朱 煌,史金光,謝 飛,徐東輝

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京210094;2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司 研發(fā)中心設(shè)計(jì)二所,遼寧 沈陽(yáng)110045)

彈道修正彈成本低、命中精度高、附帶毀傷小,在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中具有至關(guān)重要的地位。精確制導(dǎo)組件(precision guidance kit,PGK)是美國(guó)陸軍最早提出的高旋二維彈道修正彈引信項(xiàng)目,通過(guò)在常規(guī)炮彈上加裝低成本GPS制導(dǎo)引信組件實(shí)現(xiàn)炮彈精度的提高[1]。近年來(lái),美國(guó)ATK公司研究的PGK為典型代表,通過(guò)控制固定鴨舵相對(duì)于彈體的滾轉(zhuǎn)角度,使操縱舵在大地坐標(biāo)系中的位置固定,由此產(chǎn)生相應(yīng)的修正力與力矩來(lái)實(shí)現(xiàn)彈道精確控制[2]。美國(guó)軍方提出的XM1156“精確制導(dǎo)組件(PGK)”二維彈道修正引信,預(yù)期的圓概率誤差達(dá)到50 m[3]。文獻(xiàn)[4-5]建立了該類彈丸角運(yùn)動(dòng)方程,研究了其飛行穩(wěn)定性及其在脈沖力作用下的運(yùn)動(dòng)特性。文獻(xiàn)[6-7]研究了彈丸在重力和控制力作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性、強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)特性等問(wèn)題。張嘉易等[8]研究了鴨舵修正機(jī)構(gòu)的氣動(dòng)特性,對(duì)幾種不同形狀、不同面積鴨舵的阻力、升力及各項(xiàng)力矩進(jìn)行了分析,并研究了不同形狀舵片在相同時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行彈道修正后的修正能力。袁備等[9]對(duì)不同舵偏角和受力面積下的鴨舵所受阻力、升力和導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩以及相關(guān)系數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。許諾等[10]基于周期平均的概念提出一種能連續(xù)地控制平均法向力的大小和方向的修正方法。吳映鋒等[11]研究了無(wú)控、有控時(shí)彈丸的攻角與速度運(yùn)動(dòng)特性。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上,建立了高旋二維彈道修正彈的角運(yùn)動(dòng)方程,推導(dǎo)了彈丸在起始擾動(dòng)作用下的攻角與速度偏角的變化關(guān)系,研究了彈丸在脈沖控制力和固定方位控制力長(zhǎng)時(shí)間作用的2種情況下的彈軸運(yùn)動(dòng)特性,進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析,驗(yàn)證了在控制力作用下的攻角、速度偏角規(guī)律,為控制策略與控制方案的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 PGK組件概述

PGK組件由互相垂直的2對(duì)舵面組成,1對(duì)旋轉(zhuǎn)舵片按照相同舵偏角差動(dòng)安裝,來(lái)流在2個(gè)舵面產(chǎn)生大小相等、方向相反的氣動(dòng)力,其合力為0,如圖2所示。產(chǎn)生的合力矩使彈軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)在舵面上生成相應(yīng)的滾轉(zhuǎn)阻尼力矩反對(duì)彈丸滾轉(zhuǎn),滾轉(zhuǎn)阻尼力矩隨著轉(zhuǎn)速增大而增大,當(dāng)2個(gè)力矩的和為0時(shí),轉(zhuǎn)速達(dá)到平衡。

圖1 鴨式布局雙旋彈結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 PGK組件舵面安裝情況

1對(duì)操縱舵片按同向偏轉(zhuǎn)固定角安裝,2片舵面上產(chǎn)生的升力方向相同,升力對(duì)彈丸質(zhì)心形成的力矩影響彈丸角運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生攻角,影響全彈的氣動(dòng)力,進(jìn)而改變彈丸的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2 高旋二維彈道修正彈的角運(yùn)動(dòng)模型

對(duì)于高旋二維彈道修正彈,由于PGK組件的質(zhì)量、體積相對(duì)于全彈來(lái)說(shuō)較小,故可以忽略其質(zhì)量和體積,不改變?nèi)珡椀馁|(zhì)量分布特性與軸對(duì)稱性,主要考慮組件增加的控制力和力矩。通過(guò)在無(wú)控彈角運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上增加控制組件提供的控制力和力矩來(lái)建立其角運(yùn)動(dòng)方程。

建立的攻角角運(yùn)動(dòng)方程為[12]

Δ″+(H-iωp)Δ′-(kz+iωpMT)Δ=G

(1)

速度偏角方程為[12]

(2)

