田 青

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 陜西 西安 710100)

一、引言

(一)研究背景

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，每天都會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，如何有效地從中挖掘出有用的信息越來越受到人們的關(guān)注，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理技術(shù)已經(jīng)無法滿足實(shí)際需要。因此，研究新的數(shù)據(jù)信號(hào)處理技術(shù)十分必要，很多學(xué)者也十分重視這個(gè)問題的研究。傳統(tǒng)的奈奎斯特(Nyquist)采樣定律要求采樣頻率必須大于原始信號(hào)最高頻率的2倍，這樣才能盡可能多的保留原始信號(hào)的信息，才能更高質(zhì)量、高精確的進(jìn)行信號(hào)無失真?zhèn)鬏?。而現(xiàn)代龐大數(shù)據(jù)量的信號(hào)，運(yùn)用奈奎斯特定律進(jìn)行采樣，將需要更大的存儲(chǔ)和傳輸代價(jià)。隨后Donoho[1]、Candes[2]等人提出了一種新型的信號(hào)處理技術(shù)——壓縮感知(CS)。壓縮感知技術(shù)不僅大幅地縮短了信號(hào)的處理時(shí)間，而且也大大降低了傳輸和存儲(chǔ)的成本。壓縮感知技術(shù)很好地解決了奈奎斯特采樣定律的限制問題，且效率更高。因此，壓縮感知在各領(lǐng)域都有很廣泛的應(yīng)用。由于貪婪算法相對(duì)較快，受到學(xué)者們廣泛關(guān)注,本文將用貪婪算法中的OMP(正交匹配追蹤)算法對(duì)人口出生率的影響因素進(jìn)行研究。

自21世紀(jì)以來，隨著計(jì)劃生育工作的開展，中國進(jìn)入了低生育率水平。目前，我國人口結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變，勞動(dòng)人口大幅減少，人口老齡化問題日益嚴(yán)重，這很不利于一個(gè)國家的可持續(xù)發(fā)展。在此情況下，我國逐步放開了計(jì)劃生育政策，并在2015年全面放開了二孩生育限制。然而，根據(jù)目前的結(jié)果來看，放開的計(jì)劃生育政策并沒有達(dá)到預(yù)想的結(jié)果。由此可知，目前我國的低生育水平受很多因素影響，因此，研究人口出生率的影響因素至關(guān)重要。

(二)研究現(xiàn)狀

CS理論在信號(hào)處理等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

目前，CS理論的發(fā)展主要涉及三個(gè)核心問題：稀疏表示、編碼測(cè)量和信號(hào)重構(gòu)，其中重構(gòu)算法是決定信號(hào)是否可以準(zhǔn)確重構(gòu)的關(guān)鍵步驟，因?yàn)橹貥?gòu)算法決定了被恢復(fù)的信號(hào)在各項(xiàng)方面是否能滿足要求。CS重構(gòu)算法的經(jīng)典算法之一是基追蹤算法(Basis pursuit,BP)[3],它將l0極小化問題松弛為l1極小化問題，將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。貪婪算法也是重構(gòu)算法一個(gè)很好的選擇，其中最優(yōu)秀的一類算法是匹配追蹤(Matching pursuit)類算法，它是根據(jù)匹配追蹤(Matching pursuit,MP)算法延伸而來的[4]，之后又有許多研究人員對(duì)其進(jìn)行了更深的研究和改進(jìn)，提出了正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)算法[5]。學(xué)者們將CS應(yīng)用于人臉識(shí)別、語音識(shí)別、雷達(dá)定位、遙感成像等諸多領(lǐng)域，對(duì)其展開了廣泛的研究并取得了許多成果。

人口問題與經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切相關(guān)，是我國現(xiàn)階段面臨的重大問題之一。Friedlander和Silver(1967)[6]通過研究發(fā)現(xiàn)，每個(gè)國家在不同的發(fā)展階段，人口出生率與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)變量具有不同的關(guān)系。彭浩然(2014)[7]認(rèn)為，中國目前低出生率的轉(zhuǎn)變使得中國人口老齡化問題日益顯現(xiàn)。袁小平(2014)[8]等運(yùn)用人口年齡結(jié)構(gòu)系數(shù)及其對(duì)人口出生率變動(dòng)影響的貢獻(xiàn)率指標(biāo)證實(shí)人口年齡結(jié)構(gòu)對(duì)出生率有顯著影響。向超(2016)[9]應(yīng)用逐步回歸方法建立回歸模型，結(jié)果表明負(fù)擔(dān)少年系數(shù)、政府財(cái)政在教育醫(yī)療和社會(huì)保障方面的支出對(duì)人口出生率產(chǎn)生了顯著的影響。張煒和朱家明(2017)[10]采用ARIMA和二次指數(shù)平滑法對(duì)人口進(jìn)行組合預(yù)測(cè)。華瑞和李雙亮(2018)[11]采用逐步回歸法和廣義差分法對(duì)模型的多重共線性和序列相關(guān)性進(jìn)行修正，得出少兒撫養(yǎng)比與老年撫養(yǎng)比是影響人口出生率的主要因素。劉麗萍(2018)[12]采用Lasso回歸法探討影響人口出生率的因素，結(jié)果研究表明，國內(nèi)生產(chǎn)總值、人均薪酬、少年兒童撫養(yǎng)比對(duì)人口出生率有明顯的正向影響。

