閆 鵬，李金銀

(山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061)

1 引 言

近年來(lái)，具有自由曲面的光學(xué)元件及其他精密復(fù)雜器件在軍用、民用和空間探索等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。由于此類自由曲面元件特殊的表面結(jié)構(gòu)和其多自由度的特點(diǎn)，使用較少的元件即可實(shí)現(xiàn)更高的光學(xué)效率，從而使得系統(tǒng)具有成本低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、光學(xué)性能好、分辨率高等優(yōu)點(diǎn)。然而光學(xué)自由曲面作為一種典型的非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱曲面，具有不規(guī)則變化特征、沒(méi)有固定的回轉(zhuǎn)中心、形狀復(fù)雜且對(duì)加工精度的要求極高，傳統(tǒng)加工方法無(wú)法滿足此類零件的高效、高精密加工。在超精密加工技術(shù)中興起的快刀伺服技術(shù)(Fast Tool Servo，F(xiàn)TS)可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面的高精度和高表面質(zhì)量加工，具有高頻響、高定位精度的特點(diǎn)，成為加工復(fù)雜曲面元件的高效手段[3-5]。

快刀伺服系統(tǒng)一般采用壓電陶瓷[6-7]、音圈電機(jī)[8-9]、磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器[10]等作為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。與其他驅(qū)動(dòng)器相比，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器具有高剛度、大輸出力、高分辨率的特點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)快刀伺服系統(tǒng)的高頻響和高精度加工性能，因此壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的快刀伺服機(jī)構(gòu)得到廣泛關(guān)注。然而，壓電陶瓷的輸出行程一般只有其自身長(zhǎng)度的千分之一，傳統(tǒng)的壓電陶瓷型快刀伺服機(jī)構(gòu)具有較高的固有頻率，但其輸出行程較小。Kim等[11]基于柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)，采用堆疊式壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)了一種快刀伺服機(jī)構(gòu)，用于補(bǔ)償加工過(guò)程中的主軸運(yùn)動(dòng)誤差。該快刀伺服機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分辨率0.15 μm，其運(yùn)動(dòng)行程只有數(shù)微米。Zhu等[12]采用壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了一種超高固有頻率的快刀伺服機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和控制。得益于壓電陶瓷和柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)的使用，該機(jī)構(gòu)具有5.35 kHz的超高固有頻率，從而使得系統(tǒng)能夠具有更高的帶寬和頻響性能，然而該系統(tǒng)行程也僅有數(shù)微米。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的快刀伺服機(jī)構(gòu)行程小的缺點(diǎn)使得應(yīng)用該技術(shù)加工某些復(fù)雜曲面時(shí)面臨困難，限制了快刀伺服技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展。

為放大壓電陶瓷的輸出位移需要采用柔性放大機(jī)構(gòu)，包括杠桿機(jī)構(gòu)[13]、橋式機(jī)構(gòu)[14]、Scott-Russell 機(jī)構(gòu)[15]等。在這些柔性放大機(jī)構(gòu)中，杠桿機(jī)構(gòu)由于機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單、放大比穩(wěn)定等特點(diǎn)在快刀伺服機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。Wang等[16]基于杠桿放大原則設(shè)計(jì)了柔性放大機(jī)構(gòu)應(yīng)用于快刀伺服系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)快刀伺服機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)行程輸出。然而杠桿機(jī)構(gòu)的非對(duì)稱性會(huì)產(chǎn)生寄生位移，影響曲面加工精度。為了補(bǔ)償杠桿放大機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的寄生位移，Liu[17]設(shè)計(jì)了一種長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)單獨(dú)設(shè)置一組驅(qū)動(dòng)用以補(bǔ)償放大機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的寄生位移，然而該機(jī)構(gòu)增加的驅(qū)動(dòng)單元給機(jī)構(gòu)的控制帶來(lái)挑戰(zhàn)，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度。

