張廣泰，張 梅，張路楊，曹銀龍，陳 勇

(新疆大學(xué)建筑工程學(xué)院，烏魯木齊 830046)

0 引 言

鋼纖維混凝土梁受剪承載力預(yù)測(cè)是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一，但由于其影響因素眾多、受力復(fù)雜，以及混凝土材料自身具有較大的離散性，至今尚未形成統(tǒng)一的受剪理論體系[1-2]。鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算方法主要為半經(jīng)驗(yàn)半理論公式和基于力學(xué)模型的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，但由于存在著主觀不確定性，導(dǎo)致在預(yù)測(cè)承載能力時(shí)會(huì)產(chǎn)生偏差[3-5]。而貝葉斯理論通過引入影響鋼纖維混凝土梁受剪因素的修正系數(shù)能較好的考慮主觀、客觀不確定性的影響，并能更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)構(gòu)件的承載能力。

目前，在國內(nèi)外已開展大量關(guān)于鋼纖維混凝土梁受剪承載力的研究[6-10]。Ding等[6]對(duì)鋼纖維混凝土梁進(jìn)行了受剪承載力試驗(yàn)研究，探討了鋼纖維對(duì)梁的撓度、開裂、極限荷載和破壞形態(tài)的影響，以及鋼纖維與箍筋的共同作用，并提出了一種基于修正壓力場(chǎng)理論的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算方法。焦楚杰等[7]研究了鋼纖維體積率、剪跨比、配箍率及混凝土強(qiáng)度等級(jí)等因素對(duì)鋼纖維輕骨料混凝土梁受剪承載力的影響，并在試驗(yàn)結(jié)果基礎(chǔ)上, 通過數(shù)據(jù)回歸分析, 建立了梁斜截面受剪承載力計(jì)算公式。徐旭煒等[8]研究了鋼纖維摻量對(duì)混凝土梁受剪承載力的影響，并對(duì)我國CECS38:2004和歐洲RILEM TC162-TDF規(guī)程中鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式及計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。熊毅[9]以鋼纖維體積率為變量,對(duì)鋼纖維再生混凝土梁的受剪承載力進(jìn)行了試驗(yàn)研究，根據(jù)受剪承載力隨鋼纖維體積率的變化趨勢(shì)擬合出相應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，并結(jié)合有關(guān)的國家規(guī)范總結(jié)出鋼纖維再生混凝土承載力的理論規(guī)律和計(jì)算方法。Lim等[10]研究表明摻入鋼纖維可減少構(gòu)件所需的受剪箍筋數(shù)量，且鋼纖維和箍筋的組合能較好滿足梁延性和抗剪強(qiáng)度的要求，同時(shí)通過綜合考慮混凝土強(qiáng)度、纖維體積率、剪跨比及配箍率等的影響，建立了預(yù)測(cè)鋼纖維混凝土梁抗剪強(qiáng)度的分析方法?？傮w而言，上述研究建立的受剪承載力公式均考慮了混凝土強(qiáng)度、剪跨比及纖維體積率等因素的影響，但均為基于確定性模型建立的，忽略了縱筋、混凝土強(qiáng)度離散性、和尺寸效應(yīng)等因素的隨機(jī)性，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果離散性較大，計(jì)算精度和適用性有限。因此，有必要采用貝葉斯概率模型，綜合考慮主觀、客觀不確定性的影響，建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算方法。

基于此，本文采用貝葉斯理論，結(jié)合先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃?06組試驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，建立了鋼纖維混凝土梁受剪承載力概率模型，并將得到的計(jì)算值與試驗(yàn)值和我國《纖維混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》CECS 38:2004、歐洲RILEM TC 162-TDF規(guī)程中建議的計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了此模型的可行性和適用性，為鋼纖維混凝土梁受剪承載力的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)提供了理論依據(jù)。

1 模型的建立

1.1 貝葉斯理論簡(jiǎn)介

貝葉斯假設(shè)：參數(shù)的先驗(yàn)分布應(yīng)在其取值范圍內(nèi)服從均勻分布。在先驗(yàn)信息及貝葉斯假設(shè)的基礎(chǔ)上，貝葉斯定理表達(dá)式為[11]：

(1)

式中：π(θ)為參數(shù)θ的先驗(yàn)分布；f(x|θ)為參數(shù)θ的后驗(yàn)分布。

貝葉斯推斷是基于先驗(yàn)信息和樣本信息的動(dòng)態(tài)處理過程，其一般模式為：先驗(yàn)信息⊕樣本信息推出后驗(yàn)信息，即π(θ)⊕p(x|θ)?π(θ|x)，“⊕”表示貝葉斯定理的作用。

1.2 貝葉斯概率模型建立

以收集到的鋼纖維混凝土梁的受剪承載力先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)據(jù)信息作為先驗(yàn)信息，并考慮采用貝葉斯理論修正先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼`差，建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力概率模型：

V(x,Θ)=Vd(x)+γ(x,θ)+σε

(2)