方程(1)右端的G為非齊次項(xiàng),包含重力的影響、風(fēng)的影響、輕微不對(duì)稱因素的強(qiáng)迫作用、控制力和力矩的作用等。

在一段彈道上,認(rèn)為空氣動(dòng)力變化較小,近似看作常數(shù),攻角方程(1)和偏角方程(2)就可作為常系數(shù)微分方程,對(duì)其進(jìn)行求解。

3 高旋二維彈道修正彈的角運(yùn)動(dòng)特性

3.1 起始擾動(dòng)作用下彈丸的角運(yùn)動(dòng)特性

Δ″-iωpΔ′-kzΔ=0

(3)

其特征方程的特征根為

(4)

式中:

其中:φ′j=ωj,j=1,2,是對(duì)飛行弧長(zhǎng)而言的角頻率。

考慮靜力矩為翻轉(zhuǎn)力矩,彈丸滿足陀螺穩(wěn)定性時(shí),方程(3)的解為

Δ=C1eiφ′1s+C2eiφ′2s

(5)

(6)

或

(7)

式中:

ω1t=ω1v0,ω2t=ω2v0

(8)

(9)

式(7)表示彈軸繞速度線的攻角運(yùn)動(dòng)是由2個(gè)圓運(yùn)動(dòng)合成,2個(gè)圓的幅值相等,角頻率均為正,即2個(gè)圓運(yùn)動(dòng)方向相同,其合成運(yùn)動(dòng)的曲線為外擺線,如圖3所示。

圖3 起始擾動(dòng)時(shí)的攻角曲線

3.2 起始擾動(dòng)作用下的平均速度方向

方程(2)描述了速度方向圍繞理想質(zhì)點(diǎn)彈道速度方向的變化規(guī)律。當(dāng)存在攻角Δ=δ1+iδ2時(shí),由攻角產(chǎn)生的升力方向與復(fù)攻角矢量方向平行,大小為mbyv2|Δ|,速度方向根據(jù)升力的方向偏轉(zhuǎn),即滿足偏角方程(2),則

ψ′=ψ′1+iψ′2=byΔ

(10)

由于ψ′的方向是沿偏角ψ變化的切向,所以從幾何上講,ψ′平行于攻角曲線的割線。

(11)

(12)

圖向上時(shí)0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖向下時(shí)0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖向右時(shí)0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖向左時(shí)0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

3.3 控制力瞬時(shí)作用下的彈軸運(yùn)動(dòng)特性

彈丸受到瞬時(shí)控制力是指升力舵面短暫地鎖定停留在某一方位一段很短的時(shí)間Δt,形成此方向的升力和控制力矩,此后解鎖,舵面相對(duì)彈體自由旋轉(zhuǎn)而不提供確定方位的升力。此時(shí)可看作在普通力作用基礎(chǔ)上增加了瞬時(shí)控制力矩時(shí)的作用效果。

以下假定攻角較小,氣流始終與舵面垂直,升力與舵面垂直,大小不變。分析舵面產(chǎn)生向上和向下方向的控制力時(shí),對(duì)彈丸質(zhì)心產(chǎn)生控制力矩作用下的攻角和偏角變化規(guī)律。

圖8、圖9分別為產(chǎn)生向上、向下的控制力時(shí)的彈軸運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

對(duì)比圖8與圖4、圖9與圖5可見,二者的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相似,瞬時(shí)控制力所產(chǎn)生的平衡攻角、平均速度偏角的方向與瞬時(shí)控制力方向大致相反。

圖8 控制力向上,0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖9 控制力向下,0.5 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

3.4 控制力較長(zhǎng)時(shí)間作用下的彈軸運(yùn)動(dòng)特性

固定方位控制力指在小攻角條件下,舵面長(zhǎng)時(shí)間停留在某個(gè)方位而形成固定方向控制力和控制力矩,從而研究彈丸角運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期平均響應(yīng)。

此時(shí)彈丸受到平行于彈軸的氣流,由升力面固定舵偏角δD產(chǎn)生升力FD0,FD0就是控制力,方向沿舵面法線方向。

以彈軸坐標(biāo)系Oξηζ[12]的近似鉛直面Oξη為彈體滾轉(zhuǎn)角的零位置,設(shè)舵面法線方向相對(duì)于此零位置的滾轉(zhuǎn)角為φD,則升力FD0也在φD方向,它沿彈體坐標(biāo)系Oη和Oζ的分量為FDη和FDζ。設(shè)Oη為復(fù)數(shù)平面的實(shí)軸,Oζ為虛軸,故舵面升力的復(fù)數(shù)形式為

FD=FDη+iFDζ

(13)

