離子型金屬聚合物復(fù)合材料的分?jǐn)?shù)階建模及二階滑?？刂?/h1>
2020-04-22 10:37陳靖威黃梁松李甜甜李連鵬李玉霞
科學(xué)技術(shù)與工程 2020年7期
陳靖威, 黃梁松, 李甜甜, 李連鵬, 李玉霞
(山東科技大學(xué)山東省機器人與智能技術(shù)重點實驗室，青島266590)
離子型金屬聚合物復(fù)合材料 (IPMC)[1]是一種電驅(qū)動智能復(fù)合材料，能夠在外加電場的驅(qū)動下實現(xiàn)大幅度的彎曲形變，撤去電場后又能快速恢復(fù)至初始狀態(tài)。近年來，由于其作為致動器具有致動電壓低(1～5 V)，響應(yīng)速度快，擺動位移大，可根據(jù)需要裁剪成任意形狀且柔韌性好等特點，引起大量國內(nèi)外學(xué)者進行了深入的研究與探索。美國NASA(National Aeronautics and Space Administration) 的 JPL(Jet Propulsion Laboratory)實驗室用 IPMC 驅(qū)動器制造了與自動刮雨器相類似的除塵刷，用于太空儀器表面的除塵[2]；美國密歇根州立大學(xué)的Tant等設(shè)計了一種用 IPMC 驅(qū)動的機器魚[3]；日本Eamex公司開發(fā)了以 IPMC 作為驅(qū)動材料的商業(yè)化產(chǎn)品人工魚[4]；日本的名古屋大學(xué)研制了基于 IPMC 材料的泳動機器人[5]。因此，IPMC在仿生學(xué)、生物醫(yī)學(xué)和微機電等領(lǐng)域的應(yīng)用前景十分廣闊。
分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，即是用分?jǐn)?shù)階概念里的導(dǎo)數(shù)和積分算子來代替?zhèn)鹘y(tǒng)整數(shù)階動力系統(tǒng)當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)和積分，近年來受到了越來越多的關(guān)注。國外學(xué)者Sabatier指出采用分?jǐn)?shù)階模型可以有效地模擬大量的物理現(xiàn)象[6]。針對IPMC模型，Bao等證明了IPMC具有分形電極結(jié)構(gòu)[7]。并由Caponetto在2008年確定了能夠在較大的頻率范圍內(nèi)描述IPMC執(zhí)行器動態(tài)特性的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)[8]。證明了IPMC可以用具有長期時間或空間依賴現(xiàn)象特性的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)來表示，即建立一個分?jǐn)?shù)階IPMC模型能更好地描述它的運動特性。
在大多數(shù)情況下，滑模是通過向控制或觀測系統(tǒng)中注入一個非線性不連續(xù)項來獲得的，該項取決于輸出誤差。在設(shè)計不連續(xù)注入時，系統(tǒng)的運動軌跡必須保持在誤差空間的某個滑動面上，產(chǎn)生的運動稱為滑模[9]?；？刂品椒ㄓ捎谄渚哂杏邢迺r間的收斂性和對不確定情況的強魯棒性等優(yōu)點，得到了廣泛的應(yīng)用。本文根據(jù)Davila在2005年提出的二階滑?？刂朴^測器[10]，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鳎瑥睦碚摲矫嬲撟C了其可行性，并在仿真與實驗兩個方面分別與分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法作對比，證明所提出的控制器具有更好的控制精度。
1 實驗平臺的搭建
離子聚合物是IPMC的重要組成部分，也是用來區(qū)分膜體種類的重要依據(jù)，主要分為全氟磺酸離子聚合物(Nafion)和全氟碳酸離子聚合物(Flemion)兩種，通常選用美國杜邦公司生產(chǎn)的Nafion膜作為IPMC的基底膜。除了基膜外，還有上下表面的電極，通常為各種貴金屬材料，如鉑、鈀、金和銀等。值得注意的是，電極和基膜的界面特性對IPMC致動器的變形特性十分重要，通常可以對離子交換膜進行打磨處理，然后對糙化后的基膜采用浸泡還原的方法沉積電極層，所獲得的電極與基膜相互滲透，可以極大提高電極與基膜的接觸面積。圖1為IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖。
圖1 IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 IPMC actuator structure diagram
實驗平臺如圖2所示，使用LABVIEW搭建了上位機部分并通過RS485與控制器進行串口通信，可以實現(xiàn)IPMC性能測試和輸出位移控制兩種功能。
圖2 IPMC致動器實驗平臺Fig.2 IPMC actuator experimental platform
本實驗平臺的硬件主要包括控制器芯片、電源模塊、可調(diào)電壓輸出模塊、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊、激光位移傳感器等。
(1)控制器芯片選用TI公司的TMS320C28335浮點DSP(digital signal processing)，該控制器相比于以往的DSP，多了一個MAC單元，具有運算速度快、數(shù)據(jù)及程序存儲量大等優(yōu)勢，可滿足實驗平臺功能需要。