式中：x為影響鋼纖維混凝土梁受剪因素的向量形式，其需滿足與公式方差σ2相互獨(dú)立的條件；Θ=(θ,σ)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過貝葉斯方法估計(jì)得到的模型參數(shù)；Vd(x)為現(xiàn)有鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式；γ(x,θ)為誤差修正項(xiàng)；θ=[θ1,θ2, …,θp]T表示對(duì)x的修正系數(shù)；σ為修正模型存在的誤差；ε是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

用p個(gè)函數(shù)將誤差修正方程γ(x,θ)線性表示為：

(3)

式中：hi(x)是根據(jù)理論和經(jīng)驗(yàn)確定的一些基本函數(shù)。

將式(2)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式表示為：

(4)

運(yùn)用貝葉斯最大似然估計(jì)法與式(4)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可求得參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)。假設(shè)p(Θ)為參數(shù)Θ的先驗(yàn)分布，f(Θ)為后驗(yàn)分布，L(Θ)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最大似然函數(shù)，則可得：

f(Θ)=κL(Θ)p(Θ)

(5)

由貝葉斯假設(shè)可知：對(duì)先驗(yàn)信息掌握不明確的情況下，參數(shù)的先驗(yàn)分布為[11]：

(6)

在滿足上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上，似然函數(shù)可表示為：

(7)

式中：φ(·)為正態(tài)分布概率密度函數(shù)；Φ(·)為正態(tài)分布函數(shù)；Vi為試驗(yàn)值；Vd(xi)為模型計(jì)算值。

破壞試驗(yàn)表示：Vi=Vd(xi)+γ(xi,θ)+σε;

下界破壞表示：Vi

上界破壞表示：Vi>Vd(xi)+γ(xi,θ)+σε。

選取破壞試驗(yàn)為研究對(duì)象，基于上述先驗(yàn)分布的貝葉斯理論對(duì)其中未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，本文的概率模型形式可表示為：

(8)

式中：hi(x)是由鋼纖維混凝土梁受剪承載力影響因素確定。

2 計(jì)算分析

2.1 影響因素選定及試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理

通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)收集到的鋼纖維混凝土梁受剪承載力影響因素進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到以下主要影響因素：混凝土強(qiáng)度、截面尺寸、剪跨比、箍筋配箍率、縱筋配筋率、箍筋屈服強(qiáng)度、纖維體積率及長徑比；故hi(x)可確定為修正常數(shù)項(xiàng)h1(x)=ln2[12]，h2(x)=lnfc，h3(x)=lnb，h4(x)=lnh，h5(x)=lnλ，h6(x)=lnρsv，h7(x)=lnρl，h8(x)=lnfyv，h9(x)=lnλf，h10(x)=lnft。

為綜合考慮鋼纖維混凝土梁受剪承載力的各影響因素，根據(jù)構(gòu)件在混凝土強(qiáng)度、截面尺寸、剪跨比、箍筋配箍率、縱筋配筋率、箍筋屈服強(qiáng)度和纖維特征值等方面的差異，從近十年國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)[2,10,13-21]中收集了106組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中混凝土抗壓強(qiáng)度范圍為37.8～122.4 MPa，混凝土抗拉強(qiáng)度范圍為2.50～5.96 MPa，梁寬范圍為100～400 mm，梁高范圍為150～700 mm，剪跨比范圍為1～4，箍筋配箍率范圍為0%～1.41%，縱筋配筋率范圍為1.29%～4.93%，箍筋屈服強(qiáng)度范圍為0～641.9 MPa，纖維特征值范圍為0～1.2，具體參數(shù)見表1。

2.2 后驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?/h3>

以我國纖維混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程(CECS 38:2004)和歐洲材料與結(jié)構(gòu)聯(lián)合會(huì)標(biāo)準(zhǔn)(RILEM TC 162-TDF)提出的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式作為概率模型公式中的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，采用貝葉斯理論分別對(duì)其因不確定因素產(chǎn)生的偏差進(jìn)行修正，從而得到基于不同先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷匿摾w維混凝土梁受剪承載力概率模型。

以我國CECS 38:2004建議的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式為先驗(yàn)?zāi)Ｐ停?/p>

(9)

式中：h0為截面有效高度；βv為鋼纖維對(duì)鋼筋鋼纖維混凝土構(gòu)件斜截面上與混凝土有關(guān)的受剪承載力的影響系數(shù)；Asv為箍筋截面積；s為箍筋間距。

基于CECS 38:2004建議的先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，結(jié)合表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行貝葉斯參數(shù)估計(jì)后得到的未簡(jiǎn)化概率模型如下式：

(10)

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data

續(xù)表1

注：fc為混凝土抗壓強(qiáng)度；ft為混凝土抗拉強(qiáng)度；b、h為截面尺寸；λ為剪跨比；ρsv為箍筋配箍率；ρl為縱筋配筋率；fyv為箍筋屈服強(qiáng)度；λf纖維特征值，λf=Vflf/df，Vf為纖維體積率，lf/df為纖維長徑比；Vtest為剪力實(shí)測(cè)值。