除了這些已知的影響因素外，還有哪些因素影響著人口出生率呢？本文選取了20個(gè)影響因素，采用OMP算法，從多個(gè)方面來研究影響人口出生率的影響因素。

二、OMP算法的相關(guān)理論

(一)壓縮感知理論模型

假設(shè)有一個(gè)有限長(zhǎng)的一維離散時(shí)間原始信號(hào)向量x∈RN，可以看作是一個(gè)N×1維的列向量，其本身就是稀疏的，非零元素的個(gè)數(shù)為K，即稀疏度為K(K?N)，測(cè)量信號(hào)向量y∈RM的長(zhǎng)度為M，Φ∈RM×N是(M×N(M?N))維的測(cè)量矩陣。測(cè)量信號(hào)向量y等于原始信號(hào)向量x乘以測(cè)量矩陣Φ，表達(dá)公式為：

y=Φx

(2.1)

壓縮感知的信號(hào)重建就是用已知的測(cè)量信號(hào)向量y和測(cè)量矩陣Φ來進(jìn)行信號(hào)重建的過程，由式(2.1)可知，用M個(gè)方程可以解出N個(gè)未知數(shù)，因此我們可以通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題來重建信號(hào)。當(dāng)滿足式(2.2)時(shí)，可以利用測(cè)量信號(hào)向量y和測(cè)量矩陣Φ很大概率上實(shí)現(xiàn)信號(hào)重建[13]。

M≥cKlog(N/K)?N

(2.2)

其中，c是一個(gè)極小值。

如果原始信號(hào)x∈RN不是稀疏的，但可以通過稀疏基變換將其轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)域的稀疏信號(hào)，此時(shí)可以稱x在稀疏基域是稀疏的，即x通過由N個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)成的M×N維稀疏基矩陣Ψ變換到Ψ域，此時(shí)x可以表示為：

x=Ψs

(2.3)

此時(shí)s是x在Ψ域的表示向量，是一個(gè)長(zhǎng)度為N的列向量，如果這里s是稀疏的，即非零元素的個(gè)數(shù)為K且K?N，則可以說x是一個(gè)在Ψ域上的K-稀疏信號(hào)。如今最常用的稀疏基主要有余弦變換基、小波變換基等。

則式(2.1)可以表示為：

y=Φx=ΦΨs=As

(2.4)

其中A=ΦΨ，是一個(gè)M×N維的矩陣，稱為恢復(fù)矩陣。這里要注意的是基矩陣可以是一個(gè)過完備字典也可以是一個(gè)原子庫[14]，也就是說它可以是一個(gè)M×N(Z≥N)維的矩陣，這樣只要非稀疏信號(hào)在過完備字典或原子庫里可以稀疏表示即可。

根據(jù)式(2.4)、(2.1)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)本不是稀疏的原始信號(hào)x，同樣也可以通過本就是稀疏信號(hào)的重建方法來進(jìn)行信號(hào)重建，即利用信號(hào)的重建算法重建出s，再用式(2.3)得到信號(hào)x。

(二)OMP算法的基本思想

OMP算法是基于貪婪算法的思想通過每次迭代選擇一個(gè)局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號(hào)，基于MP算法的原子選擇準(zhǔn)則來更新原子的支撐集，通過對(duì)原子集合正交化來保證迭代的最優(yōu)性，進(jìn)而減少到達(dá)收斂的迭代次數(shù)[44]。MP算法是最早的一種貪婪迭代算法，但由于每次迭代的結(jié)果可能不是最優(yōu)的，而是次最優(yōu)的。因此需要經(jīng)過多次的迭代才能獲得最優(yōu)的收斂結(jié)果。而OMP算法可以有效地解決這個(gè)問題，它沿用了MP算法中的原子選擇準(zhǔn)則，在重建時(shí)每次迭代可以得到支撐集的一個(gè)原子，通過遞歸對(duì)已選擇的原子集合進(jìn)行正交化來保證迭代的最優(yōu)性，從而加快的收斂的速度并減少了迭代的次數(shù)。