(2)電源模塊主要為開關(guān)電源直接供電220 V轉(zhuǎn)24 V，為激光位移傳感器供電24 V，為控制器芯片供電+3.3 V和+1.9 V，為IPMC致動器提供可調(diào)的輸入電壓。
(3)可調(diào)電壓輸出模塊是為了滿足實驗中IPMC致動器兩極的電壓不僅要有直流電壓，還要有正弦電壓。所以為了滿足需要，該部分采用了正弦波脈寬調(diào)制法(SPWM)，該方法中使用的驅(qū)動電路是全橋驅(qū)動芯片HIP4082IB，直流可調(diào)降壓電源為LM2596S。
(4)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊中，使用的模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片為ADS8688，吞吐量可達500 kSPS；數(shù)字隔離器為ISO7241M，它具有四通道配置和輸出使能功能，傳輸速度最高可達150 Mbit/s。
(5)為了實現(xiàn)IPMC致動器尖端位移的檢測，本實驗平臺選用美國邦納公司生產(chǎn)的L-GAGE LE250激光位移傳感器作為檢測設(shè)備。它帶有顯示屏，在量程范圍(位移100～400 mm，電流0～10 V)內(nèi)可以實時顯示當(dāng)前的測量位移和輸出電流。
使用該實驗平臺，對IPMC薄膜施加一個電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，可得其尖端位移的曲線如圖3所示。
圖3 驅(qū)動電壓2 V、10/2π Hz時的尖端位移曲線Fig.3 Tip displacement curve when driving voltage is 2 V and 10/2π Hz
并且可以得到在該正弦電壓下的輸入輸出關(guān)系圖如圖4所示，可以清楚地看出IPMC具有的磁滯特性。
圖4 IPMC的輸入輸出關(guān)系Fig.4 The input/output relationship of IPMC
2 IPMC致動模型的建立
2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
早在300多年前，隨著古典微積分概念的提出，數(shù)學(xué)家們就推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階微積分，雖然僅僅是純數(shù)學(xué)理論分析和推導(dǎo)，但也受到了眾多學(xué)者的青睞。直到19世紀(jì)后期，分?jǐn)?shù)階微積分理論才開始逐漸在實際工程領(lǐng)域中得到初步的應(yīng)用[11]。近年來，由于運用傳統(tǒng)控制理論和方法無法達到期望指標(biāo)，更無法滿足人們對控制精度日益提高的要求，激發(fā)了學(xué)者們將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用在實際工程的研究熱情以及對分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域進行更加深入的探索。
(1)
分?jǐn)?shù)階微積分普遍定義如下。
Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義：存在α>0,t≥0時，f(t)被定義為
(2)
式(2)中：Γ表示歐拉伽馬函數(shù)：
(3)
(4)
Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義：存在α>0,t≥0時，f(t)被定義為
(5)
當(dāng)α∈(0,1)時，Riemann-Liouville與Caputo分?jǐn)?shù)階微分之間的聯(lián)系為
(6)
2.2 IPMC分?jǐn)?shù)階建模
Sun在2014年的時候提出了一個基于IPMC的傳遞函數(shù)模型，分別采用了線性不可逆電動力學(xué)模型和動力學(xué)模型對離子聚合物-金屬復(fù)合材料的性能進行了分析[12]。其中第一個模型根據(jù)Onsager方程準(zhǔn)確地預(yù)測了其靜態(tài)特性，而第二個模型能夠揭示其磁滯特性。通過這兩個模型推導(dǎo)出的IPMC動力學(xué)傳遞函數(shù)模型將能較好地擬合出IPMC的實際運動效果。
該傳遞函數(shù)模型如下：
(7)
式(7)中：C、τ1、τ2、K1、K2為需要辨識的參數(shù)。
通過上述的實驗平臺，對IPMC采用驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦信號，得到所需的輸入輸出數(shù)據(jù)，隨后結(jié)合人工蜂群算法來對上述傳遞函數(shù)中的5個未知參數(shù)進行辨識。人工蜂群算法是由土耳其學(xué)者提出的一種基于蜜蜂群體覓食行為的智能優(yōu)化算法[13]。該算法相比粒子群算法、蟻群算法等其他智能優(yōu)化算法，具有參數(shù)少、易于實現(xiàn)、魯棒性較好等優(yōu)點，而且全局搜索和局部搜索在每次迭代過程中都會進行，這一點不僅增加了找到最優(yōu)解的概率，還相對減小了陷入局部最優(yōu)的可能性。整個優(yōu)化步驟如下。
(1)初始化ABC(artificial bee colony)算法中的各種參數(shù)、食物源的數(shù)量SN、食物源的最大循環(huán)次數(shù)和終止循環(huán)次數(shù)。
本次人工蜂群優(yōu)化算法中，設(shè)蜜源數(shù)N=100，參數(shù)limit為100，最大迭代次數(shù)為500，程序運行次數(shù)為100。最終得到5個待辨識的參數(shù)分別為：τ1=0.145 2，τ2=12.722 4，C=1，K1=1.275，K2=-22.246 8。即傳遞函數(shù)模型為
