福州英華職業(yè)學(xué)院，福建 福州 350101

1 非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃是主要研究一個(gè)n 元函數(shù)在等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知變量的非線性實(shí)函數(shù)。雖然大量的實(shí)際問題可以簡化為線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃等模型求解，但事實(shí)上，客觀世界中的許多問題都是非線性的，之所以用線性函數(shù)來刻畫多是出于簡化的目的。可是有些問題是不能夠進(jìn)行線性簡化處理的，此時(shí)就需要建立非線性規(guī)劃模型。目標(biāo)函數(shù)或者是約束條件只要不全是線性的，這類問題的研究就是非線性規(guī)劃方法的研究［1］。

然而對(duì)于非線性規(guī)劃問題的求解方法到現(xiàn)在為止仍沒有一種普遍、通用的方法，即適用于一般情況的方法。解決非線性規(guī)劃的最優(yōu)化問題并不容易，因?yàn)樗鼪]有像線性規(guī)劃那樣的通用算法，要針對(duì)實(shí)際問題的特點(diǎn)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合非線性規(guī)劃中各種方法的使用范圍進(jìn)行求解。目前在運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域各種方法都有其特殊的使用范圍，這正是非線性規(guī)劃方法需要更深一步研究與發(fā)展的領(lǐng)域。

對(duì)于靜態(tài)的最優(yōu)化問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件出現(xiàn)未知量的非線性函數(shù)，且不便于線性化，或勉強(qiáng)線性化后會(huì)招致較大誤差時(shí)，就可應(yīng)用非線性規(guī)劃的方法去處理［2］。

2 建立非線性規(guī)劃模型

由于建筑結(jié)構(gòu)的倒塌過程就是一個(gè)非線性過程，結(jié)構(gòu)的建模、結(jié)構(gòu)材料和構(gòu)件之間的連接方式等都會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)整體的非線性分析計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。針對(duì)不同滯回特征參數(shù)對(duì)單自由度體系結(jié)構(gòu)抗震性能的影響，確定結(jié)構(gòu)抗震性能的主要因素主要有延性系數(shù)，次要因素有強(qiáng)化系數(shù)，而軟化系數(shù)以及剛度退化對(duì)單自由度體系的結(jié)構(gòu)抗震性能幾乎無顯著影響，因此本文忽略軟化系數(shù)及剛度退化這兩個(gè)因素對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的影響，主要建立與單自由度體系結(jié)構(gòu)抗震性能兩個(gè)主要因素的非線性規(guī)劃模型。

求解約束最優(yōu)化問題的方法有無數(shù)多種，而懲罰函數(shù)只是其中一種較為簡便的方法。懲罰函數(shù)是將帶有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束極小化問題來進(jìn)行求解，通過一系列的懲罰因子求解目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)用以逼近原問題的最優(yōu)解，這樣便可以求解得出滿足所有約束條件的可行最優(yōu)解［3］。

懲罰函數(shù)求解MP 問題是利用問題中的約束函數(shù)做出適當(dāng)?shù)膸в袇?shù)的懲罰函數(shù)，然后在原來的目標(biāo)函數(shù)上加上懲罰函數(shù)構(gòu)造出帶參數(shù)的增廣目標(biāo)函數(shù)，把MP 問題的求解轉(zhuǎn)換為求解一系列無約束非線性規(guī)劃問題。

在求解無約束的優(yōu)化問題的時(shí)候，對(duì)試圖要違反給定的約束條件的所有解給出相應(yīng)的額外懲罰約束使得一系列的無約束優(yōu)化問題的極小值點(diǎn)向給定的可行域不斷逼近，或在給定的可行域內(nèi)搖擺移動(dòng)，即極小點(diǎn)可能在可行域外部，也有可能在可行域內(nèi)部，直至收斂到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為止。

以采集的地震波記錄數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用懲罰函數(shù)法建立非線性規(guī)劃模型，并進(jìn)行求解和分析延性系數(shù)、強(qiáng)化系數(shù)兩個(gè)因素對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的影響程度。利用懲罰函數(shù)方法，對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的主要因素進(jìn)行分析，主要是確定罰因子，罰因子的大小直接導(dǎo)致問題的求解結(jié)果發(fā)生很大的變化。由于大的懲罰參數(shù)帶來的困難，因此應(yīng)用懲罰函數(shù)的大部分算法都使用一系列逐漸增大的懲罰參數(shù)值，對(duì)于懲罰函數(shù)的每一個(gè)新值，以前一個(gè)選取的參數(shù)值相應(yīng)的最優(yōu)解為開始點(diǎn)［4］。如何確定罰因子，對(duì)利用罰函數(shù)法求解任何非線性規(guī)劃問題都至關(guān)重要。

