1 引言

近年來，中國(guó)地震自然災(zāi)害頻繁發(fā)生，其中以西部地區(qū)的地震活動(dòng)最為強(qiáng)烈，頻度最高，造成大量的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。關(guān)于地震波傳播的研究是地震工程領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。地震波傳播理論強(qiáng)調(diào)的是波的傳播與媒介之間的關(guān)系，經(jīng)過國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)該領(lǐng)域的長(zhǎng)期研究，地震波傳播理論和研究技術(shù)得到了長(zhǎng)足發(fā)展，也取得了很多有價(jià)值的研究成果，并在地震領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但仍有很多理論體系不夠完善，結(jié)論不夠成熟，需要進(jìn)一步研究。

2 地震波傳播理論

地震波理論是各地震學(xué)科的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容，它強(qiáng)調(diào)波的傳播與媒介之間的關(guān)系，涵蓋了人工地震探測(cè)與信息技術(shù)等眾多領(lǐng)域。起初關(guān)于地震波傳播理論的研究，是建立在地球是一個(gè)均勻且各向同性的完全彈性體的條件假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致最終的理論成果的特殊性。由于實(shí)際的地球地層介質(zhì)是由復(fù)雜介質(zhì)組成的非完全彈性體，不能將其簡(jiǎn)單地歸結(jié)為各向同性的均勻完全彈性體，這也導(dǎo)致了地震波傳播特性研究的復(fù)雜性?；谶@一點(diǎn)，人們?cè)谕耆珡椥越橘|(zhì)中地震波傳播理論的基礎(chǔ)上，考慮到地層介質(zhì)的復(fù)雜性，推導(dǎo)出了地震波在復(fù)雜地層中傳播的數(shù)學(xué)理論模型，并結(jié)合數(shù)值分析方法，對(duì)地震波傳播進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)對(duì)地震波傳播理論和研究方法的拓展與創(chuàng)新。目前，地震波傳播理論被廣泛應(yīng)用于震源參數(shù)測(cè)定、地震近場(chǎng)問題、地球內(nèi)部構(gòu)造研究等方面。

2.1 彈性介質(zhì)中地震波傳播

彈性介質(zhì)是最基本也是最經(jīng)典的一種介質(zhì)模型，目前地震學(xué)或彈性波眾多應(yīng)用領(lǐng)域均是以這種模型為基礎(chǔ)。陳運(yùn)泰[1]將Haskell 展開式與Hansen 矩陣法結(jié)合起來，得出多層均勻介質(zhì)各向同性完全彈性半空間中一般類型的震源引起的位移場(chǎng)的形式解。叢相文[2]等應(yīng)用Fourier 變換法研究了非均勻彈性介質(zhì)波動(dòng)方程正演的解，并模擬地震波的傳播。方剛、張斌[3]從彈性體的Navier 方程出發(fā)，推導(dǎo)出彈性介質(zhì)的Lagrange 方程，并對(duì)該方程進(jìn)一步推導(dǎo)得到地震波在均勻和非均勻介質(zhì)中傳播的波動(dòng)方程，該方程常用作地震波傳播規(guī)律研究和解決相關(guān)地震勘探問題的基礎(chǔ)。2017 年，方剛[4]等在Hamilton 理論基礎(chǔ)上建立了Hamilton 正則方程和地震波動(dòng)方程，被作為基礎(chǔ)理論應(yīng)用于地震領(lǐng)域的相關(guān)學(xué)術(shù)研究。

2.2 黏彈性介質(zhì)地震波傳播

地震波在黏彈性介質(zhì)中傳播特性與實(shí)際地層中傳播特性很相似。由于實(shí)際地層介質(zhì)的黏彈性質(zhì)，使得地震波在傳播過程中，隨著時(shí)間和傳播距離的增加出現(xiàn)衰減現(xiàn)象。

1845 年，Stokes 首先建立了黏彈性波動(dòng)方程，后來發(fā)展形成了Maxwell 黏彈性模型和Kelvin 黏彈性模型。但這2 個(gè)模型都存在缺點(diǎn)，Maxwell 模型更接近于黏性流體介質(zhì)，Kelvin模型接近于彈性固體介質(zhì)，這2 種模型的本構(gòu)關(guān)系都不能完全符合實(shí)際底層的情況。因此，國(guó)內(nèi)外的研究人員對(duì)該理論模型進(jìn)行不斷的改進(jìn)，并提出更加近似于實(shí)際地層情況的介質(zhì)模型。蔡袁強(qiáng)[5]、徐獻(xiàn)芝[6]、嚴(yán)紅勇[7]、賈立坤[8]等充分考慮了包括地下水、孔隙比等因素的影響，在模型本構(gòu)方程中加入介質(zhì)的黏滯因素，推導(dǎo)出符合實(shí)際的Kelvin-Voigt 黏彈性體模型對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程，并結(jié)合數(shù)值模擬方法進(jìn)行求解，研究地震波在地層中的傳播特性。鄧巧琳[9]基于Kelvin 黏彈性介質(zhì)模型（見圖1），推導(dǎo)出介質(zhì)的反、透射系數(shù)和能量滯留比公式，研究地震波能量衰減具有一定的參考價(jià)值。

