支越

(中國傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

感應(yīng)加熱是一種加熱導(dǎo)體材料(如金屬材料)的方法。在工業(yè)中，感應(yīng)加熱廣泛用于金屬硬化，鍛造預(yù)熱。感應(yīng)加熱系統(tǒng)的基本組件包括感應(yīng)線圈，交流電源和工件。將線圈與電源連接，電源為線圈提供交變電流，交變電流產(chǎn)生通過工件的交變磁場(chǎng)，利用交變磁場(chǎng)產(chǎn)生渦流，從而達(dá)到加熱的效果。

感應(yīng)加熱的過程非常復(fù)雜，因此，對(duì)于感應(yīng)加熱模型的數(shù)學(xué)分析可以在設(shè)計(jì)過程中提供有效幫助。感應(yīng)加熱模型由電磁場(chǎng)方程和熱傳導(dǎo)方程組成。關(guān)于線性電磁材料的研究，文獻(xiàn)[1]給出了各種數(shù)值計(jì)算方案，文獻(xiàn)[2，3]討論了磁熱耦合問題的適定性，給出了理論結(jié)果。

文獻(xiàn)[4]中要求矢量勢(shì)A滿足無散性，然而文中假設(shè)電導(dǎo)率是與溫度有關(guān)的函數(shù)，這與-?tA無散的性質(zhì)矛盾。在本文中，通過引入引入矢量勢(shì)A，滿足E=-?tA，不考慮矢量勢(shì)A無散度的條件，這樣可以避免文獻(xiàn)[4]理論中出現(xiàn)的矛盾；熱傳導(dǎo)方程中選用與文獻(xiàn)[4]相同的Neumann邊界條件。本文將給出非線性感應(yīng)加熱模型的勢(shì)場(chǎng)公式。

2 模型簡介

在渦流區(qū)域，麥克斯韋方程組[5]如下：

其中，E是電場(chǎng)，H是磁場(chǎng)，J是總電流密度，B是磁感應(yīng)強(qiáng)度。

假設(shè)H與B之間的非線性關(guān)系[4]為

假設(shè)電導(dǎo)率σ=σ(u)依賴于溫度函數(shù)u，σ是嚴(yán)格正的且有界，即存在常數(shù)σmin，σmax，使得0<σmin≤σ≤σmax<∞。

在麥克斯韋方程組中，由B的無散性，可以定義一個(gè)矢量勢(shì)A，令B=?×A，使得?×(E+?tA)=0，E=-?tA。

工件上的感應(yīng)電流密度為σπE，令Js為線圈中給定的源電流密度，其是Lipschitz連續(xù)的?？紤]下述電磁場(chǎng)的初始邊值問題：

σπ?tA+?×νM(?×A)=Js，(x，t)∈Ω×(0，T]

A(0)=A0，x∈Ω，t=0

n×A=0，(x，t)∈?Ω×(0，T]

其中A0∈H0(curl，Ω)，Js∈L2(T)，n是?Ω上的單位外法線向量。矢量勢(shì)M滿足下列條件

M(0)=0，(M(x)-M(y))·(x-y)≥cM|x-y|2，cM>0，?x，y∈3

|M(x)-M(y)|≤CM|x-y|，CM>0，?x，y∈3

工件上的局部焦耳熱為J·E=σπ|E|2=σπ|?tA|2。焦耳熱項(xiàng)在模型的分析中會(huì)產(chǎn)生許多問題，對(duì)其引入截?cái)嗪瘮?shù)[4]

其中r是正的常數(shù)。溫度函數(shù)的變化由下述非線性熱傳導(dǎo)方程表示：

?tβ(u)-?·(λ?u)=Rr(σπ(u)|?tA|2)，(x，t)∈π×(0，T]

u(0)=u0，x∈π，t=0

其中，非線性函數(shù)β是連續(xù)的，導(dǎo)熱系數(shù)λ是嚴(yán)格正的，有界的，滿足

β(0)=0，|β(x)|≤Cβ(1+|x|)，0<β≤β'(x)，Cβ>0，?x∈，

0<λmin≤λ≤λmax<∞，|λ(x，t2)-λ(x，t1)|≤Cλ|t2-t1|，Cλ>0，?x∈π，?t1，t2∈[0，T]。

3 變分形式

首先給出下文中要用的基本空間及基本定義。

Hm(Ω)空間的范數(shù)：

其中m是非負(fù)整數(shù)，ξ表示非負(fù)三重指數(shù)。使用黑體表示向量值空間，如L2(Ω)∶=(L2(Ω))3。

變分空間及范數(shù)的定義如下：H(curl，Ω)={Q∈L2(Ω)：?×Q∈L2(Ω)}，

應(yīng)用上述定義，電磁場(chǎng)方程和熱傳導(dǎo)方程的變分形式為：

(σπ?tA，Q)π+(νM(?×A)，?×Q)π=(JS，Q)Τ，?Q∈H0(curl，Ω)，

(σπβ(u)，ψ)π+(λ?u，?ψ)π=(Rr(σπ|?tA|2)，ψ)π，?ψ∈H1(π).

4 時(shí)間離散化

設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，將區(qū)間[0，T]均勻剖分成n份，其中時(shí)間步長為τ=T/n，令

時(shí)間半離散格式為：

(σπ(ui-1)δAi，Q)π+(νM(?×Ai)，?×Q)Ω=(JS，i，Q)Τ，?Q∈H0(curl，Ω)，

(δβ(ui)，ψ)π+(λi?ui，?ψ)π-(Rr(σπ(ui-1)|?tAi|2)，ψ)π=0，?ψ∈H1(π)，

在上式中，σπ(u)取上一個(gè)時(shí)間步ui-1的值，這樣處理可以求解Ai和ui，并不影響收斂結(jié)果。

使用單調(diào)算子引理[7]，能夠證明時(shí)間半離散格式解的存在唯一性。關(guān)于Ai和ui的穩(wěn)定性估計(jì)，證明過程較為簡單，證明思路類似文獻(xiàn)[4]。

5 半離散格式收斂性

時(shí)間半離散格式的等價(jià)形式如下：

6 結(jié)論

本文討論了一個(gè)感應(yīng)加熱模型，并提出其勢(shì)場(chǎng)公式。在電磁場(chǎng)方程中，將電場(chǎng)化為矢量勢(shì)形式。使用向后歐拉法，得出時(shí)間半離散格式。關(guān)于時(shí)間半離散格式的收斂性，其證明過程較復(fù)雜，證明思路類似于文獻(xiàn)[4]。