為實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的快刀伺服機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)行程輸出性能并消除機(jī)構(gòu)的寄生位移，本文基于杠桿放大原則，設(shè)計(jì)和分析了一種壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)，并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。有限元仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)100 μm的長(zhǎng)行程位移輸出，同時(shí)消除了寄生位移，能夠保證良好的加工精度。

圖1 FTS加工原則Fig.1 Working principle of FTS

2 機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

快刀伺服整體加工系統(tǒng)如圖1所示，工件安裝在空氣主軸上，同時(shí)能夠在x方向移動(dòng)，快刀伺服機(jī)構(gòu)安裝在機(jī)床z軸的精密導(dǎo)軌上，金剛石刀具安裝在快刀伺服機(jī)構(gòu)上。在加工過(guò)程中，工件隨主軸一同做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，金剛石刀具在快刀伺服機(jī)構(gòu)的帶動(dòng)下，根據(jù)主軸旋轉(zhuǎn)信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)的直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從而去除工件表面材料，完成曲面加工。

本文設(shè)計(jì)的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)如圖2所示。柔性機(jī)構(gòu)具有無(wú)摩擦、無(wú)需裝配、結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)壓電陶瓷輸出位移的放大和傳遞。在眾多類型的柔性鉸鏈中，直圓型柔性鉸鏈與一般柔性鉸鏈相比，旋轉(zhuǎn)精度更高，因此在設(shè)計(jì)中采用了直圓型柔性鉸鏈。

圖2 FTS機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.2 Mechanical structure of designed FTS

圖3 本文采用的復(fù)合平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)Fig.3 Double parallelogram mechanism

在壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的快刀伺服機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，如何有效地抑制機(jī)構(gòu)寄生位移的產(chǎn)生是提高系統(tǒng)加工精度的關(guān)鍵。如圖3所示，平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但在輸出指定位移的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的寄生位移。因此在設(shè)計(jì)時(shí)采用了復(fù)合平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)，其對(duì)稱性結(jié)構(gòu)能消除寄生位移，增加機(jī)構(gòu)輸出端水平和垂直方向的剛度。

圖4 柔性放大機(jī)構(gòu)及其原理Fig.4 Flexure displacement amplifier and its schmatic diagram

為實(shí)現(xiàn)快刀伺服機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)行程輸出性能，需要采用柔性放大機(jī)構(gòu)來(lái)放大壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出位移。本文設(shè)計(jì)了一種對(duì)稱式的二級(jí)杠桿放大機(jī)構(gòu)，如圖4所示。壓電陶瓷輸出位移，通過(guò)柔性放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行放大，最終通過(guò)復(fù)合平行導(dǎo)向機(jī)構(gòu)在末端運(yùn)動(dòng)平臺(tái)輸出位移。一方面，二級(jí)杠桿放大機(jī)構(gòu)使得機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)放大功能的同時(shí)結(jié)構(gòu)更加緊湊，輸出端的放大杠桿也具有一定的導(dǎo)向作用，進(jìn)一步精簡(jiǎn)快刀伺服機(jī)構(gòu)的機(jī)械結(jié)構(gòu)。另一方面，整個(gè)放大機(jī)構(gòu)采用對(duì)稱式結(jié)構(gòu)，能夠在輸入端消除非工作方向的寄生位移，提高輸出精度。

3 理論建模和有限元仿真

3.1 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)偽剛體模型，本文設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)可以等效為彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，如圖5所示。其中，Ke和Kpzt為柔性機(jī)構(gòu)和壓電陶瓷的等效剛度，ce和cpzt是柔性機(jī)構(gòu)和壓電陶瓷的等效阻尼系數(shù)，M是機(jī)構(gòu)的等效質(zhì)量，F(xiàn)pzt是壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)力。

圖5 等效動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Equival dynamic model

本文設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)于機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中采用的直圓鉸鏈，只考慮其在平面內(nèi)的變形，基于柔度矩陣方法[18]，其輸出可簡(jiǎn)化為:

(1)