OMP算法的基本思想是：以貪婪迭代的方法來確定傳感矩陣的列，保證在之后每次選取的列和現(xiàn)階段的冗余向量盡可能的接近，將采樣向量中的多余部分去除。在每次迭代時(shí)，計(jì)算當(dāng)前殘差與觀測(cè)矩陣的內(nèi)積，選取關(guān)聯(lián)度最大的一個(gè)原子，再加入索引集，更新殘差并判斷迭代次數(shù)。不斷重復(fù)上述過程，通過多次迭代保證該過程一直持續(xù)到迭代次數(shù)和稀疏度相同時(shí)，則迭代才停止。

(三)OMP算法的基本步驟

OMP算法的基本步驟如下：

輸入：傳感矩陣Φ∈Rm×n，采樣向量y∈Rm，稀疏度s；

初始化：殘差r0=y，索引集Λ0=φ，迭代計(jì)數(shù)t=1；

Step1：找到殘差r和傳感矩陣的列φj內(nèi)積中的最大值所對(duì)應(yīng)的腳標(biāo)λ，即λt=argmaxj=1,…,N||；

Step2：更新支撐集Λt=Λt-1∪{λt}，記錄找到的傳感矩陣中的重建原子集合Φt=[Φt-1,φλt]；

Step5：若t

OMP算法的精確度雖不及BP算法，但它迭代次數(shù)少，運(yùn)算復(fù)雜度低，是使用比較廣泛的一種重建算法，此算法需要在稀疏度已知的情況下使用。

三、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)來源及指標(biāo)選擇

本文使用的全國2007-2017年關(guān)于人口出生率影響因素的數(shù)據(jù)來源于中國統(tǒng)計(jì)年鑒。

人口出生率(Y)指一年內(nèi)平均每一千人中出生的人數(shù)所占的比例。

出生率=(年出生人數(shù)/年平均人數(shù))×1000%

選取人口死亡率(X1)、自然增長(zhǎng)率(X2)、人口年齡結(jié)構(gòu)0-14歲(X3)、人口年齡結(jié)構(gòu)15-64歲(X4)、人口年齡結(jié)構(gòu)65歲及以上(X5)、少兒撫養(yǎng)比(X6)、老年撫養(yǎng)比(X7)、嬰兒死亡率(X8)、國內(nèi)生產(chǎn)總值(X9)、居民消費(fèi)水平(X10)、離婚率(X11)、人均薪酬(X12)、居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(X13)、人均可支配收入(X14)、人均消費(fèi)支出(X15)、孕產(chǎn)婦死亡率(X16)、社會(huì)固定資產(chǎn)在教育上的投資(X17)、商品房平均銷售價(jià)格(X18)、性別比(X19)、城鎮(zhèn)登記失業(yè)率(X20)。這20個(gè)涵蓋經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、人口素質(zhì)以及人口結(jié)構(gòu)等方面的指標(biāo)，以2007-2016年的數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，再利用2017年的數(shù)據(jù)為測(cè)試集來驗(yàn)證模型的精確度，以此來分析對(duì)人口出生率影響最大的是哪幾個(gè)因素。

(二)模型的建立

首先對(duì)數(shù)據(jù)做預(yù)處理，對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和歸一化，去除量綱對(duì)回歸方程所帶來的影響。再用MATLAB軟件分別在稀疏度s為3，4和5時(shí)建立回歸模型。

表1 不同稀疏度下的回歸方程

根據(jù)MATLAB軟件計(jì)算出的在不同稀疏度下所生成的回歸方程及其對(duì)應(yīng)的殘差(如表1所示)，我們可以用2017年的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證。

表2 OMP算法中稀疏度的選擇

由表2可知，稀疏度s=5時(shí)殘差最小，預(yù)測(cè)誤差最小，預(yù)測(cè)值最接近實(shí)際值。因此OMP算法所建立的模型為：

y=-0.3690x1-6.1012x6+0.4664x11+2.6525x12-2.2258x13

其方程系數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖形如圖1所示。

圖1 模型系數(shù)圖

從OMP算法的回歸模型的估計(jì)結(jié)果可知，解釋變量人口死亡率(X1)、少兒撫養(yǎng)比(X6)、離婚率(X11)、人均薪酬(X12)和居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(X13)是影響人口出生率的幾個(gè)主要因素。其中人口死亡率、少兒撫養(yǎng)比和居民消費(fèi)指數(shù)都是負(fù)向影響。X6、X12和X13對(duì)人口出生率的影響最明顯。

四、結(jié)論

在我國，由于人口多、經(jīng)濟(jì)發(fā)展不平衡，現(xiàn)階段人口老齡化情況日益嚴(yán)峻，人口出生率問題與經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切相關(guān)。本文選取了20個(gè)影響人口出生率的影響因素，采用OMP算法提取了其中影響最大的五個(gè)因素。研究結(jié)果表明，人口死亡率、少兒撫養(yǎng)比、離婚率、人均薪酬和居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是影響人口出生率最重要的幾個(gè)因素，其中少兒撫養(yǎng)比、人均薪酬和居民消費(fèi)指數(shù)對(duì)人口出生率的影響最為明顯。