設(shè)固定舵面壓力中心到彈丸質(zhì)心的距離為lG,則升力對(duì)彈丸質(zhì)心產(chǎn)生的力矩為

MD=MDη+iMDζ=iFDlG

(14)

彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

(15)

式中:ωη,ωζ分別為沿實(shí)軸和虛軸的轉(zhuǎn)速分量;MDη,MDζ為增加的控制力矩。將式(15)第1式乘以(-i),再與第2式相加,得到擺動(dòng)角Φ的復(fù)數(shù)方程,再與偏角方程相減,得到攻角方程:

Δ″+(H-iωp)Δ′-(kz+iωpMT)Δ=
[|FD|lG/(JAv2)]eiφD

(16)

將方程(16)的解代入偏角方程(2)中積分,可得到飛行速度方向的變化規(guī)律。

假設(shè)在一段彈道上,方程(16)中系數(shù)變化較小,近似看作常數(shù)處理,即方程(16)為線性常系數(shù)方程。

舵面方位角φD隨著控制策略不同而變化,假設(shè)它在一段彈道上為常數(shù),即固定舵停留在某一方位角φD不變,平行于彈軸的氣流產(chǎn)生大小不變的控制力矩|FD|lG,方程右端為常數(shù)項(xiàng),則方程解為

Δ=δ1+iδ2=C1e(λ1+iω1)s+C2e(λ2+iω2)s+ΔD

(17)

-(kz+iωpMT)Δ=[|FD|lG/(JAv2)]eiφD

其穩(wěn)態(tài)解為

(18)

式中:KD=|FD|lG/(JAv2)。

可見,在固定方位φD舵控力作用下,攻角經(jīng)過(guò)一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)后達(dá)到平衡值ΔD。

當(dāng)不考慮馬格努斯力矩項(xiàng)時(shí),即MT=0,則式(18)可寫成:

(19)

此時(shí)平衡攻角ΔD的方位與舵面法線方向φD相反,相差180°。

當(dāng)考慮馬格努斯力矩項(xiàng)時(shí),即MT≠0,式(18)可寫成:

(20)

式中:Δφ=-arctan(ωpMT/kz),由于馬格努斯力矩項(xiàng)引起的MT較小,Δφ為一小角度。

由式(20)可以看出,平衡攻角ΔD的方位在角度(φD+Δφ)的相反方向上,即在舵面法線方向φD相反的180°附近,相差一個(gè)小角度Δφ。

為了驗(yàn)證上述規(guī)律,以某大口徑二維彈道修正彈為例,利用六自由度剛體彈道方程,設(shè)置操縱舵舵偏角FD0=6°,舵面壓力中心到彈丸質(zhì)心的距離lG=500 mm,控制時(shí)間為3 s,分析3 s內(nèi)的彈軸運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖10、圖11分別給出了控制力向上、向下作用3 s內(nèi)的攻角、速度偏角曲線。

由圖10和圖11可知,在固定方位φD舵控力長(zhǎng)時(shí)間作用下,平衡攻角、平均速度偏角的方向與控制力方向近似成180°,相差一個(gè)小的角度Δφ。

圖12、圖13分別給出了全彈道上控制力向上、向下作用時(shí)的攻角、速度偏角曲線。

圖10 控制力向上,3 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖11 控制力向下,3 s內(nèi)的攻角曲線、偏角曲線

圖12 全彈道控制力向上時(shí)的攻角、偏角曲線

圖13 全彈道控制力向下時(shí)的攻角、偏角曲線

由圖12和圖13可知,在全彈道上固定方位舵控力作用下,彈丸的攻角運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由舵控力產(chǎn)生相反方向的攻角與重力產(chǎn)生向右的動(dòng)力平衡角合成的,平均速度偏角方向?yàn)樵摵铣晒ソ堑姆较?該速度方向?qū)⒂绊憦椀赖馁|(zhì)心運(yùn)動(dòng),實(shí)現(xiàn)彈道修正。

4 結(jié)論

②彈丸在瞬時(shí)控制力作用下,產(chǎn)生的平衡攻角、平均速度偏角的方向與瞬時(shí)控制力方向大致相反;

③彈丸在固定方位舵控力長(zhǎng)時(shí)間作用下,平衡攻角、平均速度偏角的方向與控制力方向近似成180°,相差一個(gè)小的角度Δφ;

④彈丸在全彈道上作用固定方位舵控力,彈丸的攻角運(yùn)動(dòng)是由舵控力產(chǎn)生相反方向的攻角與重力產(chǎn)生向右的動(dòng)力平衡角合成的,平均速度偏角方向?yàn)樵摵铣晒ソ堑姆较颉?/p>