(8)
得到了IPMC整數(shù)階的傳遞函數(shù)，此時再根據(jù)上述的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用結(jié)合了泰勒計數(shù)法和梯度法的Marquardt算法將其轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)階模型[14]。該算法實際上是使模型滿足：
(9)
(10)
(11)
根據(jù)圖5可以看出分?jǐn)?shù)階模型與實驗數(shù)據(jù)的擬合度更高，即分?jǐn)?shù)階模型能夠描述出IPMC所具有的非整數(shù)階特性。
圖5 分?jǐn)?shù)階模型、整數(shù)階模型和實驗輸出結(jié)果比較Fig.5 Comparison of fractional order model, integer order model and experimental output results
3 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制器設(shè)計
考慮到一個受動態(tài)模型控制的帶擾動的一階分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：
CDαx(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)
(12)
式(12)中：α∈(0，1)是已知的非整數(shù)階微分；x(t)∈R是測量出的輸出變量；u(t)∈R是一個可調(diào)輸入；a∈R是一個不確定的參數(shù)；b是一個已知的正常量；φ(t)是一個不確定的干擾。
基于上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制器為
(13)
設(shè)xr(t)為一個足夠光滑的參考面，此時，需要證明該控制器能夠保證跟蹤誤差能在有限時間歸零。誤差e可以表示為
e(t)=x(t)-xr(t)
(14)
考慮跟蹤誤差變量的動態(tài)特性：
CDαe(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)-CDαxr(t)
(15)
此時把除了可調(diào)輸入的其余三項合并為
Δ (x,xr,t)=ax(t)+φ(t)-CDαxr(t)
(16)
很容易可以證得閉環(huán)跟蹤誤差動力學(xué)滿足這種形式：
(17)
定義：
(18)
此時：
Δ2(xr,t)=φ(t)-CDαxr(t)
(19)
(20)
根據(jù)式(19)可得：
(21)
此時，根據(jù)式(12)，假設(shè)受控輸出x(t)的時間演化足夠光滑，即系統(tǒng)輸出x(t)由一個已知的常量xd和有限時間td組成，即：
|RLD2-αx(t)|≤xd,t≥td
(22)
在該假設(shè)的基礎(chǔ)上，擾動φt，參考面xr(t)以及不確定的常量a有以下關(guān)系：
(23)
式(23)中：xa、xb、xc為已知的常量；tb、tc為有限時間。
根據(jù)式(22)～式(23)，推得：
RLD2-αΔ2(xr,t)≤xb+xc
(24)
針對所提出的控制器，其整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型在有限時間歸零條件下是等價的，所以通過形式更加簡單的整數(shù)階模型進行李雅普諾夫定理的證明，簡化后的整數(shù)階模型為
(25)
轉(zhuǎn)換Lyapunov函數(shù)為
(26)
式(26)在任何地方都連續(xù)，但是在x1=0處不可微。
因為由式(25)得到的微分子集的狀態(tài)軌跡φ(t,x0)是絕對連續(xù)函數(shù)，因此V[φ(t,x0)]是一個連續(xù)時間的函數(shù)，但于V(x)缺少Lipschitz性質(zhì)，所以無法保證V[φ(t,x0)]的絕對連續(xù)性和它的可微性是無處不在的。然而V(x)是除了在S={(x1,x2)∈R2|x1=0}處是連續(xù)可微的。很容易看出系統(tǒng)(13)的軌跡只是穿過曲面S，不能停留在上面，除非達到原點x=0。這意味著V[φ(t,x0)]幾乎在每一個t都是可微的，并且這些點導(dǎo)數(shù)都可以用鏈?zhǔn)椒▌t這種普通的計算方法得到。這表明，在運用Lyapunov定理時，可以只考慮V(x)可微的點。
(27)
注意V(x)在x=0處是連續(xù)不可微的。當(dāng)K3>0時為正定無界，即：
(28)
(29)
(30)
(31)
4 仿真和實驗研究
4.1 仿真研究
選取了目前在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中較為常用的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法與所提出的基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂扑惴ㄗ鲗Ρ?。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法是分?jǐn)?shù)階微積分理論與傳統(tǒng)PID控制算法的融合，在傳統(tǒng)PID控制的三個參數(shù)KP、KI、KD的基礎(chǔ)上，又多了兩個可調(diào)的參數(shù)λ和μ，所以控制器參數(shù)的正定范圍變大，能夠更加靈活地對受控對象進行控制，得到更好的控制效果[15]。設(shè)計PIλDμ控制器如下：
