董家豪,徐 乾,余智君，王思慧，周惠君

(南京大學(xué) 物理學(xué)院,江蘇 南京 210093)

紋影法可以測量氣體微小密度變化，主要是利用光在被測流場中的折射率梯度正比于流場的氣流密度的性質(zhì). 折射率的非均勻性使得相鄰光線的光程隨之變化，從而影響圖像的灰度甚至色彩. 紋影法首先由Toepler于1864年提出，并應(yīng)用在光學(xué)玻璃折射率的檢測中. 傳統(tǒng)紋影方法是基于幾何光學(xué)的折射定律，依賴于圖像灰度與偏轉(zhuǎn)角之間的定標(biāo)關(guān)系. 為了演示紋影法原理，搭建了典型光路，圖1是用其對火焰周圍的密度場所成的圖像. 可以看到，密度的微小差異被轉(zhuǎn)化成光強(qiáng)的變化，因此紋影法可以對流場中的微小密度變化進(jìn)行顯示和測量. 通過紋影法得到的圖像定量推算密度場分布，需要先標(biāo)定所用紋影設(shè)備的定標(biāo)關(guān)系，即光線偏折角和光強(qiáng)分布之間的關(guān)系. 這使紋影法的應(yīng)用受到頗多限制，且往往不能精確定量測量，只能給出定性結(jié)果.

圖1 紋影實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

本文基于傅里葉光學(xué)分析法，采用激光光源改進(jìn)了紋影成像法，實(shí)驗(yàn)中的激光光源具有更好的相干性，光場經(jīng)過流場刀片起頻譜濾波器的作用. 結(jié)果顯示，流場的密度變化被轉(zhuǎn)化為像屏上清晰的明暗條紋. 理論推演表明，像屏上的明暗條紋反映了入射光場的相位分布，由此可以推演出密度分布. 數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)所得圖像基本一致. 本實(shí)驗(yàn)所采用的方法無需借助定標(biāo)關(guān)系，簡化了傳統(tǒng)紋影方法.

1 實(shí) 驗(yàn)

圖2為實(shí)驗(yàn)光路圖和實(shí)驗(yàn)裝置圖，包括633 nm半導(dǎo)體激光器、透鏡、酒精燈、刀片和光屏.

實(shí)驗(yàn)中以酒精燈火焰作為觀察對象，火焰周圍能產(chǎn)生顯著的密度梯度，且易于獲取，適于在實(shí)驗(yàn)室觀察.

(a)實(shí)驗(yàn)光路圖

(b)實(shí)驗(yàn)裝置圖圖2 實(shí)驗(yàn)光路圖和裝置圖

首先觀察火焰上方的熱氣流，在頻譜面上向一側(cè)移動(dòng)刀片，像屏上的觀測結(jié)果如圖3所示.

圖3 刀片向一側(cè)移動(dòng)時(shí)像屏上所得的觀測結(jié)果

接下來直接觀察火焰，調(diào)整刀片位置，直至像屏上得到清晰圖像，如圖4所示.

圖4 直接觀察火焰時(shí)所得觀測結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中觀察到，流場的密度變化被轉(zhuǎn)化為像屏上的明暗條紋分布，這有別于傳統(tǒng)的紋影法. 理論分析表明，條紋結(jié)構(gòu)反映了入射光的相位分布，進(jìn)而反映了密度場的結(jié)構(gòu).

2 理論分析

2.1 基于傅里葉光學(xué)的分析

采用傅里葉光學(xué)的方法分析紋影. 相干光經(jīng)過不均勻密度場后帶有相位信息，透鏡對入射光做1次傅里葉變換后在后焦面上得到頻譜，經(jīng)過濾波器的調(diào)制后，經(jīng)逆傅里葉變換在像屏上得到圖像. 分析思路如圖5所示.

圖5 基于傅里葉光學(xué)分析紋影

2.2 理論推演

為計(jì)算簡便，把火焰區(qū)域簡化為密度均勻的圓柱區(qū)域，如圖6所示.

圖6 簡化的火焰模型

由此可得到入射光通過火焰后的相位分布：

(1)

如圖7所示. 因此物函數(shù)可以寫作

f(ξ)=exp [iφ(ξ)],

(2)

圖7 入射光經(jīng)火焰場后相位分布

經(jīng)過透鏡后，在其后焦面上得到傅里葉頻譜

(3)

此處火焰場是一維分布場，因此其頻譜可以寫作

(4)

以刀片為濾波器，濾波器函數(shù)為

(5)

式中Ω為刀片在頻譜面上遮擋的區(qū)域,如圖8所示，在實(shí)驗(yàn)中，刀片略覆蓋焦點(diǎn)，濾波器函數(shù)實(shí)取

(6)

圖8 刀片濾波器函數(shù)

濾波后頻譜為

F′(vx)=Φ(vx)H(vx),

(7)

對其做逆傅里葉變換，得到像函數(shù)

conv {exp [iφ(ξ′)],h(ξ′)},

(8)

那么光屏上的光強(qiáng)分布為

I(ξ′)=g(ξ′)·conj [g(ξ′)].