式中：Δxi和Δyi分別為直圓鉸鏈在平面內(nèi)沿x向和y向的形變，Δα為直圓鉸鏈繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。假設(shè)直圓鉸鏈理想旋轉(zhuǎn)，即忽略直圓鉸鏈彈性變形下的位移，只考慮直圓鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度，可得:

(2)

式中kR為直圓鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度。

用拉格朗日原理分析機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，此機(jī)構(gòu)的等效動(dòng)能為:

(3)

式中：nA=4，nB=2，分別代表輸出端和輸入端連桿的數(shù)量，x代表輸出端位移，ma,mb代表輸出端和輸入端平臺(tái)質(zhì)量，m1,m2代表次級(jí)放大和初級(jí)放大機(jī)構(gòu)處連桿的質(zhì)量，IA,IB分別代表輸出端和輸入端連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

(4)

(5)

其中mA，mB分別代表次級(jí)放大和初級(jí)放大杠桿的質(zhì)量，分別為：

mA=ρ(l2·b·(2R+t)-πR2b)，

(6)

mB=ρ((l4+3R+t/2)·b·(2R+t)-πR2b).

(7)

機(jī)構(gòu)的彈性勢(shì)能為：

(8)

式中：n1=10，n2=8，分別代表輸出端和輸入端直圓鉸鏈個(gè)數(shù)，θ1，θ2分別代表輸出端和輸入端鉸鏈的旋轉(zhuǎn)角度：

(9)

(10)

忽略等效動(dòng)力學(xué)模型中的阻尼影響，對(duì)設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)應(yīng)用拉格朗日方程可得：

(11)

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(12)

其中：

(13)

(14)

由此可得機(jī)構(gòu)的固有頻率:

(15)

忽略壓電陶瓷預(yù)緊力對(duì)機(jī)構(gòu)輸出行程的影響，機(jī)構(gòu)的最大輸出位移為:

(16)

式中：Xn為壓電陶瓷的最大輸出行程，X為機(jī)構(gòu)的最大輸出行程。

在上述分析中，機(jī)構(gòu)的行程輸出隨著直圓鉸鏈的旋轉(zhuǎn)變形增大而增大。然而值得注意的是，隨著直圓鉸鏈的旋轉(zhuǎn)變形增大，變形應(yīng)力也隨之增加，鉸鏈的變形應(yīng)力會(huì)影響機(jī)構(gòu)的使用可靠性。對(duì)于直圓鉸鏈，其最大應(yīng)力和最大旋轉(zhuǎn)變形的關(guān)系[19]為：

(17)

式中:β=t/2R，f(β)為一無(wú)量綱因子:

(18)

3.2 參數(shù)設(shè)計(jì)和有限元仿真

在快刀伺服機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)行程輸出的同時(shí)必然會(huì)降低機(jī)構(gòu)的固有頻率，影響系統(tǒng)帶寬和系統(tǒng)加工效率，因而在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮行程和固有頻率性能選擇機(jī)構(gòu)參數(shù)。

本文所設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)材質(zhì)選用具有優(yōu)越變形能力的鋁合金AL-7075，材料特性如表1所示。根據(jù)上述理論分析，結(jié)合所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的行程和固有頻率頻率指標(biāo)，同時(shí)考慮機(jī)構(gòu)的應(yīng)力及尺寸，選擇機(jī)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的性能及理論分析的有效性，采用ANSYS軟件對(duì)所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真。對(duì)機(jī)構(gòu)施加450 N輸入力時(shí)機(jī)構(gòu)的位移變形如圖6所示。

表1 機(jī)構(gòu)材料參數(shù)

表2 機(jī)構(gòu)參數(shù)

圖6 FTS機(jī)構(gòu)位移變形Fig.6 Displacement deformation of designed FTS

從仿真結(jié)果中可知對(duì)稱布置的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)消除了非工作方向的寄生位移。進(jìn)一步的，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元模態(tài)分析，有限元仿真和理論計(jì)算得到的機(jī)構(gòu)剛度和一階固有頻率結(jié)果如表3所示。理論計(jì)算和有限元仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了理論模型的有效性。

