胡亞紅 鄭紅波

摘 ?要： 離散數(shù)學內(nèi)容豐富、概念多、定理多、抽象性強，加上很多留學生的數(shù)學基礎(chǔ)比較薄弱、理解能力差，因此部分留學生學習興趣低、學習困難。為此，提出對留學生離散數(shù)學的教學進行改革。改革的主要內(nèi)容包括添加應(yīng)用性教學內(nèi)容、引入實踐環(huán)節(jié)、建設(shè)題庫和改革考核方式等。教學實踐表明，這些舉措有效地提高了留學生學習離散數(shù)學的興趣、減輕了學習難度，培養(yǎng)了學生應(yīng)用所學理論解決實際工程問題的能力。

關(guān)鍵詞： 離散數(shù)學; 實踐教學; 留學生; 學習興趣

中圖分類號：G642 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-8228（2020）03-73-04

Practical teaching of discrete mathematics for improving the learning

interest of international students

Hu Yahong， Zheng Hongbo

（College of Computer Science and Technology， Zhejiang University of Technology， Hangzhou， Zhejiang 310023， China）

Abstract： There are many concepts and theorems in discrete mathematics， and it is rather abstract. The mathematical foundation and understanding ability of many international students are not good enough， so some of them have low interest in learning discrete math. In order to solve this problem， the teaching reform of discrete mathematics for foreign students is proposed. The main contents of the reform include adding practical teaching contents， introducing practical links， building question bank and introducing new assessment methods， etc. Teaching practice shows that the proposed method can improve the interest of foreign students in learning discrete mathematics and reduce their difficulty of learning effectively. At the same time， the students' ability to solve practical engineering problems using theories is cultivated.

Key words： discrete mathematics; practical teaching; international student; learning interest

0 引言

離散數(shù)學是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，在計算機理論研究及軟、硬件開發(fā)的各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。作為一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，離散數(shù)學所提供的訓練有益于學生抽象概括能力、邏輯思維能力、歸納構(gòu)造能力和創(chuàng)新能力的提高以及學生嚴謹、完整、規(guī)范的科學態(tài)度的培養(yǎng)。因此對于計算機大類的學生來說，學習離散數(shù)學具有極其重要的意義。

目前，我校招收的留學生數(shù)學基礎(chǔ)普遍比較薄弱、理解能力差，而離散數(shù)學課程內(nèi)容豐富，很多留學生反映這門課程定理多、概念多，而且抽象性極強。因此出現(xiàn)了部分學生學習困難、喪失學習興趣的問題。針對這種情況，筆者進行了留學生離散數(shù)學實踐教學改革，目標是從學生畢業(yè)要求出發(fā)，提高留學生學習離散數(shù)學的興趣、加深學生對所學知識的理解、提高學生使用離散數(shù)學知識解決實際工程問題的能力。

實踐教學改革主要包括應(yīng)用性教學內(nèi)容的添加、實踐環(huán)節(jié)的引入、題庫的建設(shè)和考核方式的改革等。下面逐一介紹各部分的工作。

1 應(yīng)用性教學內(nèi)容的添加

不少學生反映離散數(shù)學內(nèi)容抽象枯燥，根本原因是目前授課過于注重理論介紹，而缺少理論聯(lián)系實際的內(nèi)容。因此在教學改革實施過程中，從以下兩方面引入了應(yīng)用性教學內(nèi)容。

1.1 增加離散數(shù)學在社會各領(lǐng)域的應(yīng)用

留學生普遍好奇心強，對應(yīng)用型知識很感興趣，非常希望了解學習了離散數(shù)學到底有什么用處，因此將離散數(shù)學在社會各個領(lǐng)域的應(yīng)用介紹給他們，能夠大大增強他們的學習熱情。

案例：報警系統(tǒng)的設(shè)計

邏輯門電路是計算機硬件的基礎(chǔ)，邏輯電路設(shè)計對學生而言很有新鮮感。因此在介紹命題邏輯最基本的概念之后引入邏輯電路的設(shè)計，這樣的教學安排不但讓學生能夠了解所學知識的使用方法，還能及時復習前面的內(nèi)容。具體有以下步驟。