P 波入射能量滯留比：

SV 波入射能量滯留比：

SH 波入射能量滯留比：

式中，s 為能量衰減比；R 為發(fā)射系數(shù)；T 為透射系數(shù)；α 為介質(zhì)波阻抗比。

圖1 Kel vi n 黏彈性介質(zhì)模型

雖然對(duì)Kelvin 介質(zhì)模型在不斷的改進(jìn)，但還是與實(shí)際的地層情況存在著一定差別，使得研究人員重新構(gòu)建新的介質(zhì)模型。Aki 和Richards[10]提出的標(biāo)準(zhǔn)線性黏彈性固體模型（見圖2），綜合了Maxwell 黏彈性模型和Kelvin-Voigt 黏彈性模型兩者的特點(diǎn)，將原有模型的缺陷加以改善，使新的黏彈性模型能更符合實(shí)際情況。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)線性黏彈性介質(zhì)模型

標(biāo)準(zhǔn)線性黏彈性模型本構(gòu)方程與初始條件：

式中，τs為應(yīng)力松弛時(shí)間；τσ為應(yīng)變?nèi)渥儠r(shí)間；u（t）為應(yīng)變；ER為彈性松弛系數(shù)。

范家參[11]對(duì)標(biāo)準(zhǔn)線彈性固體模型介質(zhì)中地震波動(dòng)方程求出了解析解。劉鐵林[12]提出該介質(zhì)模型波動(dòng)方程的數(shù)值模擬顯式算法，該算法具有計(jì)算快，精度高等特點(diǎn)。高強(qiáng)[13]將精細(xì)積分法和虛擬激勵(lì)法相結(jié)合，形成新的數(shù)值計(jì)算方法，用于求解三維各向同性黏彈性介質(zhì)中傳播問題。

除此之外，郭智奇[14]等建立了以Boltzmann 疊加原理為基礎(chǔ)的積分型本構(gòu)方程及波動(dòng)方程，并求出二維黏彈性平面波解。通過該模型求解可以得到反射和透射系數(shù)，研究介質(zhì)分界面的反、透射問題。邵志剛[15]等以三元黏彈性介質(zhì)模型（又稱Poyting-Thomson 模型）理論和本構(gòu)方程為研究基礎(chǔ)，對(duì)地震波傳播進(jìn)行理論分析，并采用叫錯(cuò)網(wǎng)個(gè)有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬。結(jié)果表明，地震波在黏彈性介質(zhì)中傳播，縱波的衰減速度大于橫波。學(xué)者高宇航通過引入記憶變量的方式推導(dǎo)出彈性VTI 介質(zhì)和黏彈性VTI 介質(zhì)的波動(dòng)方程；以交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分的數(shù)值模擬方法，確定差分穩(wěn)定性條件。該方法計(jì)算量小，所需內(nèi)存少。

2.3 彈塑性介質(zhì)地震波傳播

由于地震動(dòng)荷載作用，部分地層介質(zhì)進(jìn)入彈塑性階段，對(duì)于這部分地層中地震波問題研究，主要是對(duì)彈塑性動(dòng)力反應(yīng)問題進(jìn)行求解。

1952 年，Wood 以彈塑性桿件中一維應(yīng)力縱波理論為基礎(chǔ)，進(jìn)行推廣，得到一維應(yīng)變彈塑性波的波動(dòng)方程。學(xué)者王禮立彈塑性波動(dòng)問題提出了逐步近似求解方法，該方法具有計(jì)算步驟簡(jiǎn)單，而且不受波速影響的特點(diǎn)。學(xué)者孟昭波在彈塑性理論公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)出地震波在彈塑性介質(zhì)中傳播新的數(shù)學(xué)模型和相關(guān)求解方法，再通過模型正演的方式研究彈塑性介質(zhì)中的地震波波場(chǎng)。學(xué)者李建功等通過有限元分析軟件ANSYS/LS DYNA 模擬了地震波在具有初始應(yīng)力情況下的彈塑性巖石介質(zhì)中的傳播過程，并分析了該條件下的地震波傳播衰減規(guī)律。學(xué)者李亮等根據(jù)在循環(huán)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)特征，對(duì)彈塑性本構(gòu)模型進(jìn)行了改進(jìn)，以適應(yīng)地層介質(zhì)的實(shí)際變化情況。然后通過有限元分析軟件ANSYS/LS DYNA 對(duì)地震波傳播過程進(jìn)行模擬，并分析了該條件下的地震波傳播衰減規(guī)律。研究結(jié)果表明，地震波的衰減與傳播距離呈負(fù)指數(shù)變化，并指出波形的幾何擴(kuò)散和塑性變形是造成地震波衰減的主要原因。學(xué)者李亮等推導(dǎo)了基于SMP 破壞準(zhǔn)則對(duì)彈塑性=動(dòng)力本構(gòu)模型進(jìn)行改進(jìn)，并提出了求解彈塑性波動(dòng)問題的時(shí)域顯式有限元方法。

3 結(jié)語

地震波傳播理論經(jīng)過國(guó)內(nèi)外研究人員的不斷研究與創(chuàng)新，其理論體系逐漸完善，理論成果也更加成熟。彈性波動(dòng)理論多被用作復(fù)雜地層中地震波傳播的基礎(chǔ)，黏彈性和彈塑性介質(zhì)地震波的傳播更能體現(xiàn)實(shí)際地層中地震波的傳播特性。復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播過程十分復(fù)雜，常常采用解析解和數(shù)值解相結(jié)合的方式進(jìn)行研究。但研究過程中，研究人員在數(shù)學(xué)理論模型的建立和求解時(shí)，往往進(jìn)行了不同程度的簡(jiǎn)化，造成了理論和實(shí)際之間存在著一定的差異。所以對(duì)于地震波傳播特性的進(jìn)一步研究需要考慮更多因素的影響。