GFOPID(s)=0.95+2.5s0.98+0.04s-1.9
(32)
圖7所示即為上述仿真系統(tǒng)中的單位負(fù)反饋階躍響應(yīng)。其中FOSM表示基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制，F(xiàn)OPID表示分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。
由圖7、表1可見，在上升時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間三個方面，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂贫家∮诜?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。即從仿真結(jié)果來說，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂菩Ч獌?yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。
圖6 分?jǐn)?shù)階PIλDμ與基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂瓶驁DFig.6 The control block diagrams of fractional PIλDμ and second order sliding model based on fractional order
圖7 FOSM與FOPID的比較Fig.7 Comparison of FOSM and FOPID
表1 兩種控制器的數(shù)據(jù)對比
4.2 實驗研究
已經(jīng)通過第一章介紹的實驗平臺對IPMC致動器進行了性能測試，得到了實驗數(shù)據(jù)，下面則運用該實驗平臺對IPMC尖端位移進行控制。通過上位機發(fā)送出期望位移，RS485接收到該位移并進行相應(yīng)的控制器的計算，然后將計算得到電壓附加到IPMC致動器上，以實現(xiàn)對IPMC致動器的控制。軟件流程圖如圖8所示。
圖8 控制模式軟件流程圖Fig.8 Software flow chart of control mode
由文獻[14]可知，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法中的微分項對IPMC控制的影響很小，所以在本實驗中忽略其參數(shù)KD和μ?？梢酝ㄟ^上位機隨時更改分?jǐn)?shù)階PIλ控制算法中的KP、KI、λ三個參數(shù)以及基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制算法中的α、K1、K3三個參數(shù)。通過對參數(shù)不斷調(diào)節(jié)，以期望達到每種算法的最優(yōu)跟蹤效果。設(shè)定期望位移為幅值為3 mm，頻率為1/2π Hz的正弦曲線。兩種算法的最優(yōu)跟蹤曲線及誤差分別如圖9～圖12所示。
圖9 分?jǐn)?shù)階PIλ控制時的輸出曲線Fig.9 The output curve under fractional PIλcontrol
圖10 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的控制誤差Fig.10 The control error of fractional PIλcontroller
圖11 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯妮敵銮€Fig.11 The output curve under second order sliding mode controller based on fractional order
圖12 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂普`差Fig.12 The control error of second order sliding mode controller based on fractional order
由圖9～圖12可以看出，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制器的跟蹤效果要好于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且位移誤差更小。通過計算均方根誤差可得，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制控制器的均方根誤差為RMSE=0.289 5,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的均方根誤差為RMSE=0.431 9。因此可以得出，所提出的控制器在針對IPMC實際的控制效果上要優(yōu)于傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且擁有較好的控制效果。
5 結(jié)論
根據(jù)IPMC特性，搭建了實驗平臺，并為IPMC薄膜施加了驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，得到了實驗數(shù)據(jù)。隨后，選用人工蜂群算法對參考模型中的未知參數(shù)進行尋優(yōu)，得到了整數(shù)階模型；再使用Marquardt算法辨識出了分?jǐn)?shù)階模型。通過兩種模型與實驗數(shù)據(jù)的比較可以得出，分?jǐn)?shù)階模型與實驗數(shù)據(jù)擬合度更高，能更精確地反映出IPMC的非整數(shù)階特性。
