安子軍，姜 威，張 悅，王清華

（燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

1 引言

隨著高精密機械的發(fā)展，精密鋼球傳動裝置逐漸成為研究的熱點。其在高精密機床的精確定位、航空遙感相機的位移補償精密機構(gòu)中有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。實時無隙精密鋼球傳動組合行星盤能夠代替?zhèn)鹘y(tǒng)的消隙結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)實時消隙的功能，周向保持同步旋轉(zhuǎn)，軸向利用鋼球滾動特性實現(xiàn)軸向位移，從而能夠?qū)崟r消隙，滿足精密機械的傳動要求，因此受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。

文獻[3]根據(jù)嚙合點處變形與法向力之間的非線性關(guān)系推導(dǎo)法向力計算公式；文獻[4]運用蒙特卡洛模擬法對擺線鋼球減速器傳動誤差進行了分析；精密鋼球傳動具有無側(cè)隙、無回差的優(yōu)點，其主要誤差來源于彈性回差[5-6]，這與擺線針輪的傳動機構(gòu)有所不同[7]；文獻[8-9]對雙擺線鋼球減速器進行了pro/E建模并進行了振動分析；文獻[10]在結(jié)構(gòu)原理、力學(xué)性能、運動學(xué)和動力學(xué)方面進行了一系列的研究；文獻[11]對等速輸出機構(gòu)進行了設(shè)計與分析。但目前尚未有文獻對于組合行星盤結(jié)構(gòu)在受載時的彈性轉(zhuǎn)角進行研究，更未對組合行星盤接觸點的誤差進行研究。在考慮組合行星盤誤差影響的情況下，通過對實際接觸角的計算，進而推導(dǎo)彈性轉(zhuǎn)角精確表達式，研究了導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差對彈性轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，分析了誤差對轉(zhuǎn)角變化率的影響。

2 結(jié)構(gòu)及傳動原理

實時無隙精密鋼球減速器，如圖1所示。中心盤右側(cè)加工齒數(shù)為Z1的外擺線封閉槽，行星盤a的左側(cè)加工齒數(shù)為Z2的內(nèi)擺線封閉槽，且滿足關(guān)系Z2-Z1=2。在內(nèi)擺線和外擺線交錯的區(qū)域等距裝有數(shù)量為Zm的鋼球，而且滿足齒數(shù)關(guān)系Zm=（Z2+Z1）/2。行星盤a和行星盤b之間裝有碟簧，其二者連接處均布6個圓柱槽，每個槽中放置2個導(dǎo)向鋼球，行星盤a、行星盤b、碟簧和導(dǎo)向鋼球構(gòu)成組合行星盤。行星盤b的右側(cè)和輸出軸左側(cè)均布相同個數(shù)的環(huán)形槽，環(huán)形槽內(nèi)裝有等速鋼球。

減速器運轉(zhuǎn)時，輸入偏心軸帶動組合行星盤運動，組合行星盤帶動減速鋼球轉(zhuǎn)動，減速鋼球在中心盤的擺線槽作用下，反推行星盤a以一個較低的角速度轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)減速運動，行星盤b在導(dǎo)向鋼球的作用下，與行星盤a以相同的角速度轉(zhuǎn)動，行星盤b通過等速鋼球?qū)⑺俣葌鬟f給輸出軸，實現(xiàn)等速輸出。行星盤a與行星盤b之間放置碟簧，在預(yù)緊力作用下時刻處于壓縮狀態(tài)，可以實現(xiàn)減速器實時無隙嚙合傳動。

圖1 實時無隙精密鋼球減速器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The Sketching of the Real-time Non-clearance Precision Ball Transmission

3 誤差模型建立

導(dǎo)向鋼球在導(dǎo)向槽內(nèi)為純滾動，摩擦力較小，受力分析中忽略各接觸部分的摩擦力。在求解彈性轉(zhuǎn)角的過程中，導(dǎo)向鋼球與導(dǎo)向槽的實際接觸角是一個重要參數(shù)，因此在計算彈性轉(zhuǎn)角之前必須對實際接觸角進行計算。組合行星盤中，導(dǎo)向鋼球與組合行星盤接觸為空間赫茲接觸，因組合行星盤軸向固定，可將接觸點所在平面單獨分析。以行星盤b右端面所在平面為分析平面，對組合行星盤整體進行受力分析，在考慮導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i（i=1，2，3，4，5，6分別對應(yīng) 6 個導(dǎo)向槽）的情況下，各個導(dǎo)向鋼球受力不同，如圖2（a）所示；在考慮導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i的情況下，以單個導(dǎo)向鋼球嚙合點所在平面對導(dǎo)向鋼球進行受力分析，如圖2（b）所示。Oin是內(nèi)導(dǎo)向槽圓心，Oe是外導(dǎo)向槽圓心，假設(shè)外導(dǎo)向槽固定，Oii是受載之后內(nèi)導(dǎo)向槽的圓心。