⑴ 引入報警系統(tǒng)的邏輯電路設(shè)計問題

需要設(shè)計一個報警系統(tǒng)， 其功能需求如下： 在三個不同的位置安裝有三個不同的控制面板。如果要啟用報警系統(tǒng)，要求至少兩個面板中的開關(guān)必須處于“打開”位置。如果少于兩個開關(guān)是處于“打開”位置，系統(tǒng)將被禁用。

⑵ 需求的表示

將自然語言給出的報警系統(tǒng)進行形式化的表達能培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。因此要求學生以表格的形式給出此系統(tǒng)的輸入和輸出，即給出三個開關(guān)的狀態(tài)和報警器狀態(tài)之間的關(guān)系。

⑶ 報警系統(tǒng)需求的二進制轉(zhuǎn)換

要求學生將上一步得到的需求用離散數(shù)學中的離散量表示，這樣很自然地將這一實際問題和離散數(shù)學聯(lián)系了起來?？梢杂?表示開關(guān)“打開”和報警器“啟用”狀態(tài)，0則表示開關(guān)“關(guān)閉”和報警器“禁用”狀態(tài)。

⑷ 基本邏輯門電路的引入

由于學生對于傳統(tǒng)的電路相對熟悉，并聯(lián)和串聯(lián)的概念很清楚，因此利用熟悉的概念去接受新的邏輯門電路也就相對容易。因此首先介紹傳統(tǒng)電路和邏輯與、或、非運算的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，引入與門、或門和非門三種基本的邏輯門就很容易被學生接受了。

⑸ 得到電路的輸入/輸出表

從易到難，先介紹當邏輯電路已知時，如何得到它的輸入/輸出表。引導學生自主分析出電路的輸入和輸出的關(guān)系，并逐一計算每種輸入對應(yīng)的輸出。再利用真值表的構(gòu)成方法，幫助學生順利畫出邏輯電路的輸入/輸出表。

⑹ 生成布爾表達式，完成邏輯電路設(shè)計

從反方向引導學生思考，有了邏輯電路可以得到其對應(yīng)的輸入/輸出表，那么如何根據(jù)電路的功能畫出輸入/輸出表，并設(shè)計出對應(yīng)的邏輯電路？這個問題就和案例開始時提出的問題相互呼應(yīng)。這時介紹如何根據(jù)輸入/輸出表計算電路對應(yīng)的布爾表達式，再由布爾表達式逐步畫出電路圖。

這樣一個循序漸進的過程中，邏輯電路設(shè)計被分解為一個個相關(guān)的小問題。每個小問題對應(yīng)著一個知識點，通過一個個小問題的解決，最終的報警系統(tǒng)電路設(shè)計也得以完成。學生在這個學習過程中，鞏固了前面所學的合式公式的演算，也明白了公式化簡的作用。學生們表示，這個應(yīng)用的介紹很有趣，使他們明白了離散數(shù)學確實能解決實際問題，而不光是紙上談兵，因而學習熱情也提高了不少。

1.2 引入與離散數(shù)學相關(guān)的最新科研成果的介紹

離散數(shù)學是專業(yè)基礎(chǔ)課，和它相關(guān)的科研成果曾出不窮。在教學實踐中，筆者選擇了一些較新穎有趣并且和課程內(nèi)容緊密相關(guān)的研究成果介紹給學生。通過介紹這些最新科研成果，讓學生了解到和離散數(shù)學相關(guān)的學科發(fā)展前沿，增強了其學習興趣，培養(yǎng)了探索與創(chuàng)新精神。以下給出幾個介紹給學生的研究案例。

⑴ 案例1：基于多色集合理論的醫(yī)院工作流建模研究[1]

現(xiàn)在病人看病花費的時間主要用于排隊等候和進行各種檢查的過程中，使用數(shù)學模型描述醫(yī)院的工作流對提高患者就醫(yī)體驗非常重要。文獻[1]使用多色集合理論及其擴展對醫(yī)院的工作流過程進行建模，并且結(jié)合Warshall算法對單個系統(tǒng)內(nèi)工作流過程的多色圖模型進行可達性驗證。對多色集合理論和對應(yīng)運算的介紹拓展了課內(nèi)知識，有助于提高學生的數(shù)學建模能力。

⑵ 案例2：基于一階邏輯的知識表示與自動提取[2]