表3 有限元仿真值與理論值對(duì)比

Tab.3 Comparison between FEA and theoretical results

理論值有限元值誤差等效剛度2.9 N/μm3.1 N/μm6.4%一階模態(tài)678 Hz689 Hz1.6%

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

以優(yōu)化設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)參數(shù)，采用超精密線切割的方式對(duì)所設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)進(jìn)行了加工，并建立了如圖7所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)中采用Noliac公司的壓電陶瓷(NAC2014-H28)，其最大行程42.9 μm，采用線性光柵作為位移傳感器。

圖7 FTS系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experimental setup of the designed FTS system

4.1 靜態(tài)性能實(shí)驗(yàn)

對(duì)系統(tǒng)施加0～110 V的正弦波電壓信號(hào)，得到機(jī)構(gòu)的輸出行程特性，如圖8所示。設(shè)計(jì)的快刀伺服機(jī)構(gòu)可以達(dá)到100 μm的行程輸出，這一行程可以滿足大多數(shù)光學(xué)自由曲面的加工。

圖8 FTS機(jī)構(gòu)行程測(cè)試Fig.8 Stroke test of the designed FTS

圖9 實(shí)際系統(tǒng)和辨識(shí)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Fig.9 Frequency responses of real and identified models

4.2 動(dòng)態(tài)性能實(shí)驗(yàn)

為得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)壓電陶瓷施加1～1 000 Hz的正弦掃頻信號(hào)，采用DFT實(shí)時(shí)控制算法得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步辨識(shí)得到實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖9所示。

辨識(shí)得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型如式(9)所示：

G(s)=

(19)

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)得到其固有頻率為730 Hz，略高于理論和仿真值，這是由于加工及安裝誤差增大了系統(tǒng)的剛度和固有頻率。在此固有頻率下，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)較高的帶寬和頻率響應(yīng)，從而保證系統(tǒng)的加工效率。

4.3 閉環(huán)跟蹤實(shí)驗(yàn)

對(duì)圖1所示的加工系統(tǒng)，采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法，則待加工自由曲面z=f(x，y)在柱面坐標(biāo)系(ρ，θ，z)中可表示為：

(20)

其中：ρ為工件沿x軸的位移，θ為主軸的旋轉(zhuǎn)角度，z為刀具在快刀伺服系統(tǒng)帶動(dòng)下沿z軸的進(jìn)給位移。

圖10 軌跡跟蹤和跟蹤誤差Fig.10 Trajectory and tracking errors

在上述加工過(guò)程中，系統(tǒng)常常需要跟蹤連續(xù)的正弦信號(hào)。為了評(píng)估系統(tǒng)的跟蹤性能，實(shí)驗(yàn)跟蹤幅值25 μm、頻率50 Hz的正弦信號(hào)。根據(jù)式(19)得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用基于PID鎮(zhèn)定的并聯(lián)內(nèi)模方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)控制[20]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。對(duì)50 Hz信號(hào)的跟蹤誤差為±90 nm，為其行程的0.36%，驗(yàn)證了系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)，采用對(duì)稱式結(jié)構(gòu)及二級(jí)放大機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的快刀伺服機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)行程輸出性能并消除了非工作方向的寄生位移。

針對(duì)所設(shè)計(jì)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)，采用偽剛體模型和拉格朗日原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型有良好的一致性。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明本文設(shè)計(jì)的快刀伺服機(jī)構(gòu)兼顧了機(jī)構(gòu)的行程和固有頻率性能，可以達(dá)到100 μm的行程輸出，同時(shí)具有730 Hz的固有頻率。閉環(huán)跟蹤試驗(yàn)也驗(yàn)證了系統(tǒng)良好的信號(hào)跟蹤性能。

本文設(shè)計(jì)的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的長(zhǎng)行程快刀伺服機(jī)構(gòu)對(duì)提升快刀伺服機(jī)構(gòu)的應(yīng)用范圍和加工精度具有參考意義。