在進行計算之前引入如下假設(shè)：（1）e1i的變化僅影響相應(yīng)的導(dǎo)向槽徑向尺寸，導(dǎo)向槽仍保持圓柱形；（2）e2i的變化僅影響相應(yīng)的導(dǎo)向鋼球半徑的大小，鋼球仍然保持球形；（3）受力變形在彈性變形范圍內(nèi)；（4）同一導(dǎo)向槽內(nèi)兩鋼球完全相同。

圖2 組合行星盤受力分析圖Fig.2 The Force Analysis of the Combined Planetary Plate

3.1 接觸角誤差模型

3.1.1 初始接觸角

導(dǎo)向鋼球受載前，當(dāng)滾動體與導(dǎo)向槽剛接觸時，任意滾動體位置接觸對的內(nèi)外圈曲率中心OinOe之間的距離為：

式中：Dq—導(dǎo)向鋼球直徑；r1i，r2i—內(nèi)外導(dǎo)向槽半徑。

此時為初始接觸角琢，其計算公式[12]為：

式中：Gr—徑向游隙。

3.1.2 實際接觸角

在受載之后，此時的導(dǎo)向鋼球在外載荷的作用下，接觸角變?yōu)棣?，與初始接觸角相比會發(fā)生變化。此時任意鋼球位置接觸對內(nèi)外圈曲率中心OiiOe之間的距離為：

導(dǎo)向鋼球與內(nèi)外滾道接觸，其嚙合點的變形量分別為δi，法向力分別為 Ni，剛度系數(shù)[13]為 ki：

圖3 接觸物體主平面和主曲率圖Fig.3 Main Plan and Main Curvature of the Object in Contact

法向力、接觸變形和剛度系數(shù)密切相關(guān)[13]，其非線性關(guān)系為：

法向力力臂與導(dǎo)向鋼球分布圓半徑的關(guān)系由三角函數(shù)關(guān)系可以表示為：

式中：L—導(dǎo)向槽分布圓半徑。

組合行星盤的力矩平衡方程為：

式中：M—組合行星盤所受阻力矩。

聯(lián)立方程（2）～（8），整理得到：

式（9）中只包含β一個未知數(shù)，通過計算便可求出受載之后的實際接觸角β。

3.2 誤差彈性轉(zhuǎn)角模型

行星盤a順時針轉(zhuǎn)動，行星盤b受到阻力矩M的作用，在其嚙合點處會產(chǎn)生彈性變形，使得行星盤b的實際轉(zhuǎn)角相對于行星盤a的轉(zhuǎn)角滯后的角度為駐α，變形協(xié)調(diào)方程為：

在考慮誤差情況下，帶有誤差的導(dǎo)向鋼球的載荷均不相同，如圖4所示。設(shè)1號導(dǎo)向槽內(nèi)的鋼球存在負(fù)誤差，其余鋼球均無誤差。在阻力矩M作用下，無誤差鋼球受擠壓變形，若該變形量小于負(fù)誤差值，則負(fù)誤差鋼球不受力，故計算組合行星盤彈性轉(zhuǎn)角時不計負(fù)誤差鋼球，如圖4（a）所示；若該變形量大于負(fù)誤差值，則兩類鋼球同時受力，如圖4（b）所示。

圖4 導(dǎo)向鋼球誤差對變形影響Fig.4 Influence of Errors of the Ball to Deformation

另外誤差的存在對于剛度系數(shù)，變形系數(shù)都會有影響，每個誤差鋼球所受的載荷取決于誤差的大小，但是整體必須滿足平衡方程。所以在綜合考慮導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差以及導(dǎo)向槽徑向誤差之后，推得變形協(xié)調(diào)方程為：

聯(lián)立式（4）～式（8）、式（10）和式（11），整理得到新的平衡方程為：

式（11）和式（12）構(gòu)成的非線性方程組是以駐α為未知數(shù)，當(dāng)阻力矩M給定時，依靠MATLAB的fsolve命令進行求解即可得到精確的數(shù)值。

3.3 誤差靈敏度

為更直觀對比各個誤差對彈性轉(zhuǎn)角變化的影響，基于參數(shù)靈敏度[14-15]的計算的方法，直接對各個誤差求偏導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的大小即可反應(yīng)彈性轉(zhuǎn)角變化速度。導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差、導(dǎo)向槽徑向誤差的靈敏度分別為：