然后針對該IPMC的分?jǐn)?shù)階模型，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制算法，并從理論方面證明了其合理性。后將其與常用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制的分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法進行對比，并分別采用仿真與實驗兩個方面進行。無論是仿真結(jié)果還是實驗結(jié)果，所提出的控制算法均優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法。即證明了所提方法是可行的，可以更加精確地控制IPMC致動器。
通過實驗過程可知，控制器參數(shù)不僅關(guān)系著控制器本身，而且對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的影響也很大。所以，下一步應(yīng)該針對所提出控制器的參數(shù)進行深入的研究，提供一種有效的參數(shù)選取方法，以便在任何控制情況下都能高效地設(shè)計出所需的控制器。
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在大多數(shù)情況下，滑模是通過向控制或觀測系統(tǒng)中注入一個非線性不連續(xù)項來獲得的，該項取決于輸出誤差。在設(shè)計不連續(xù)注入時，系統(tǒng)的運動軌跡必須保持在誤差空間的某個滑動面上，產(chǎn)生的運動稱為滑模[9]?；？刂品椒ㄓ捎谄渚哂杏邢迺r間的收斂性和對不確定情況的強魯棒性等優(yōu)點，得到了廣泛的應(yīng)用。本文根據(jù)Davila在2005年提出的二階滑?？刂朴^測器[10]，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鳎瑥睦碚摲矫嬲撟C了其可行性，并在仿真與實驗兩個方面分別與分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法作對比，證明所提出的控制器具有更好的控制精度。
1 實驗平臺的搭建
離子聚合物是IPMC的重要組成部分，也是用來區(qū)分膜體種類的重要依據(jù)，主要分為全氟磺酸離子聚合物(Nafion)和全氟碳酸離子聚合物(Flemion)兩種，通常選用美國杜邦公司生產(chǎn)的Nafion膜作為IPMC的基底膜。除了基膜外，還有上下表面的電極，通常為各種貴金屬材料，如鉑、鈀、金和銀等。值得注意的是，電極和基膜的界面特性對IPMC致動器的變形特性十分重要，通常可以對離子交換膜進行打磨處理，然后對糙化后的基膜采用浸泡還原的方法沉積電極層，所獲得的電極與基膜相互滲透，可以極大提高電極與基膜的接觸面積。圖1為IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖。
圖1 IPMC致動器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 IPMC actuator structure diagram
實驗平臺如圖2所示，使用LABVIEW搭建了上位機部分并通過RS485與控制器進行串口通信，可以實現(xiàn)IPMC性能測試和輸出位移控制兩種功能。
圖2 IPMC致動器實驗平臺Fig.2 IPMC actuator experimental platform
本實驗平臺的硬件主要包括控制器芯片、電源模塊、可調(diào)電壓輸出模塊、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊、激光位移傳感器等。
(1)控制器芯片選用TI公司的TMS320C28335浮點DSP(digital signal processing)，該控制器相比于以往的DSP，多了一個MAC單元，具有運算速度快、數(shù)據(jù)及程序存儲量大等優(yōu)勢，可滿足實驗平臺功能需要。
(2)電源模塊主要為開關(guān)電源直接供電220 V轉(zhuǎn)24 V，為激光位移傳感器供電24 V，為控制器芯片供電+3.3 V和+1.9 V，為IPMC致動器提供可調(diào)的輸入電壓。
(3)可調(diào)電壓輸出模塊是為了滿足實驗中IPMC致動器兩極的電壓不僅要有直流電壓，還要有正弦電壓。所以為了滿足需要，該部分采用了正弦波脈寬調(diào)制法(SPWM)，該方法中使用的驅(qū)動電路是全橋驅(qū)動芯片HIP4082IB，直流可調(diào)降壓電源為LM2596S。
(4)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸模塊中，使用的模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片為ADS8688，吞吐量可達500 kSPS；數(shù)字隔離器為ISO7241M，它具有四通道配置和輸出使能功能，傳輸速度最高可達150 Mbit/s。
(5)為了實現(xiàn)IPMC致動器尖端位移的檢測，本實驗平臺選用美國邦納公司生產(chǎn)的L-GAGE LE250激光位移傳感器作為檢測設(shè)備。它帶有顯示屏，在量程范圍(位移100～400 mm，電流0～10 V)內(nèi)可以實時顯示當(dāng)前的測量位移和輸出電流。