(9)

該結(jié)果很難求解析解，因此選擇用Matlab求數(shù)值結(jié)果.

2.3 數(shù)值模擬

把以上計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為Matlab代碼，得到屏上光強(qiáng)分布模擬結(jié)果如圖9所示.

模擬結(jié)果能反映實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中的條紋結(jié)構(gòu)，但條紋分布上有差異. 這是因?yàn)槟M中使用的火焰場模型較為簡單，但能定性說明實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

(a)模擬結(jié)果

(b)模擬光強(qiáng)分布圖9 模擬結(jié)果可視化和光強(qiáng)分布

2.4 預(yù)言其他濾波器效果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論和模擬的正確性，換用其他濾波器取代刀片，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)模擬，兩者顯示出很好的一致性.

2.4.1 采用針尖作為濾波器

采用針尖在透鏡后焦面的中心處遮擋頻譜，在光屏上接收到的實(shí)驗(yàn)效果和數(shù)值模擬效果如圖10所示.

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (b)模擬結(jié)果圖10 針尖濾波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果對比

2.4.2 采用單縫作為濾波器

采用單縫在透鏡后焦面的中心兩側(cè)遮擋頻譜，在光屏上接收到的實(shí)驗(yàn)效果和數(shù)值模擬效果如圖11所示.

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (b)模擬結(jié)果圖11 單縫濾波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果對比

2.5 通過條紋分布反演密度場

進(jìn)一步的模擬結(jié)果表明，像屏上接收到條紋信息反映的正是密度場結(jié)構(gòu)信息，從條紋的分布出發(fā)可以反演密度場的分布. 以一維密度場的模擬結(jié)果來說明.

假設(shè)密度場線性變化，則相位分布也線性變化，形式為

φ(ξ)=Aξ+φ0, Δφmax=16 pixel.

(10)

相位場分布和數(shù)值模擬結(jié)果如圖12所示，光屏上將得到均勻分布的條紋，且滿足

Δφ=2πΔN.

(11)

(b)模擬結(jié)果圖12 線性變化密度場相位分布和模擬結(jié)果

假設(shè)密度場平方關(guān)系變化，則相位分布也平方變化，形式為

φ(ξ)=Aξ2+φ0, ΔφMAX=8 pixel.

(12)

相位場分布如圖13(a)所示，數(shù)值模擬結(jié)果如圖13(b)所示.

模擬結(jié)果顯示，光屏上將得到疏密分布的條紋，并且條紋的疏密程度和相位變化的快慢相一致，同樣滿足式(11).

下面推導(dǎo)條紋分布與密度場變化之間的定量關(guān)系. 記ξ和ξ′分別為物平面和像平面坐標(biāo)，二者之間滿足線性變換關(guān)系

ξ=Iξ′,

(13)

由Gladstone-Dale定律

ρK=n-1,

(14)

可以推出

(15)

式中d是一維密度場在光傳播方向上的長度.

(a)相位分布

(b)模擬結(jié)果圖13 平方變化密度場相位分布和模擬結(jié)果

由式(15)可知，通過實(shí)驗(yàn)測得像平面條紋分布N(ξ′)后，即可積分確定密度場的變化情況. 式(15)是基于一維密度場的情形推導(dǎo)而來的，事實(shí)上，對于任意密度場，如果其結(jié)構(gòu)已知，僅有幾個(gè)待定參量，也一定可以通過條紋信息反演密度場，推導(dǎo)方法和上文所展示的思想一致.

3 結(jié)束語

以激光為光源，采用紋影成像法觀察火焰密度場，在像面上得到了條紋分布. 從傅里葉光學(xué)的分析方法出發(fā)，透鏡與刀片的作用相當(dāng)于傅里葉變換與濾波器，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了條紋分布的存在；且該理論模型能預(yù)言其他濾波器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 由像平面條紋分布反演密度場的方法，相比傳統(tǒng)的定標(biāo)方法包含更豐富的物理內(nèi)涵，加以改進(jìn)后有潛力應(yīng)用到更復(fù)雜密度場的分析.