劉懿瑤 韋睿心 蘇嘉煒

摘? ?要：波動率是對資產(chǎn)價格的波動程度和風(fēng)險大小的衡量。對波動率的研究有利于更深入地理解金融市場的運動規(guī)律。文章基于跳躍擴(kuò)散過程，在已實現(xiàn)測度中引入GM積分型權(quán)函數(shù)，結(jié)合已實現(xiàn)的GARCH模型，改進(jìn)已實現(xiàn)GARCH模型的波動率估計，平滑跳躍對估計值的影響，更有效地描述中國股票市場的波動情況。

關(guān)鍵詞：已實現(xiàn)GARCH;已實現(xiàn)波動率;VaR

1? ? 波動率概述

波動率是對資產(chǎn)價格的波動程度和風(fēng)險大小的衡量。對波動率的研究有利于更深入地理解金融市場的運動規(guī)律，對維持金融機構(gòu)和金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義。早期學(xué)者對波動率的研究主要是通過GARCH，SV等模型。GARCH類模型被廣泛應(yīng)用于估計市場波動的動態(tài)特征，但傳統(tǒng)的GARCH類模型往往是基于低頻數(shù)據(jù)建立的，低頻數(shù)據(jù)包含的有效信息有限，對于波動率快速變化的情況無法進(jìn)行及時有效的反映。

近年來，高頻金融數(shù)據(jù)已被廣泛應(yīng)用于金融行業(yè)，且比低頻數(shù)據(jù)包含更多的信息，大量研究開始使用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)來獲得更為準(zhǔn)確的已實現(xiàn)波動率，并提出各種波動率模型和已實現(xiàn)波動率測度，包括已實現(xiàn)方差，已實現(xiàn)核方差，已實現(xiàn)雙冪次變差等，例如Barndorff-Nielsen等[1]提出的HEAVY模型。同時，許多研究開始將各種已實現(xiàn)波動率帶入GARCH模型以獲得能對未來的波動作出及時反應(yīng)的模型，例如Engle[2]提出的GARCH-X模型，Engle和Gallo[3]提出的模型被稱為乘法誤差模型（MEM）。Hansen等[4]在傳統(tǒng)的GARCH模型的基礎(chǔ)上，引入已實現(xiàn)測度方程，提出了Realized GARCH 模型，該模型改進(jìn)了傳統(tǒng)的GARCH模型的預(yù)測能力。

本文基于跳躍擴(kuò)散過程，在已實現(xiàn)測度中引入GM積分型權(quán)函數(shù)，結(jié)合Realized GARCH模型，改進(jìn)Realized? GARCH模型的波動率估計，平滑跳躍對估計值的影響，更有效地描述中國股票市場的波動情況。

2? ? Realized GARCH模型

相較于其他估計波動率的高頻數(shù)據(jù)模型，RGARCH模型有結(jié)構(gòu)簡潔，參數(shù)易于估計，可以降低微觀結(jié)構(gòu)噪音造成的估計誤差（Watanabe，2012），充分描述了收益率和已實現(xiàn)波動率的動態(tài)變化等優(yōu)點。

RGARCH（1，1）模型可以表示為：

（1）

（2）

（3）

其中，rt是均值為0的收益率序列，而zt是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機擾動，zt～N（0，1），μt～N（0，σ2μ ），且zt和μt相互獨立。

σt=var（rt|t -1）為條件方差，t -1=σ（rt -1，xt -1，…）是在t時刻可獲得的信息集，xt為已實現(xiàn)波動率測度，τ（zt）是杠桿函數(shù)（Hansen等，2011），其作用是描述波動率與收益率之間的非對稱關(guān)系，并采用如下函數(shù)設(shè)定：τ（zt）=τ1zt+τ2（z2t-1），其中，Eτ（zt）=0。

模型中的前兩個式子分別為均值方程和方差方程，分別描述了條件方差σt 對收益率rt的影響，以及前期的條件方差σt -1和前期已實現(xiàn)波動率xt -1對條件方差σt 的影響。這兩個式子構(gòu)造了類似于GARCH-X的模型，其中X表示將xt作為外生變量處理。（3）式則被稱為度量方程，因為xt是ht的一種度量，該式刻畫了已實現(xiàn)波動率與條件方差之間的關(guān)系，并通過引入杠桿函數(shù)τ（zt），表示收益率在大小和方向上都對未來波動有影響。