使用該實驗平臺，對IPMC薄膜施加一個電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，可得其尖端位移的曲線如圖3所示。
圖3 驅(qū)動電壓2 V、10/2π Hz時的尖端位移曲線Fig.3 Tip displacement curve when driving voltage is 2 V and 10/2π Hz
并且可以得到在該正弦電壓下的輸入輸出關(guān)系圖如圖4所示，可以清楚地看出IPMC具有的磁滯特性。
圖4 IPMC的輸入輸出關(guān)系Fig.4 The input/output relationship of IPMC
2 IPMC致動模型的建立
2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
早在300多年前，隨著古典微積分概念的提出，數(shù)學(xué)家們就推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階微積分，雖然僅僅是純數(shù)學(xué)理論分析和推導(dǎo)，但也受到了眾多學(xué)者的青睞。直到19世紀(jì)后期，分?jǐn)?shù)階微積分理論才開始逐漸在實際工程領(lǐng)域中得到初步的應(yīng)用[11]。近年來，由于運用傳統(tǒng)控制理論和方法無法達到期望指標(biāo)，更無法滿足人們對控制精度日益提高的要求，激發(fā)了學(xué)者們將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用在實際工程的研究熱情以及對分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域進行更加深入的探索。
(1)
分?jǐn)?shù)階微積分普遍定義如下。
Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階積分定義：存在α>0,t≥0時，f(t)被定義為
(2)
式(2)中：Γ表示歐拉伽馬函數(shù)：
(3)
(4)
Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義：存在α>0,t≥0時，f(t)被定義為
(5)
當(dāng)α∈(0,1)時，Riemann-Liouville與Caputo分?jǐn)?shù)階微分之間的聯(lián)系為
(6)
2.2 IPMC分?jǐn)?shù)階建模
Sun在2014年的時候提出了一個基于IPMC的傳遞函數(shù)模型，分別采用了線性不可逆電動力學(xué)模型和動力學(xué)模型對離子聚合物-金屬復(fù)合材料的性能進行了分析[12]。其中第一個模型根據(jù)Onsager方程準(zhǔn)確地預(yù)測了其靜態(tài)特性，而第二個模型能夠揭示其磁滯特性。通過這兩個模型推導(dǎo)出的IPMC動力學(xué)傳遞函數(shù)模型將能較好地擬合出IPMC的實際運動效果。
該傳遞函數(shù)模型如下：
(7)
式(7)中：C、τ1、τ2、K1、K2為需要辨識的參數(shù)。
通過上述的實驗平臺，對IPMC采用驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦信號，得到所需的輸入輸出數(shù)據(jù)，隨后結(jié)合人工蜂群算法來對上述傳遞函數(shù)中的5個未知參數(shù)進行辨識。人工蜂群算法是由土耳其學(xué)者提出的一種基于蜜蜂群體覓食行為的智能優(yōu)化算法[13]。該算法相比粒子群算法、蟻群算法等其他智能優(yōu)化算法，具有參數(shù)少、易于實現(xiàn)、魯棒性較好等優(yōu)點，而且全局搜索和局部搜索在每次迭代過程中都會進行，這一點不僅增加了找到最優(yōu)解的概率，還相對減小了陷入局部最優(yōu)的可能性。整個優(yōu)化步驟如下。
(1)初始化ABC(artificial bee colony)算法中的各種參數(shù)、食物源的數(shù)量SN、食物源的最大循環(huán)次數(shù)和終止循環(huán)次數(shù)。
本次人工蜂群優(yōu)化算法中，設(shè)蜜源數(shù)N=100，參數(shù)limit為100，最大迭代次數(shù)為500，程序運行次數(shù)為100。最終得到5個待辨識的參數(shù)分別為：τ1=0.145 2，τ2=12.722 4，C=1，K1=1.275，K2=-22.246 8。即傳遞函數(shù)模型為
(8)
得到了IPMC整數(shù)階的傳遞函數(shù)，此時再根據(jù)上述的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用結(jié)合了泰勒計數(shù)法和梯度法的Marquardt算法將其轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)階模型[14]。該算法實際上是使模型滿足：
(9)
(10)
(11)
根據(jù)圖5可以看出分?jǐn)?shù)階模型與實驗數(shù)據(jù)的擬合度更高，即分?jǐn)?shù)階模型能夠描述出IPMC所具有的非整數(shù)階特性。
圖5 分?jǐn)?shù)階模型、整數(shù)階模型和實驗輸出結(jié)果比較Fig.5 Comparison of fractional order model, integer order model and experimental output results
3 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制器設(shè)計