以歐洲RILEM TC 162-TDF建議的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式為先驗(yàn)?zāi)Ｐ停?/p>

VRd,3=Vcd+Vfd+Vwd

(11)

Vcd=[0.12K(100ρlffck)1/3+0.15σcp]bh0

(12)

Vfd=KfKτfdbh0

(13)

(14)

基于RILEM TC 162-TDF建議的先驗(yàn)?zāi)Ｐ停Y(jié)合表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行貝葉斯參數(shù)估計(jì)后得到的未簡(jiǎn)化概率模型如下式：

(15)

2.3 模型簡(jiǎn)化

本文的10個(gè)受剪承載力影響因素中，部分因素對(duì)其影響不明顯，故可采用貝葉斯參數(shù)剔除法剔除影響較小hi(x)以達(dá)到簡(jiǎn)化公式的目的，具體步驟如下：

(1)計(jì)算參數(shù)θ=[θ1,θ2, …,θp]和σ的后驗(yàn)估計(jì)值。

(2)根據(jù)參數(shù)θ的后驗(yàn)分布計(jì)算每個(gè)hi(x)的變異系數(shù)C：

C=σi/ui

(16)

式中：σi為hi(x)的標(biāo)準(zhǔn)差；ui為hi(x)的均值。

(3)依次剔除θi對(duì)應(yīng)的變異系數(shù)最大的hi(x)，直至模型參數(shù)σ的后驗(yàn)估計(jì)值顯著增大則停止參數(shù)剔除。具體參數(shù)剔除過程見表2和表3。

表2 基于中國規(guī)程的參數(shù)剔除過程Table 2 Parameter culling process based on Chinese specifications

表3 基于歐洲規(guī)程的參數(shù)剔除過程Table 3 Parameter culling process based on European specifications

由表2和表3可知，采用不同規(guī)程中建議的受剪承載力計(jì)算公式為先驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行參數(shù)剔除過程中，均依次剔除了對(duì)鋼纖維混凝土梁承載力影響較小的h9(x)、h6(x)、h8(x)、h5(x)、h10(x)和h4(x)，當(dāng)剔除h7(x)時(shí)，σ2值顯著增大，故h7(x)、h3(x)、h2(x)及h1(x)對(duì)其受剪承載力影響較大，不能剔除?；趦煞N先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷氖芗舫休d力概率模型的簡(jiǎn)化公式為：

(17)

(18)

2.4 計(jì)算結(jié)果及驗(yàn)證分析

兩種先驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌浜?jiǎn)化后的概率模型計(jì)算結(jié)果見表4，由表可知，試驗(yàn)值與兩種先驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算值比值的均值為1.361、0.83，方差為0.152、0.06。試驗(yàn)值與兩種修正后的概率模型計(jì)算值比值的均值為1.034、1.024，方差為0.077、0.05，由此可見，修正后概率模型的均值接近于1，且方差較小，能更為精確的預(yù)測(cè)鋼纖維混凝土梁的受剪承載能力。圖1、圖2為試驗(yàn)值與修正前的先驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算值及修正后的后驗(yàn)概率模型計(jì)算值的對(duì)比分析圖。由圖可知，簡(jiǎn)化后的概率模型計(jì)算值與試驗(yàn)值的比值較兩種先驗(yàn)?zāi)Ｐ透咏?，計(jì)算值與試驗(yàn)值的偏差較小，采用不同先驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行貝葉斯估計(jì)后的計(jì)算值與試驗(yàn)值比值的整體分布情況相似。說明可采用貝葉斯方法對(duì)鋼纖維混凝土梁受剪承載力進(jìn)行無偏估計(jì)，且具有一定的優(yōu)越性。

表4 試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果Table 4 Experimental calculated results

續(xù)表4

圖1 中國規(guī)程修正前后與試驗(yàn)值對(duì)比
Fig.1 Comparison between Chinese procedures before and after revision with test values

圖2 歐洲規(guī)程修正前后與試驗(yàn)值對(duì)比
Fig.2 Comparison of European procedures before and after revision with test values

3 結(jié) 論

(1)由采用貝葉斯概率模型建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式過程可見，中國CECS 38:2004規(guī)程和歐洲RILEM TC 162-TDF規(guī)程中建議的計(jì)算公式已較好考慮了配箍率、剪跨比、纖維因素以及箍筋屈服強(qiáng)度等的影響。

(2)基于貝葉斯概率模型建立的鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式的計(jì)算值較規(guī)程建議公式計(jì)算的承載力值更為接近試驗(yàn)值，且離散性較小，說明采用貝葉斯概率模型建立鋼纖維混凝土梁受剪承載力計(jì)算公式具有合理性。

(3)文中建議的受剪承載力計(jì)算公式較好利用了先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃驮囼?yàn)數(shù)據(jù)，避免了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散性對(duì)其產(chǎn)生影響，同時(shí)可根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不斷積累對(duì)建議的受剪承載力計(jì)算方法進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。因此，本文建議的計(jì)算方法具有較好的準(zhǔn)確性和完備性，且應(yīng)用范圍更為廣泛。