闞尚錦

[摘要]極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想。通過教學內(nèi)容、教學設(shè)計和知識聯(lián)系三個角度研究如何在小學數(shù)學課堂教學中滲透極限思想。

[關(guān)鍵詞]極限思想;數(shù)學思想;微積分

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）08-0008-02

極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。在小學階段，想要滲透這種思想，教師需要給學生搭建探究發(fā)現(xiàn)的平臺，給學生提供有效的“支撐”和充分的探索實踐機會。這樣學生才能切身體會到無窮的奧秘，感受極限的思想。本文將結(jié)合教學實例，談一談如何在小學數(shù)學教學中滲透微積分的理論基礎(chǔ)——極限思想。

一、“看”教學內(nèi)容。滲透極限思想

小學數(shù)學教材中的很多內(nèi)容都適合滲透極限思想，只要選用恰當?shù)姆椒?，就能讓學生在學習探究的過程中體會無限和無窮的意義，并利用對極限思想的感知，歸納總結(jié)出新知。

1.“數(shù)”的教學

教學自然數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)時，就可以讓學生感受：只要沒有范圍的限制，自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)和偶數(shù)是有無窮多個的，因為沒有最大的自然數(shù)，也沒有最大的奇數(shù)和偶數(shù)。

教學無限小數(shù)時，對于1÷6=0.166...，學生一開始會糾結(jié)于除法算式除不盡，除不盡的含義就是除不完，如果要將這個算式的得數(shù)一直寫下去，那小數(shù)點后的數(shù)字是寫不完的。

2.“形”的教學

教學直線和射線時，想要學生清楚它們和線段的區(qū)別，可讓學生閉著眼睛想象：直線和射線都是無限長的，它們可以一直延伸下去，無邊無際，但直線是兩端無限延長，沒有起點也沒有終點的，而射線是一端固定，另一端無限延長，是有起點無終點的。只有弄清楚了這三種線各自的特點，才能真正洞悉它們的數(shù)學本質(zhì)。

教學“正多邊形”時，教師常常會在教學正三角形和正四邊形的特征之后加入正五邊形、正六邊形，讓學生觀察正多邊形隨著邊數(shù)的增加所發(fā)生的變化。

通過圖形，學生很快就能發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形會越來越接近圓，那當邊數(shù)無窮大時，正多邊形是否就成為圓？在你一言我一語的表達中，學生經(jīng)歷了一場頭腦風暴，極限思想也在學生的腦中生根。這樣的學習讓學生感受到了極限思想的精髓，打破了學生思維定式中“直”與“曲”的界限，在無窮中實現(xiàn)了變直為曲，有利于學生走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何觀念。

要想在課堂教學中滲透極限思想，就要選擇合適的教學內(nèi)容和方法，這樣才能做到“潤物細無聲”，使得學生在探究新知的過程中感知極限思想的價值。

二、“看”教學設(shè)計。加深思想感知

小學階段的一些數(shù)學公式推導的教學常常需要滲透極限思想，以便學生更好地理解公式推導的過程。以“圓面積”這一課為例，在推導出圓面積公式之前，需要讓學生感受兩次極限思想。

1.“蜻蜓點水”，初步滲透

本節(jié)課需要解決課本上的兩道例題，例1的教學目標是讓學生利用數(shù)方格的方法來初步感知圓面積和r2之間是三倍多一些的關(guān)系。于是我設(shè)置了兩個維度。第一維度是給出課本上半徑分別為3、4、5的圓形，讓學生通過數(shù)一數(shù)、算一算的方法，感受圓面積和半徑的關(guān)系。學生大都能夠發(fā)現(xiàn)圓面積和r2之間有著三倍多一些的關(guān)系，但具體的數(shù)據(jù)并不能由此而得到。因此，基于教材中的圖形，我又增加了半徑為8和半徑為20的兩個圓形。