考慮到一個受動態(tài)模型控制的帶擾動的一階分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：
CDαx(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)
(12)
式(12)中：α∈(0，1)是已知的非整數(shù)階微分；x(t)∈R是測量出的輸出變量；u(t)∈R是一個可調(diào)輸入；a∈R是一個不確定的參數(shù)；b是一個已知的正常量；φ(t)是一個不確定的干擾。
基于上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制器為
(13)
設(shè)xr(t)為一個足夠光滑的參考面，此時，需要證明該控制器能夠保證跟蹤誤差能在有限時間歸零。誤差e可以表示為
e(t)=x(t)-xr(t)
(14)
考慮跟蹤誤差變量的動態(tài)特性：
CDαe(t)=ax(t)+bu(t)+φ(t)-CDαxr(t)
(15)
此時把除了可調(diào)輸入的其余三項合并為
Δ (x,xr,t)=ax(t)+φ(t)-CDαxr(t)
(16)
很容易可以證得閉環(huán)跟蹤誤差動力學(xué)滿足這種形式：
(17)
定義：
(18)
此時：
Δ2(xr,t)=φ(t)-CDαxr(t)
(19)
(20)
根據(jù)式(19)可得：
(21)
此時，根據(jù)式(12)，假設(shè)受控輸出x(t)的時間演化足夠光滑，即系統(tǒng)輸出x(t)由一個已知的常量xd和有限時間td組成，即：
|RLD2-αx(t)|≤xd,t≥td
(22)
在該假設(shè)的基礎(chǔ)上，擾動φt，參考面xr(t)以及不確定的常量a有以下關(guān)系：
(23)
式(23)中：xa、xb、xc為已知的常量；tb、tc為有限時間。
根據(jù)式(22)～式(23)，推得：
RLD2-αΔ2(xr,t)≤xb+xc
(24)
針對所提出的控制器，其整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型在有限時間歸零條件下是等價的，所以通過形式更加簡單的整數(shù)階模型進行李雅普諾夫定理的證明，簡化后的整數(shù)階模型為
(25)
轉(zhuǎn)換Lyapunov函數(shù)為
(26)
式(26)在任何地方都連續(xù)，但是在x1=0處不可微。
因為由式(25)得到的微分子集的狀態(tài)軌跡φ(t,x0)是絕對連續(xù)函數(shù)，因此V[φ(t,x0)]是一個連續(xù)時間的函數(shù)，但于V(x)缺少Lipschitz性質(zhì)，所以無法保證V[φ(t,x0)]的絕對連續(xù)性和它的可微性是無處不在的。然而V(x)是除了在S={(x1,x2)∈R2|x1=0}處是連續(xù)可微的。很容易看出系統(tǒng)(13)的軌跡只是穿過曲面S，不能停留在上面，除非達到原點x=0。這意味著V[φ(t,x0)]幾乎在每一個t都是可微的，并且這些點導(dǎo)數(shù)都可以用鏈?zhǔn)椒▌t這種普通的計算方法得到。這表明，在運用Lyapunov定理時，可以只考慮V(x)可微的點。
(27)
注意V(x)在x=0處是連續(xù)不可微的。當(dāng)K3>0時為正定無界，即：
(28)
(29)
(30)
(31)
4 仿真和實驗研究
4.1 仿真研究
選取了目前在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中較為常用的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法與所提出的基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂扑惴ㄗ鲗Ρ?。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法是分?jǐn)?shù)階微積分理論與傳統(tǒng)PID控制算法的融合，在傳統(tǒng)PID控制的三個參數(shù)KP、KI、KD的基礎(chǔ)上，又多了兩個可調(diào)的參數(shù)λ和μ，所以控制器參數(shù)的正定范圍變大，能夠更加靈活地對受控對象進行控制，得到更好的控制效果[15]。設(shè)計PIλDμ控制器如下：
GFOPID(s)=0.95+2.5s0.98+0.04s-1.9
(32)
圖7所示即為上述仿真系統(tǒng)中的單位負(fù)反饋階躍響應(yīng)。其中FOSM表示基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制，F(xiàn)OPID表示分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。
由圖7、表1可見，在上升時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間三個方面，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂贫家∮诜?jǐn)?shù)階PIλDμ控制。即從仿真結(jié)果來說，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂菩Ч獌?yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。
