孟辛亥

（甘肅省華亭市第一中學(xué) 甘肅華亭 744100）

大家都知道，化學(xué)中有一個(gè)重要的定律——“能量守恒定律”。其實(shí)，數(shù)學(xué)中同樣有兩個(gè)“守恒現(xiàn)象”值得總結(jié)掌握和熟練應(yīng)用。

一、數(shù)列中的“守恒”

在數(shù)列問題中，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”和“錯(cuò)位相減法”[1]求和時(shí)會(huì)遇到此類現(xiàn)象。下文舉例說明。

（2）設(shè)bn=，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜m/20對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m。

然后易得m≥10。

總結(jié)：由于分母是一個(gè)等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之積，故在裂項(xiàng)相消的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)剩余的兩項(xiàng)是一正一負(fù)，即一首一尾。這正好體現(xiàn)了一種守恒。掌握這一現(xiàn)象后，學(xué)生自然會(huì)在計(jì)算過程格外注意剩下的項(xiàng)，不會(huì)發(fā)生少項(xiàng)或多項(xiàng)的錯(cuò)誤。

（同學(xué)們?cè)谧鐾曛髸?huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？提示：分母是相間項(xiàng)之積，故相消后剩余的項(xiàng)是兩正兩負(fù)，即兩正首兩負(fù)尾。）

此外，在用“錯(cuò)位相消法”求和時(shí)，列式相減環(huán)節(jié)也會(huì)有一個(gè)守恒現(xiàn)象，即第一次是-0，最后一次（第n+1次）是0-q，也是首尾一正一負(fù)。

二、三角函數(shù)中的“守恒”

二倍角公式和半角公式極好地體現(xiàn)了“角系數(shù)和次數(shù)”[2]一升一降的守恒。

二倍角公式，如cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可以稱為次升系降。而由半角公式也可得sin2α=，我們不妨稱降次公式更為恰當(dāng)，即次降系升。半角畢竟特殊的，而應(yīng)用的時(shí)候，角是相對(duì)靈活的。

如此就能很好地防止類似錯(cuò)誤，如：

防止此類錯(cuò)誤的一個(gè)辦法就是通俗地理解角系數(shù)降實(shí)為縮小1/2，角系數(shù)升實(shí)為擴(kuò)大2倍，則上兩式學(xué)生不難得出正確結(jié)果：

例2 已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R。

（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

（2）函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

分析：此題關(guān)鍵是對(duì)f(x)的化簡(jiǎn)，運(yùn)用什么公式呢？

不合理的化簡(jiǎn)：

如此，雖然老師可以運(yùn)用積化和差公式最終得出結(jié)論，但一來費(fèi)時(shí)費(fèi)力，二來新教材降低了難度，不要求運(yùn)用積化和差公式。對(duì)學(xué)生而言，他們就只能鉆進(jìn)死胡同。

合理的化簡(jiǎn)：運(yùn)用降次公式，可保初次化簡(jiǎn)后得到同角（2α）一次的有利效果。有

以下求解容易多了，這里不再說明。

在這里，學(xué)生處理時(shí)常常感到公式記住了，但難以正確、靈活地應(yīng)用。如果能在這里掌握這一現(xiàn)象并學(xué)會(huì)處理三角問題時(shí)“先角后名”的方法，學(xué)生就會(huì)輕松自如得多。

應(yīng)用練習(xí):已知α為銳角，且tanα=1/2，求的值。