近年來人工智能領(lǐng)域取得了很多新的研究成果，一階邏輯是人工智能的理論基礎(chǔ)。文獻[2]解決的是在線輔導系統(tǒng)存在的問題，包括初等數(shù)學知識表示和文本知識分類和獲取。介紹這篇論文，能夠打開學生的眼界，對他們認識和了解一階邏輯如何運用到科研實踐中起到了良好的作用。

⑶ 案例3：基于最小生成樹的遙感影像分割[3]

最小生成樹是圖論中重要的內(nèi)容，文獻[3]提出了一種基于最小生成樹的遙感影像分割算法。算法首先根據(jù)像素間的相似性測度構(gòu)建遙感影像的無向帶權(quán)圖，然后通過Prim算法生成遙感影像的最小生成樹用于刻畫影像的像素間相似性結(jié)構(gòu)，并建立最小生成樹的拓撲結(jié)構(gòu)和分割模型。介紹這個案例不但強化了學生對最小生成樹生成算法的理解，還幫助他們對遙感影像的處理產(chǎn)生一定的認知。

⑷ 案例4：基于圖論的社交網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點挖掘和推薦算法研究[4]

近年來社交網(wǎng)絡(luò)發(fā)展非常迅猛，學生很喜歡使用社交網(wǎng)絡(luò)與同伴進行交流和分享，因此介紹與社交網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的應(yīng)用很能引起共鳴。文獻[4]研究社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播中主節(jié)點的選擇和傳播信息的選擇問題，以更好地進行輿論引導與控制，同時更有效地為用戶提供信息服務(wù)。通過粗淺的介紹這項研究，學生對于如何使用圖論中的概念和方法解決社交網(wǎng)絡(luò)的問題產(chǎn)生了極大的興趣。

2 實踐環(huán)節(jié)的引入

以往的離散數(shù)學教學以理論教學為主，對算法的介紹也停留在偽代碼的層面上，造成一些學生對所學內(nèi)容理解不深的問題。因此筆者增加了幾個算法的實現(xiàn)環(huán)節(jié)，讓學生將典型的算法編程實現(xiàn)。這個過程不但讓學生加深了對離散數(shù)學知識的理解，還培養(yǎng)了他們的編程能力。

2.1 真值表的生成

給定一個合式公式，編程實現(xiàn)其對應(yīng)真值表的輸出。這個過程中，學生能夠掌握真值表表頭的獲取方法，還能夠在進行真值計算的過程中復習堆棧的設(shè)計和使用。

2.2 數(shù)組的運算

在介紹了數(shù)組的并、交、補運算后，筆者特別介紹了一種數(shù)組存儲的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即用一個0/1字符串，保存數(shù)組的各個元素。這個實踐要求學生用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和0/1字符串的形式完成數(shù)組的存儲，并實現(xiàn)數(shù)組的并、交、補等運算。同時要求學生對比兩種設(shè)計方式在存儲和運行效率上的差異。學生通過自主進行程序?qū)崿F(xiàn)和對實驗結(jié)果的分析，對算法分析的基本思想也有更好的了解。

2.3 哈夫曼樹生成算法

哈夫曼樹在實際中有很多應(yīng)用，是圖論中非常重要的內(nèi)容，需要學生掌握。在完成算法描述和運行結(jié)果的可視化展示后，要求學生自主完成算法的實現(xiàn)。在這一過程中，學生們對哈夫曼樹的生成方法加深了理解，也有效提高了編程能力。

3 題庫建設(shè)

在題庫建設(shè)中，著重做了以下幾方面的工作：①分析平時學生出錯較多的題目，找出題目對應(yīng)的知識點。針對這些學生學習薄弱的知識點，收集、設(shè)計題目。②題目分層次。因為留學生學習能力差異很大，因此對同一知識點，都根據(jù)難易程度來出一系列的題目，以供不同程度的學生使用。③每道題目配備詳細的解答和分析。因為題目是提供給學生課后自主練習的，因此詳細的題解能幫助學生找到自己解題過程中存在的問題，加深對知識點的理解。④自主設(shè)計綜合性應(yīng)用題目。比如筆者所在的學校風景優(yōu)美，那么設(shè)計一個上下課從宿舍出發(fā)又回到宿舍，且不走重復道路的問題就很能吸引學生的興趣。⑤集思廣益，鼓勵學生出題?，F(xiàn)在的學生知識面廣，接觸的東西多，對問題的理解常常超出教師的想象。學生出的題有不少內(nèi)容新穎、綜合型強。學生在出題的過程中，需要全面了解知識點。給出題目標準答案的過程也是學生自身提高的過程。通過參與出題，學生被動接受知識轉(zhuǎn)化為主動探索知識，學習興趣得到了極大提高。