3? ? 已實現(xiàn)波動率

設(shè)某一資產(chǎn)在i時刻對數(shù)收益率為ri，將每個交易日N等分，時間間隔δ =1/N代表了采樣頻率，則已實現(xiàn)波動率為：

（4）

有學(xué)者研究出，當(dāng)采樣頻率δ→0時：

（5）

其中，積分波動率，表示離散的跳躍方差。

當(dāng)資產(chǎn)價格出現(xiàn)跳躍行為時，Kristensen[5]提出可以通過二次冪變差來減弱跳躍對估計量的影響，得到二次冪變差核估計量（kernel bi-power variation）。在Kristensen的基礎(chǔ)上，本文引入GM積分型核權(quán)函數(shù)，得到二次冪變差積分權(quán)核估計量（integral-weighted bi-power variation），如下：

（6）

其中，0=t0

Δn=ti-ti-1=，i=1，2，…，n κ1=E|U|=，U～N（0，1），

Kh（x）=K（x/h）/hK（x）為核函數(shù)，h>0為給定的窗寬。該估計量對資產(chǎn)價格的跳躍行為是穩(wěn)健的，無論資產(chǎn)價格是否存在跳躍行為，該估計量都可以被用來估計瞬時波動率[6]。

4? ? 實證

本節(jié)將把二次冪變差積分權(quán)核估計量（IBV），帶入Realized GARCH模型對我國股票市場的高頻金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。本文選取格力電器2019年9月30日至2019年11月29日，共40個交易日的1分鐘數(shù)據(jù)，因此，共有9 640個觀測點。

4.1? 描述性統(tǒng)計量

格力電器的描述性統(tǒng)計量。由表1中的偏度、峰度可知，該股票的收益率分布呈現(xiàn)明顯的負(fù)偏和尖峰厚尾的特征，而Kolmogorov-Smirnov檢驗（KS檢驗）結(jié)果也說明收益率并不服從正態(tài)分布，將偏t分布作為模型的條件分布可能更接近實際情況。此外，表中的Ljung-Box檢驗（LB檢驗）的結(jié)果則說明該股票收益率存在自相關(guān)性和異方差，進(jìn)一步證實使用GARCH類模型的合理性[7]。

本文所使用的兩種已實現(xiàn)波動率測度均值和標(biāo)準(zhǔn)差等值均無明顯差別。圖1為該股票的對數(shù)收益率及兩種已實現(xiàn)波動率測度。

4.2? 模型估計結(jié)果

本節(jié)為模型估計的結(jié)果。本文對模型的估計主要使用R語言及Alexios Ghalanos開發(fā)的R語言rugarch包（Univariate GARCH models），表2為格力電器的參數(shù)估計結(jié)果[8]。

4.3? VaR預(yù)測

本文采用固定窗口一步向前滑動的方法估計樣本外VaR的值。估計窗口長度為500，通過滑動預(yù)測獲得500個樣本外的1%VaR預(yù)測值（2019年12月3日至2019年12月4日）。表3給出了VaR失敗率和兩個后驗測試檢驗統(tǒng)計量的p值，覆蓋水平為1%。（無）條件覆蓋率檢驗的原假設(shè)為在給定顯著性水平上（本文為1%），VaR失敗率近似于0.01，則可認(rèn)為模型產(chǎn)生了有效的VaR估計。若檢驗統(tǒng)計量的p值小于1%，則拒絕原假設(shè)?？芍撃Ｐ屯ㄟ^后驗測試檢驗，是一個有效的市場風(fēng)險預(yù)測工具。

5? ? 結(jié)語

Realized GARCH模型簡潔而高效，本文引入的二次冪變差積分權(quán)核估計量，可以作為傳統(tǒng)已實現(xiàn)波動率測度的替代，使模型更為穩(wěn)定，平滑了跳躍對估計的影響。實證中也發(fā)現(xiàn)，引入該估計作為波動率測度的模型，也通過了覆蓋率有效檢驗，說明該模型是一個有效的風(fēng)險預(yù)測工具，在數(shù)據(jù)波動較為劇烈時可能有更好的表現(xiàn)。

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[3]ENGLE R，GALLO G.A multiple indicators model for volatility using intra-daily data[J].Journal of Econometrics，2006（1）：3-28.

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[7]徐志.基于已實現(xiàn)GARCH類模型的股票市場VaR研究[D].蚌埠：安徽財經(jīng)大學(xué)，2019.

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Realized GARCH incorporating kernel weight realized volatility

Liu Yiyao， Wei Ruixin， Su Jiawei

（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin 541004， China）

Abstract：Volatility is a measure of fluctuation and risk of asset prices. The study of volatility is conducive to a deeper understanding of the laws of movement of financial markets. Based on the jump diffusion process， this paper combines the GM integral-type weight function with the realized GARCH model ， and reduces the impact of the jump on the estimated value to more effectively describe the Chinese stock market fluctuations.

Key words：realized GARCH; realized volatility; VaR