于耀

（北京市中關(guān)村中學(xué)，北京 100086）

1.引言

1.1 研究背景及意義

高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)起源于西方，它本是挪威用來處罰犯人的一種酷刑，后來演變?yōu)橐环N極限運(yùn)動(dòng)并在1924 年第一屆冬奧會(huì)中被列為正式比賽項(xiàng)目。根據(jù)國際跳雪聯(lián)合會(huì)規(guī)定，其在冬季奧運(yùn)會(huì)和世界跳雪錦標(biāo)賽的跳雪比賽中共設(shè)有70m 級(jí)臺(tái)和90m 級(jí)臺(tái)兩個(gè)級(jí)別，并在1971 年國際跳雪聯(lián)合會(huì)的決定中制定了每兩年舉行一次世界跳臺(tái)跳雪錦標(biāo)賽的賽制。高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)則是運(yùn)動(dòng)員腳穿特制的跳雪板，在不借助任何外力的情況下從起滑臺(tái)起跳，在助滑道上獲得高速，身體隨之迅速前傾與跳雪板形成銳角角度，其后運(yùn)動(dòng)員沿著拋物線在空中飛行直到著陸坡著陸，然后繼續(xù)滑行至競賽停止區(qū)。本項(xiàng)運(yùn)動(dòng)由于跳臺(tái)助滑道及起跳端的角度等不同，加上溫度、風(fēng)向、風(fēng)力及雪質(zhì)等自然條件的差異而導(dǎo)致跳雪的性能也隨之變化。因此，一直以來跳雪比賽只有最好的成績而沒有過世界紀(jì)錄，因中國的跳臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)發(fā)展較慢、水平偏低，雖然從2003年開始我國跳臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)員通過獲得的贊助常年在奧地利訓(xùn)練，水平有了一些提高，但相比世界高水平運(yùn)動(dòng)員還有很大的差距。為了讓我國的跳雪運(yùn)動(dòng)員在2020 年冬奧會(huì)取得更好的成績，本文以《高臺(tái)跳雪最佳起跳角度理論分析與數(shù)值計(jì)算研究》為題探究了跳雪運(yùn)動(dòng)中所蘊(yùn)涵的科學(xué)原理，希望能為我國高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)做出小小的貢獻(xiàn)。

高臺(tái)跳雪若將運(yùn)動(dòng)員起跳后當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來處理，那么其運(yùn)動(dòng)過程將是物理中典型的斜拋運(yùn)動(dòng)模型。有關(guān)拋體運(yùn)動(dòng)的研究可以追溯到牛頓時(shí)代，在牛頓的經(jīng)典之作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中》首次闡明物體受力與運(yùn)動(dòng)之間的緊密關(guān)系，即牛頓第二定律。當(dāng)物體初速度方向與加速度的方向不在一條直線時(shí)，那么物體在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡將是曲線。高臺(tái)跳雪起跳后的運(yùn)動(dòng)員僅受到重力作用，起跳角度與重力方向有一不為零的夾角，因而起跳后的運(yùn)動(dòng)員在重力的作用下將作斜拋運(yùn)動(dòng)，高臺(tái)跳雪的運(yùn)動(dòng)過程可以抽象為一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。

本文通過求解跳雪運(yùn)動(dòng)員起跳角度與其落點(diǎn)距離之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，利用數(shù)學(xué)三角變換最終求取最佳理論起跳角度。并在計(jì)算機(jī)中，輸入所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得到一些列數(shù)值計(jì)算結(jié)果，從而驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