3 數(shù)據(jù)分析

本文通過翻閱建筑結(jié)構(gòu)抗倒塌學(xué)術(shù)研討會(huì)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，以采集的地震波記錄數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，主要是基于Imperial Valley-06及Nahanni 的地震波數(shù)據(jù)，得到地震波記錄及條幅系數(shù)統(tǒng)計(jì)表、簡化模型參數(shù)表，見表1、表2。本文著重分析延性系數(shù)及強(qiáng)化系數(shù)對(duì)單自由度體系結(jié)構(gòu)抗震性能的影響程度。

表1 地震動(dòng)記錄以及調(diào)幅系數(shù)統(tǒng)計(jì)表

表2 簡化模型參數(shù)表

骨架曲線中包含以下參數(shù)：強(qiáng)化系數(shù)α，軟化系數(shù)β，屈服剛度KS，延性系數(shù)μ，屈服承載力Fy，屈服位移Dy，由相關(guān)研究數(shù)據(jù)得到延性系數(shù)μ=4.0 的單自由度體系結(jié)構(gòu)，其骨架曲線如圖1、圖2 所示。

圖1 不同強(qiáng)化系數(shù)的骨架曲線

圖2 不同延性系數(shù)的骨架曲線

由地震動(dòng)記錄以及調(diào)幅系數(shù)統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn)：在同一地震中峰值加速度與調(diào)幅系數(shù)相乘之后存在一個(gè)相近的數(shù)值，此數(shù)值越接近則記錄的數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，可作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究分析。

依據(jù)簡化模型參數(shù)表，結(jié)合圖1、圖2 的骨架曲線可以看出當(dāng)強(qiáng)化系數(shù)α 固定時(shí)，延性系數(shù)μ 越大，屈服承載力Fy最大值也越大；當(dāng)延性系數(shù) μ 固定時(shí)，強(qiáng)化系數(shù)α 越大，屈服承載力Fy最大值也越大，但是二者的增加幅度卻有大不同。

決策變量X=（x1，x2）T，其中x1為延性系數(shù)，x2為強(qiáng)化系數(shù)，y 為屈服承載力。根據(jù)表2、圖1、圖2 數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)決策變量與屈服承載力的關(guān)系，得到的方程如下：

利用懲罰函數(shù)繼續(xù)對(duì)單自由度體系結(jié)構(gòu)抗震性能進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)算分析，使得理論數(shù)據(jù)在結(jié)構(gòu)抗震中能得到實(shí)際的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)抗震性能可以通過屈服承載力及屈服位移來確定，懲罰函數(shù)是求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，即可選取目標(biāo)函數(shù)為屈服位移最小，則表示結(jié)構(gòu)抗震性能優(yōu)良。屈服位移主要由延性系數(shù)、強(qiáng)化系數(shù)、屈服承載力決定，經(jīng)過行業(yè)專業(yè)人員的預(yù)測，其中延性系數(shù)對(duì)屈服位移的影響程度為4x12，強(qiáng)化系數(shù)對(duì)屈服位移的影響程度為（30x2）2，屈服承載力對(duì)屈服位移的影響程度為-17y。

由此建立了如下的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的變換，則簡化后的數(shù)學(xué)模型如下：

利用懲罰函數(shù)求解數(shù)學(xué)模型，當(dāng)k 無限增大的時(shí)候yk是從問題可行域外部趨于它的最優(yōu)解y*=9.25。而后根據(jù)y*計(jì)算出延性系數(shù)x1=5.125，強(qiáng)化系數(shù)x2=0.0083。

4 結(jié)論

由計(jì)算結(jié)果可以看出當(dāng)延性系數(shù)為5.125，強(qiáng)化系數(shù)為0.0083，屈服承載力為9.25，此刻屈服位移最小，表示結(jié)構(gòu)抗震性能達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。在本文假定的各個(gè)約束條件下，延性系數(shù)與強(qiáng)化系數(shù)是同等考慮的，但是延性系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的影響最為顯著。

通過分析相關(guān)數(shù)據(jù)指標(biāo)，對(duì)Imperial Valley-06 及Nahanni的地震波數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析，利用懲罰函數(shù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解分析。探析結(jié)構(gòu)抗震性能后，發(fā)現(xiàn)應(yīng)盡可能的考慮在一定范圍內(nèi)增大延性系數(shù)，減小強(qiáng)化系數(shù)，這樣才可以很好的保證結(jié)構(gòu)的抗震性能。