5×10-7、5×10-6m2/s時二氧化碳的濃度分布。如圖 8所示，3種分子擴散系數對應的有效作用半徑分別為47.4、50.0、55.1 m。由圖8可知，隨著分子擴散系數的增大，二氧化碳有效作用半徑隨之增大。此外，二氧化碳分子擴散系數的大小顯著影響著二氧化碳置換原油過程。因此，采取有效措施增加二氧化碳分子擴散系數，不僅可以縮短燜井所需時間，還可以增大二氧化碳的波及范圍，從而有助于提高吞吐最終采收率。

3.4 注入速度對二氧化碳有效作用半徑的影響

保持基本參數不變，分別計算注入速度為0.004 8、0.005 0、0.005 2 m3/s時二氧化碳的濃度分布。如圖9所示，三種注入速度對應的有效作用半徑分別為43.20、45.55、47.75 m。注入速度增加0.000 2 m3/s，有效作用半徑增大幅度超過2 m。隨著注入速度小幅度增加，二氧化碳的有效作用半徑明顯增加，表明有效作用半徑對注入速度十分敏感。故吞吐作業(yè)過程中，合理地增大注入速度，能夠增大二氧化碳的有效作用半徑進而提高二氧化碳吞吐采收率。

圖9 不同注入速度下二氧化碳的濃度分布

4 結論

(1)原油從儲層基質中滲出主要依靠燜井期二氧化碳的分子擴散作用，采取有效措施增加二氧化碳分子擴散系數，不僅可以縮短燜井所需時間，還可以增大二氧化碳的波及范圍，從而有助于提高吞吐最終采收率。

(2)致密油藏二氧化碳吞吐過程中，只有當二氧化碳濃度達到一定值時原油才開始從基質中滲出。將該濃度定義為二氧化碳極限作用濃度，提出二氧化碳有效作用半徑的概念，并介紹了計算二氧化碳吞吐波及范圍以及有效作用半徑的方法。

(3)彌散度對有效作用半徑的影響較小，注入速度對有效作用半徑的影響較大，隨著注入速度的增加，二氧化碳有效作用半徑明顯增大。因此，在吞吐作業(yè)過程中合理地增加注入速度可以較好提高二氧化碳吞吐采收率。

(4)在整個吞吐過程中注入期對二氧化碳有效作用半徑貢獻率超過90%，燜井期對二氧化碳有效作用半徑貢獻率低于10%。雖然燜井期對有效作用半徑的貢獻較小，但是燜井期二氧化碳的分子擴散作用是原油從基質中滲出的關鍵。因此，需要綜合考慮吞吐的燜井時間。