4 考核方式的改革

傳統(tǒng)的離散數(shù)學考核方式包括作業(yè)評分和期末考試成績。為了能夠全方位地監(jiān)督和管理學生的學習過程，對考核方式進行了一定的改革，現(xiàn)包括：

新的考核方式更注重于學生學習過程的監(jiān)督，避免了學生到期末臨時抱佛腳。留學生為了得到理想的成績，積極參加課堂學習，及時復習，有不懂的問題會也及時和教師溝通。高質(zhì)量完成作業(yè)的人數(shù)比以往增加了不少。

為了發(fā)揮學生的積極性和創(chuàng)造性，課程報告只是指定了一個大的范圍，要求學生找出自己身邊的離散數(shù)學應(yīng)用，不限定具體的題目。學生在廣泛收集資料基礎(chǔ)上，完成報告的寫作，不少學生提交了高質(zhì)量的報告。例如使用歐拉圖的知識為快遞小哥規(guī)劃送貨路徑;利用哈密頓圖的知識安排會議代表的座位等等。報告的寫作，不僅培養(yǎng)了學生應(yīng)用理論解決實際問題的能力，也鍛煉了資料收集和論文寫作的能力，為日后科研素養(yǎng)的培養(yǎng)起到了積極的作用。

5 實踐教學改革實施效果

本實踐教學改革措施于2017/18學年第二學期和2018/19學年第二學期分別應(yīng)用于計算機留學生1701班和1801班的離散數(shù)學教學實踐中，取得了良好的效果。

⑴ 學生學習熱情增加

學生反映課程內(nèi)容充實、有趣，使他們變得更加嚴謹，邏輯思維能力有了一定的提高。學生學習熱情很高，經(jīng)常主動找教師進行問題的研討。

⑵ 總體學習成績提升

圖1給出了16級、17級和18級學生學期總評分數(shù)的比較。這三年的授課內(nèi)容一致，期末考試難度相當。16級和17級的平均成績都不及格，18級的達到了68.3分。16級和17級兩屆學生的不及格率相近，16級有1個學生成績優(yōu)秀，但總體成績偏低。17級學生總體水平高于16級學生，中等及良好學生比例相比16級有了較大幅度的提高。經(jīng)過二年的教學實踐，18級的教學效果有了顯著的提高，不及格率從16級的35.9%下降到13.3%。

⑶ 學生應(yīng)用理論解決實際問題的能力得到提高

離散數(shù)學學習的重要目的是培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和應(yīng)用理論解決實際問題的能力。通過教學改革的實施，學生們理論聯(lián)系實際的能力大大增強。在課程報告中，不少同學運用理論巧妙地解決了身邊的應(yīng)用問題。

6 結(jié)束語

為了提高留學生學習離散數(shù)學的興趣，減輕學習難度，本文開展了實踐教學改革。主要包括：在授課中增加與離散數(shù)學相關(guān)的科學研究的介紹、增加離散數(shù)學應(yīng)用的介紹、增設(shè)實踐環(huán)節(jié)。教學實踐表明，本教改方案的實施能夠提升學生的學習興趣和提高學習質(zhì)量。

下一步教學改革將從以下幾個方面展開。

⑴ 繼續(xù)制作更多更好的實踐案例，完成案例庫的建設(shè)。

⑵ 繼續(xù)跟蹤科研前沿，找到更多更好的與離散數(shù)學教學相關(guān)的研究成果介紹給學生。

⑶ 學生錯題本的實現(xiàn)。學生在完成題目的過程中難免犯錯，而從錯誤中發(fā)現(xiàn)學習的薄弱環(huán)節(jié)是提高學習效率的有效手段。擬實現(xiàn)錯題本，對學生每次作業(yè)或考試的錯題進行管理，同時分析這些錯題對應(yīng)的知識點，主動為學生推送這些知識點對應(yīng)的題目，幫助他們完成知識的內(nèi)化。

參考文獻（References）：

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