有關(guān)高臺(tái)跳雪以及拋體運(yùn)動(dòng)的研究已有大量文獻(xiàn)報(bào)道。沈衛(wèi)對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)的分解方法進(jìn)行了創(chuàng)新性研究[1]，將原本的正交坐標(biāo)系變換為斜交坐標(biāo)系，從而使得在利用斜交坐標(biāo)系解決特殊的斜拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)得到相應(yīng)簡化。鄭智健對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)在空氣阻力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了研究[2]，指出在物體質(zhì)量較小時(shí)，空氣阻力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響非常顯著，通過建立物體在空氣阻力作用下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求解了物體受空氣阻力影響下的運(yùn)動(dòng)軌跡，并以鉛球運(yùn)動(dòng)為基本背景，研究了空氣阻力對(duì)鉛球的影響，從而為鉛球運(yùn)動(dòng)員獲得更好的成績提供了理論參考。徐然對(duì)足球運(yùn)動(dòng)中所涉及的拋體運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行了探究[3]，將拋體運(yùn)動(dòng)的分析方法應(yīng)用到對(duì)足球運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算中，通過分析足球受力與其運(yùn)動(dòng)軌跡之間的關(guān)系，得出了能夠提高足球運(yùn)動(dòng)成績的科學(xué)方法。劉尚昊對(duì)拋出點(diǎn)具有一定高度的斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了細(xì)致分析與研究[4]，指出當(dāng)拋出點(diǎn)具有一定高度時(shí)，拋射體獲得最大射程的條件不再是拋射角為45°，而是略小于該角度值。文章計(jì)算了拋出點(diǎn)具有一定高度的拋射體的運(yùn)動(dòng)方程，從而得到具有一定起拋高度的拋射體的拋射距離與拋射角度之間的函數(shù)關(guān)系，并通過實(shí)驗(yàn)對(duì)隨機(jī)的拋射角進(jìn)行了檢驗(yàn)，研究結(jié)果對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)具有很好的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。李雨青對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)中的拋射角度與距離之間的關(guān)系進(jìn)行了研究[5]，結(jié)果表明物體的拋射距離與拋射初速度以及拋射角度均有關(guān)，且存在某一最佳角度是得拋射距離最遠(yuǎn)。

與上述文獻(xiàn)不同的是，高臺(tái)跳雪所涉及的斜拋運(yùn)動(dòng)并非在水平面完成，本文通過建立簡單的物理模型對(duì)跳雪運(yùn)動(dòng)員在雪坡上的起跳角度進(jìn)行了研究，將高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)過程抽象為斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)過程，并建立斜拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得出了起跳角度與雪坡上運(yùn)動(dòng)距離的函數(shù)關(guān)系，并求得最佳理論起跳角度。

2.最佳理論起跳角度計(jì)算

2.1 物理模型的建立

高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)員從高處滑下并起跳的過程可以簡化為一拋體運(yùn)動(dòng)，考慮到跳雪運(yùn)動(dòng)場地具有一定的坡度，因而可把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程看作斜面上的斜拋運(yùn)動(dòng)，如圖1 所示。運(yùn)動(dòng)員在O 點(diǎn)起跳后在空中僅受重力的作用，因而在重力作用下，運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡將是一條拋物線。

圖1 高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)物理模型示意圖

在圖1 中建立沿雪坡方向的x 軸以及過起跳點(diǎn)垂直于雪坡方向的y 軸坐標(biāo)系，由斜拋運(yùn)動(dòng)的基本方程可知：運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)可以分解為沿雪坡方向以及垂直于雪坡方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成。其中，重力沿雪坡方向的分力為mgsinθ，垂直于雪坡方向的分力為mgcosθ。故而，運(yùn)動(dòng)員在沿雪坡方向上將以v0cosα 的初速度，gsinθ 的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)員在垂直于雪坡方向上將以v0sinα 的初速度，gcosθ 的加速度做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡是上述兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合成，為拋物線。可得如下運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

其中：x，y 分別表示運(yùn)動(dòng)員沿雪坡方向和垂直于雪坡方向的位移。v0表示運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的初速度，α 表示運(yùn)動(dòng)員起跳方向與雪坡的夾角，θ 表示雪坡的實(shí)際坡度，t為運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?？梢?，運(yùn)動(dòng)員在兩個(gè)方向上的位移均為關(guān)于起跳角度的函數(shù)。令式(2)中y=0，可得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t 如下：

由于運(yùn)動(dòng)員在沿雪坡方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，將式(3)帶入式(1)中，可得運(yùn)動(dòng)員在雪坡方向上的落點(diǎn)與起跳點(diǎn)之間的距離為：

對(duì)式(3)利用三角函數(shù)倍角公式進(jìn)行化解，可得：

其中：x 表示運(yùn)動(dòng)員落點(diǎn)與起跳點(diǎn)之間的距離。v0表示運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的初速度，α 表示運(yùn)動(dòng)員起跳方向與雪坡的夾角，θ 表示雪坡的坡度。

2.2 最佳起跳角度理論計(jì)算

由式(5)可知，運(yùn)動(dòng)員在跳雪運(yùn)動(dòng)中的跳躍距離與其起跳時(shí)初速度的平方成正比，因此起跳初速度越大，在跳雪比賽中運(yùn)動(dòng)員將會(huì)獲得更遠(yuǎn)的跳躍距離。此外，在起跳初速度和雪坡坡度一定時(shí)，運(yùn)動(dòng)員跳躍距離還是起跳角度的函數(shù)。當(dāng)2α-θ=π/2 時(shí)，上述函數(shù)可取得最大值：