圖6 分?jǐn)?shù)階PIλDμ與基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂瓶驁DFig.6 The control block diagrams of fractional PIλDμ and second order sliding model based on fractional order
圖7 FOSM與FOPID的比較Fig.7 Comparison of FOSM and FOPID
表1 兩種控制器的數(shù)據(jù)對比
4.2 實驗研究
已經(jīng)通過第一章介紹的實驗平臺對IPMC致動器進行了性能測試，得到了實驗數(shù)據(jù)，下面則運用該實驗平臺對IPMC尖端位移進行控制。通過上位機發(fā)送出期望位移，RS485接收到該位移并進行相應(yīng)的控制器的計算，然后將計算得到電壓附加到IPMC致動器上，以實現(xiàn)對IPMC致動器的控制。軟件流程圖如圖8所示。
圖8 控制模式軟件流程圖Fig.8 Software flow chart of control mode
由文獻[14]可知，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制算法中的微分項對IPMC控制的影響很小，所以在本實驗中忽略其參數(shù)KD和μ?？梢酝ㄟ^上位機隨時更改分?jǐn)?shù)階PIλ控制算法中的KP、KI、λ三個參數(shù)以及基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制算法中的α、K1、K3三個參數(shù)。通過對參數(shù)不斷調(diào)節(jié)，以期望達到每種算法的最優(yōu)跟蹤效果。設(shè)定期望位移為幅值為3 mm，頻率為1/2π Hz的正弦曲線。兩種算法的最優(yōu)跟蹤曲線及誤差分別如圖9～圖12所示。
圖9 分?jǐn)?shù)階PIλ控制時的輸出曲線Fig.9 The output curve under fractional PIλcontrol
圖10 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的控制誤差Fig.10 The control error of fractional PIλcontroller
圖11 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯妮敵銮€Fig.11 The output curve under second order sliding mode controller based on fractional order
圖12 基于分?jǐn)?shù)階的二階滑?？刂破鞯目刂普`差Fig.12 The control error of second order sliding mode controller based on fractional order
由圖9～圖12可以看出，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制器的跟蹤效果要好于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且位移誤差更小。通過計算均方根誤差可得，基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模制控制器的均方根誤差為RMSE=0.289 5,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的均方根誤差為RMSE=0.431 9。因此可以得出，所提出的控制器在針對IPMC實際的控制效果上要優(yōu)于傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，且擁有較好的控制效果。
5 結(jié)論
根據(jù)IPMC特性，搭建了實驗平臺，并為IPMC薄膜施加了驅(qū)動電壓為2 V，頻率為10/2π Hz的正弦電壓，得到了實驗數(shù)據(jù)。隨后，選用人工蜂群算法對參考模型中的未知參數(shù)進行尋優(yōu)，得到了整數(shù)階模型；再使用Marquardt算法辨識出了分?jǐn)?shù)階模型。通過兩種模型與實驗數(shù)據(jù)的比較可以得出，分?jǐn)?shù)階模型與實驗數(shù)據(jù)擬合度更高，能更精確地反映出IPMC的非整數(shù)階特性。
然后針對該IPMC的分?jǐn)?shù)階模型，設(shè)計了一個基于分?jǐn)?shù)階的二階滑模控制算法，并從理論方面證明了其合理性。后將其與常用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制的分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法進行對比，并分別采用仿真與實驗兩個方面進行。無論是仿真結(jié)果還是實驗結(jié)果，所提出的控制算法均優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PIλDμ算法。即證明了所提方法是可行的，可以更加精確地控制IPMC致動器。
通過實驗過程可知，控制器參數(shù)不僅關(guān)系著控制器本身，而且對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的影響也很大。所以，下一步應(yīng)該針對所提出控制器的參數(shù)進行深入的研究，提供一種有效的參數(shù)選取方法，以便在任何控制情況下都能高效地設(shè)計出所需的控制器。
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