通過原有的三個圖形，學生能感受到圓面積和r2的大概關(guān)系，但增加了兩個半徑較大的圓形后，學生能夠更加清晰地感受到，當半徑變大時，圓面積與r2的關(guān)系更加接近π。在此基礎(chǔ)上，我再追問：“如果這個圓無限大呢？”一石激起千層浪，學生的思維再一次被點燃，短暫的思維碰撞之后，學生提出S=πr²的猜想。在這過程中，學生能夠感覺到無限大的這個圓其實就是一種極限的情況，體驗到極限思想的無窮魅力。

2.“下馬看花”，再次感悟

讓學生帶著猜想學習本節(jié)課的第二個例題，即圓面積公式的推導。推導圓面積公式一般有兩種方法：劉徽的割圓術(shù)和教材中的將圓分割后拼接成長方形的方法。這兩種方法都要求學生有極限思想。在教學中，為了讓學生充分感知這兩種方法，我發(fā)給每一位學生一張圓形紙片，讓學生通過折一折、剪一剪、拼一拼的方法來自主研究圓面積的公式。在充分的動手操作后，兩種方法都出現(xiàn)了。關(guān)于劉徽的“割圓術(shù)”，學生是這樣呈現(xiàn)的：

從圖中不難看出，隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的不斷增加，正多邊形的面積就越接近圓的面積，當正多邊形的邊數(shù)無限多時，正多邊形的面積就是圓的面積，從量變轉(zhuǎn)為質(zhì)變。雖然小學生還無法解決正多邊形面積的極限問題，但是這樣的過程還是應(yīng)該完整而清晰地展現(xiàn)給他們。學生會在你一言我一語的激烈交流和教師的講解中擁有極限思想，理解無限逼近的動態(tài)過程。

關(guān)于教材中的方法，學生通過剪拼，可以得到一個趨近于平行四邊形的圖形：

學生在交流后也發(fā)現(xiàn)，當分割的份數(shù)變多時，拼接得到的圖形會越來越趨近一個平行四邊形。為了能讓學生直觀感受到極限的情況，我還利用了幾何畫板這一現(xiàn)代化工具來呈現(xiàn)趨近于極限時的畫面。

【教學片段】

師：看了這樣的一個動態(tài)過程，圓被這樣平均分成很多很多份后，你認為能拼成什么？

生：長方形。因為分割得越多，拼接出的平行四邊形左右兩側(cè)的斜度越大，如果分割成無限份，其左右兩邊就和上下的這兩條邊垂直，也就變成長方形了。

學生的回答贏得了熱烈的掌聲，可見學生已經(jīng)真正理解了圓面積公式的推導過程和本質(zhì)內(nèi)涵。

以上關(guān)于圓面積公式的推導過程，采用了“化圓為方”“變曲為直”的極限分割思想。要想在課堂教學中滲透極限思想，教師需要在把握教材的基礎(chǔ)上，給學生提供探究的平臺和思考的扶手，讓學生在一次又一次的感知中升華對數(shù)學思想的感悟。

三、“看”知識聯(lián)系。深研數(shù)學本質(zhì)

教師可在復習的時候利用數(shù)學思想引導學生打破知識的局限。例如，復習梯形面積公式和三角形面積公式時，就可以利用極限思想引導學生發(fā)現(xiàn)這兩個公式之間的聯(lián)系。梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，而梯形的上底慢慢縮小直到縮小至一個點后，梯形變成了三角形，這個上底也變成了0，正好可以得到三角形的面積公式“底×高÷2”。

同樣，可以引導學生利用這樣的思想方法去思考正方形、長方形、平行四邊形的面積公式。極限思想在這里正好能將平面圖形面積公式的推導本質(zhì)呈現(xiàn)給學生，讓學生深刻感受到數(shù)學中的變與不變：變化的是表層特征，而核心的本質(zhì)是不變的。

極限思想在小學生數(shù)學必備品格之數(shù)學思想中占有一席之地，是高等數(shù)學中微積分的基礎(chǔ)。小學是學生形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化的階段，教師可以通過選取恰當?shù)慕虒W素材和創(chuàng)造進階型教學設(shè)計這兩個方面來幫助學生將極限思想一步一步植入到腦海中。這樣的教學，留下的不僅僅是數(shù)學知識，更是一種數(shù)學素養(yǎng)，就像是我們帶著學生站在門檻外看看微積分。

（責編：金鈴）