上式表明，當(dāng)起跳初速度一定時(shí)，通過合理選擇起跳角度可獲得最佳跳躍距離。當(dāng)起跳初速度為v0，雪坡實(shí)際坡度為θ 時(shí)，運(yùn)動(dòng)員可以通過控制自身起跳角度為式(7)，便可獲得該起跳初速度下的最佳跳躍距離。

3.最佳起跳角度計(jì)算機(jī)模擬

為驗(yàn)證本文第二節(jié)最佳起跳角度理論計(jì)算結(jié)果的合理性，本節(jié)對(duì)跳雪運(yùn)動(dòng)建立了簡單的計(jì)算機(jī)仿真模型，同樣采用將跳雪運(yùn)動(dòng)簡化為不受空氣阻力的拋體運(yùn)動(dòng)過程，并列寫式(1)、(2)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，通過Matlab 軟件編程計(jì)算起跳角度為0°～90°范圍內(nèi)的跳躍距離，并從中求取極值和該極值所對(duì)應(yīng)的跳躍角度，與本文第二節(jié)式(6-7)理論計(jì)算所得的最佳跳躍距離和跳躍角度對(duì)比，以本文驗(yàn)證理論計(jì)算的合理性，為運(yùn)動(dòng)員提供可信的理論指導(dǎo)。

3.1 計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的基本概念

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬是依靠電子計(jì)算機(jī)結(jié)合有限元或有限容積的概念，通過數(shù)值計(jì)算和圖像顯示的方法，達(dá)到對(duì)工程問題和物理問題乃至自然界各類問題研究的目的。它誕生于1953 年Bruce G.H 和PeacemanD.W 模擬的一維氣相不穩(wěn)定徑向和線形流，歷經(jīng)了50 年代的交替隱式解法(ADI)、60 年代數(shù)值解法、70 年代正交加速的近似分解法、80 年代的嵌套因式分解法以及90 年代的粗化技術(shù)，到了21 世紀(jì)數(shù)值模擬技術(shù)發(fā)展主要體現(xiàn)在兩方面，即一體化模擬技術(shù)和定量進(jìn)行屬性不確定性分析對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，如今計(jì)算機(jī)模擬已成為工業(yè)設(shè)計(jì)、科學(xué)研究的有力工具。本文所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程同樣可在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值模擬，從而得到與實(shí)際情況相似的結(jié)果，指導(dǎo)高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)健兒取得更好的成績。

3.2 高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)最佳起跳角度模擬

本文將高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)簡化為不受空氣阻力作用下斜面上的斜拋運(yùn)動(dòng)，同樣建立沿斜面方向和垂直于斜面方向的坐標(biāo)系，通過式(1)、(2)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系同樣可得式(5)跳躍距離與起跳角度的函數(shù)關(guān)系。設(shè)置如下初始條件：

（1）運(yùn)動(dòng)員起跳初速度為30m/s；

（2）雪坡傾斜角度為30°；

（3）重力加速度取9.8m/s2；

（4）初始跳躍角度為0°，以0.1°為步長增至90°。

在Matlab 軟件中輸入相應(yīng)指令，根據(jù)上述初始條件對(duì)0°～90°范圍內(nèi)的跳躍角度所對(duì)應(yīng)的跳躍距離進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖2。

圖2 高臺(tái)跳雪跳躍角度與距離數(shù)值模擬結(jié)果

由圖2 可知，隨著跳躍角度的增大，跳躍距離先增大后減小，在跳躍角度為60°時(shí)，跳躍距離取得極值183.7m。帶入式(6)、(7)可得，理論預(yù)測當(dāng)起跳角度為60°時(shí)將獲得最佳跳躍距離，從而驗(yàn)證了本文理論計(jì)算的合理性。

4.結(jié)論

本文以高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)為背景，將高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)抽象為物理學(xué)中的斜拋運(yùn)動(dòng)，通過求解斜拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到運(yùn)動(dòng)員起跳角度與跳躍距離之間的三角函數(shù)關(guān)系。對(duì)該函數(shù)進(jìn)行恒等變換后得到其極值條件，即最佳起跳角度。為驗(yàn)證所得理論結(jié)果的正確性，本文借助Matlab 在計(jì)算機(jī)上對(duì)高臺(tái)跳雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果符合理論預(yù)期。