李兆軍，王玉江，劉福秀，黃鈺鈺，毛息軍

(1.廣西大學 機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.廣西科技大學 廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，廣西 柳州 545006)

0 引言

混流式水輪機彎肘型尾水管在部分負荷工況下會產(chǎn)生尾水渦流，造成轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力中存在著異常壓力脈動[1]。這種異常壓力脈動可能使轉(zhuǎn)輪葉片產(chǎn)生強烈振動，進而造成轉(zhuǎn)輪葉片出現(xiàn)疲勞裂紋，嚴重危害機組的安全運行[2-3]。因而在研究水輪機轉(zhuǎn)輪葉片動力學特性的過程中，有必要研究尾水管渦對轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力的影響。

目前有關尾水管渦對轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力的影響研究，主要通過計算流體力學(computational fluid dynamics，CFD)數(shù)值模擬和試驗測試分析的方法。通過數(shù)值模擬方法，鐘林濤等[4]研究了轉(zhuǎn)輪出口速度、出口旋流數(shù)和渦帶形狀等因素與尾水管渦帶的關系。FOROUTAN等[5]研究了泄水錐射流與尾水管中心的軸向動量以及尾水管渦的死水區(qū)的關系。通過試驗測試方法，王小龍等[6-7]研究了轉(zhuǎn)輪葉片入口處的壓力脈動幅值和頻率。以上兩種方法研究了不同工況時的動水壓力變化規(guī)律，沒有得到反映動水壓力與水力參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學模型，難以進行轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力的暫態(tài)過程分析[8]。而數(shù)學模型能夠反映動水壓力與水力參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的內(nèi)在關系，可對轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力的暫態(tài)過程進行分析，且暫態(tài)過程分析又是研究轉(zhuǎn)輪葉片動力學特性的基礎工作，而目前有關此方面的研究鮮見文獻報道。

本文以水輪機轉(zhuǎn)輪葉片為研究對象，根據(jù)水輪機轉(zhuǎn)輪葉片準三元反設計的特點，應用有限單元法建立水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的準三元有限元模型，構(gòu)建尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片上動水壓力的數(shù)學模型，并通過實例分析進行驗證。

1 水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的準三元有限元模型

圖1 水輪機轉(zhuǎn)輪葉片坐標系Fig.1 Global coordinate system of a turbine runner blade

PJij(r,θ,z,t)=N1Pij+N2P(i+1)j+N3P(i+1)(j+1)+N4Pi(j+1)，

(1)

式中：Pij、P(i+1)j、P(i+1)(j+1)、Pi(j+1)為節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)的尾水管作用下的壓力脈動，N1、N2、N3、N4為節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)動水壓力的形函數(shù)，根據(jù)水輪機轉(zhuǎn)輪葉片準三元理論的動水壓力變化規(guī)律[9]，尾水管作用下的壓力脈動形函數(shù)為

(2)

式中：a、b分別為單元長度和寬度的一半。

2 尾水管渦作用下的水輪機轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力

水輪機機組在部分負荷時，由于水輪機流量的減小，水流在轉(zhuǎn)輪出口產(chǎn)生具有與轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)方向相同的圓周分量，導致在轉(zhuǎn)輪出口的正環(huán)量增加。當環(huán)量達到一定程度，水流在尾水管產(chǎn)生一個與轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)方向相一致的偏心渦帶[4]。尾水管渦引起了轉(zhuǎn)輪葉片的出口回流，在回流作用的影響下，轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點Cij的壓力脈動pij可表示為[10]

pij=kijAijsin(2πft+φ)，

(3)

式中：Aij為節(jié)點Cij所在截面尾水管渦的壓力脈動幅值，φ為初相位，與初始時刻的葉片相對位置有關；kij為尾水管渦引起的回流作用下葉片節(jié)點Cij的動水壓力系數(shù)，與節(jié)點位置參數(shù)有關，為

(4)

式中：ε為葉片翼型常數(shù)，且-1≤ε≤1，可根據(jù)轉(zhuǎn)輪葉片的具體翼型確定。

式(3)中f為尾水管頻率，在部分負荷工況下，尾水管頻率是轉(zhuǎn)頻和設計水頭的函數(shù)，可表示為[11]

(5)

式中：n為水輪機轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)速，Q為水輪機實際流量，Q0為水輪機額定流量，ra為中央流線出口處半徑，β為葉片出口水流角，S為轉(zhuǎn)輪出口過水斷面面積，且S=2πdra，d為出水邊葉片弧長長度。