4 誤差影響分析

4.1 誤差對彈性轉(zhuǎn)角影響分析

導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i對實際接觸角βt和彈性轉(zhuǎn)角駐α均有影響。根據(jù)樣機參數(shù)，導(dǎo)向鋼球分布圓半徑L=14.25mm，導(dǎo)向鋼球半徑rq=1mm，導(dǎo)向鋼球數(shù) Zm=12，阻力矩 M=15N·m。e1i、e2i和 e3i對于實際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角的影響，如圖5～圖7所示。

圖5 導(dǎo)向槽尺寸誤差影響圖Fig.5 Influence of the Size Errors of the Guide Groove

圖6 導(dǎo)向鋼球尺寸誤差影響圖Fig.6 Influence of the Size Errors of the Ball

圖7導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差影響圖Fig.7 Influence of the Radial Errors of Guide Groove Distribution Circle

圖5 （a）中，實際接觸角隨著導(dǎo)向槽尺寸誤差e3i的增大而減小，其減小的速度呈現(xiàn)減緩的趨勢，最大數(shù)值為1.0994rad，最小為1.0763rad；圖5（b）中，彈性轉(zhuǎn)角隨著e3i的增大而增大，增大的速度逐漸減慢，e3i過大會導(dǎo)致組合行星盤的彈性轉(zhuǎn)角過大，影響機構(gòu)的精密性，過小則可能出現(xiàn)鋼球無法安裝的問題，彈性轉(zhuǎn)角最大值為6.5301×10-4rad，最小值為 6.3045×10-4rad。圖 6（a）中，實際接觸角隨著導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i的增大而增大，其增加的速度也隨著誤差的增大而增大，最大數(shù)值為1.0991rad，最小為1.0764rad；圖6（b）中，彈性轉(zhuǎn)角整體上隨著e2i的增大而減小，而且減小的幅度越來越大，曲線整體分為兩段，在［-0.01，-0.006］時，由于彈性轉(zhuǎn)角小于誤差量，此時的導(dǎo)向鋼球并沒有與導(dǎo)向槽嚙合，因此該區(qū)間內(nèi)，實際接觸角為 0，彈性轉(zhuǎn)角為定值，在（-0.006，0.01］時，彈性轉(zhuǎn)角的減小速度隨著誤差的增大而逐漸增大，e2i過大雖然彈性轉(zhuǎn)角會減小，但是此時的鋼球可能會和導(dǎo)向槽出現(xiàn)過盈配合，無法安裝，e2i過小時，誤差鋼球在組合行星盤當(dāng)中沒有發(fā)揮應(yīng)有的作用，導(dǎo)致彈性轉(zhuǎn)角過大。

從圖7中曲線變化可以看出，實際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角均隨著導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i的增大而減小，但圖7（a）的縱坐標(biāo)幾乎沒有變化，說明e3i對于實際接觸角的影響非常小，圖7（b）彈性轉(zhuǎn)角在整個誤差范圍內(nèi)僅減小了0.0026×10-4rad，可見e3i對于組合行星盤的影響很小。

4.2 誤差靈敏度分析

討論的三種誤差對于實際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角的影響均不相同，依據(jù)式（13）～式（15）繪出的三種誤差對于彈性轉(zhuǎn)角變化率影響的曲線，如圖8所示。

導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i對于彈性轉(zhuǎn)角的變化影響最為明顯，如圖8所示。導(dǎo)向槽徑向誤差e3i的對于彈性轉(zhuǎn)角的變化幾乎沒有影響，導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i整體位于（0，0.0022］，且逐漸減小，因此為增加傳動穩(wěn)定性，在對組合行星盤設(shè)計時，應(yīng)主要限制e2i的大小。

圖8 誤差對彈性轉(zhuǎn)角變化率的影響Fig.8 Influence of Errors to Elastic Angle Change Rate

5 結(jié)論

（1）通過計算三種誤差影響下的實際接觸角從而推導(dǎo)組合行星盤結(jié)構(gòu)的彈性轉(zhuǎn)角表達式，并且將導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差考慮其中，更能準(zhǔn)確的描述彈性轉(zhuǎn)角的計算公式。

（2）導(dǎo)向鋼球尺寸誤差對于彈性轉(zhuǎn)角的影響較為特殊，在誤差區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)分段狀態(tài)，在［-0.01，-0.006］區(qū)間內(nèi)，誤差鋼球與導(dǎo)向槽實際上并沒有嚙合，對于組合行星盤的彈性轉(zhuǎn)角也沒有影響；其他區(qū)間內(nèi)，彈性轉(zhuǎn)角隨著誤差增大而迅速減小。

（3）通過對三種誤差的求靈敏度可以發(fā)現(xiàn)，三種誤差對于彈性轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律影響均不相同，導(dǎo)向鋼球尺寸誤差的影響最為明顯，另外兩種誤差的影響程度接近零，為保證機構(gòu)傳動精度的穩(wěn)定，應(yīng)首要控制鋼球尺寸誤差大小。