根據(jù)布拉修斯定理[12]，式(3)中節(jié)點Cij所在截面尾水管渦的壓力脈動幅值Aij可用尾水管渦帶圓周速度分量的動量表示為

(6)

(7)

式中：rw為尾水管入口截面半徑;z0為泄水錐的深度;τ1、τ2為待定正常數(shù)，可根據(jù)試驗結(jié)果的經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定。

根據(jù)文獻[14]可知，當Q=0.9Q0，H=H0時，尾水管渦帶消失；而在Q=0.25Q0，H=H0部分負荷運行區(qū)時，下環(huán)處尾水管渦帶半徑接近于尾水管入口截面半徑，依據(jù)具體的流量和水頭，可計算出τ1、τ2。

式(6)中渦帶偏心距e可根據(jù)仿真結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)獲得[2]

(8)

(9)

式中:Cv為尾水管渦引起的節(jié)點Cij圓周速度與節(jié)點Cij絕對速度圓周分量的相關系數(shù)，與尾水管渦帶運行的工況有關。uij為節(jié)點Cij的絕對速度的圓周分量，可表示為

(10)

將式(4)～(10)代入到式(3)中，并整理得節(jié)點Cij的尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力為

(11)

由式(11)可知，尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力幅值隨著流量的增加而逐漸減小，隨著水頭的增加而增加；而尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力頻率隨著轉(zhuǎn)速的增加而逐漸增加，隨著水頭的增加而減少。

根據(jù)式(11)尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點Cij的動水壓力，可得到尾水管渦作用下的Jij單元另外3個節(jié)點C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)的動水壓力，分別表示為

(12)

(13)

(14)

將式(2)、(11)至(14)分別代入式(1)中，即可得到t時刻尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片Jij單元中任意位置(r,θ,z)動水壓力，并依據(jù)式(3)，可以表示為

(15)

式中：Bij、B(i+1)j、B(i+1)(j+1)和Bi(j+1)分別為尾水管渦作用下水輪機轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)和Ci(j+1)的動水壓力幅值，且

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(15)可知，尾水管作用下轉(zhuǎn)輪葉片的瞬時動水壓力是一個時間和空間的函數(shù)，不僅自身的位置參數(shù)有關，如：Z軸坐標、半徑等；也與水力參數(shù)有關，如：流量、水頭、轉(zhuǎn)速等；而且與水輪機結(jié)構(gòu)參數(shù)有關，如：泄水錐長度、尾水管入口截面半徑、轉(zhuǎn)輪出口過水斷面面積、葉片出口水流角等，反映了動水壓力與結(jié)構(gòu)參數(shù)和水力參數(shù)之間的關系，可以通過改變水力參數(shù)進行暫態(tài)過程分析，這也為進一步研究尾水管渦作用在水輪機轉(zhuǎn)輪葉片上的動力學特性提供理論依據(jù)。

3 實例分析

3.1 實例

根據(jù)目前的研究成果，尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力與運行工況相關。動水壓力頻率是轉(zhuǎn)頻和設計水頭的函數(shù)；部分負荷運行區(qū)，渦帶偏心嚴重，形成圓柱螺旋渦，壓力脈動幅值大；而在額定負荷附近時，渦帶不明顯甚至消失，壓力脈動很小[16]。本文選取Francis-99混流式水輪機轉(zhuǎn)輪葉片為研究對象，驗證數(shù)學模型的可行性，并對尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律進行研究。

根據(jù)準三元反設計的特點，采用5條徑向線與9條軸向線將葉片分成45個單元，其中第1條徑向線為上冠處，第5條徑向線為下環(huán)處，則長葉片上的各個節(jié)點如圖2所示。進水邊的節(jié)點為C00,C01,…,C04；出水邊的節(jié)點為C80,C81,…,C84。

圖2 試驗研究對象結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 A structural sketch of the runner blade

3.2 數(shù)學模型驗證

根據(jù)式(7)可知，尾水管渦初始于泄水錐的尾部，故以超過泄水錐深度的節(jié)點C71為研究對象。通過式(11)計算出節(jié)點C71的動水壓力，其動水壓力值時域仿真曲線與文獻[17]的試驗數(shù)據(jù)，如圖3所示。

由于測試的試驗數(shù)據(jù)中壓力不僅包含了尾水管渦作用下的壓力脈動，也包含了其他壓力脈動，所以部分數(shù)據(jù)誤差比較大，由圖3可知，節(jié)點C71處的平均誤差為2.84 %。最大誤差值為8.32 %，從數(shù)據(jù)對比中，可以證明公式(11)在計算節(jié)點動水壓力的有效性，進而說明了數(shù)學模型的可行性。

通過式(15)即可得到任意位置處的動水壓力，其中t=0.08 s時葉片任意位置的動水壓力如圖4所示。從圖4中可以看出，瞬時的動水壓力沿軸線方向逐漸減少，瞬時的動水壓力沿流線方向也逐漸減少。與文獻[17]的尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力CFD仿真圖相比較，瞬時時刻的最大誤差出現(xiàn)在葉片的出水邊近下環(huán)處，誤差為7.92 %。從數(shù)據(jù)對比中，可以證明公式(15)在計算任何位置動水壓力的有效性，這也證明數(shù)學模型的有效性。

圖3 節(jié)點C71的試驗值與仿真值Fig.3 Time domain simulation curves and the experimental data of node C71

圖4 尾水管渦作用下t=0.08 s時轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力分布圖Fig.4 Hydrodynamic pressure diagram of the runner blade at t=0.08 sunder the vortex rope in draft tube

3.3 動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律

為了研究尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片的動力學特性，對暫態(tài)過程中動水壓力變化規(guī)律進行研究。通過改變水輪機運行工況，研究水力參數(shù)對尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點C71的動水壓力幅值的影響。

圖5為額定轉(zhuǎn)速和額定水頭時，不同流量下尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線，從圖5中可以看出，當轉(zhuǎn)速和水頭不變時，隨著流量的增加，尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力幅值逐漸減小；當運行工況高于額定功率的90.1 %時，尾水管渦帶的半徑接近于零，轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力幅值也接近于零，此時可忽略動水壓力對轉(zhuǎn)輪葉片的影響。而在高負荷下，又重新出現(xiàn)圓柱形死水區(qū)，此時尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力幅值小于6 Pa，也可以忽略不計。

圖5 不同流量下尾水管渦作用下的節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線Fig.5 Simulation curve of the hydrodynamic pressure amplitude of node C71 for different discharge

圖6為額定轉(zhuǎn)速和額定流量時，不同水頭下尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片節(jié)點C71動水壓力幅值仿真曲線。從圖6中可以看出，當轉(zhuǎn)速和流量不變時，隨著水頭的增加，尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力逐漸增加。當運行工況低于額定功率的26.4 %時，死水區(qū)幾乎充滿整個尾水管，動水壓力幅值接近零，此時可忽略動水壓力對轉(zhuǎn)輪葉片的影響。結(jié)合圖5和圖6可知，尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力主要產(chǎn)生在額定功率的26.4 %～90.1 %的運行工況。

圖6 不同水頭下尾水管渦作用下的節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線Fig.6 Simulation curve of the hydrodynamic pressure amplitude of node C71 for different water heads

以上研究表明，應用本文所建立的尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力數(shù)學模型，對Francis-99混流式水輪機轉(zhuǎn)輪葉片進行實例分析，驗證了數(shù)學模型的可行性，并研究了尾水管渦作用下的水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律。

4 結(jié)論

根據(jù)水輪機轉(zhuǎn)輪葉片準三元反設計的特點，應用有限單元法建立了尾水管渦作用下的水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力數(shù)學模型，揭示了尾水管渦作用下水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律，研究表明：

① 在暫態(tài)過程變化中，尾水管渦作用下的轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力主要產(chǎn)生在額定功率26.4 %～90.1 %的運行工況；當運行工況低于額定功率的26.4 %時，死水區(qū)幾乎充滿整個尾水管，動水壓力幅值接近于零；當運行工況高于額定功率的90.1 %時，尾水管渦帶的半徑接近于零，動水壓力幅值小于6 Pa。

② 尾水管渦初始于泄水錐的尾部，尾水管渦作用下轉(zhuǎn)輪葉片動水壓力自上冠處到下環(huán)處逐漸增大，且動水壓力最大值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)輪葉片下環(huán)處靠近出水邊的位置。

③ 通過改變數(shù)學模型中的轉(zhuǎn)輪葉片位置參數(shù)以及水頭、流量等水力參數(shù)，揭示了轉(zhuǎn)輪葉片復雜的動水壓力進行暫態(tài)過程變化機理，為進一步研究尾水管渦作用下水輪機轉(zhuǎn)輪葉片的動力學特性提供理論依據(jù)。