曲智勇，徐加寶

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電液伺服仿真及試驗系統(tǒng)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

六自由度軸耦合道路模擬試驗臺是目前最為先進的整車疲勞試驗設(shè)備[1]，以其能夠準(zhǔn)確再現(xiàn)車軸及整車多向應(yīng)力狀態(tài)并可提供多種靈活配置的測試方案的特點[2]，近年來在車輛的整車疲勞試驗中得到了最為廣泛的應(yīng)用。軸耦合道路模擬試驗系統(tǒng)在實際的測試過程采用四角配置，如圖1所示。

圖1 軸耦合試驗臺四角配置示意圖Fig.1 Four Corner Configuration Road Simulators Sketch

軸耦合道路模擬試驗系統(tǒng)每個角都是一種典型的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)，由6個液壓作動器驅(qū)動，通過輕質(zhì)高剛度的連桿施加載荷。桿系的特殊布局和結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)計，使得只有在一個或者兩個液壓缸做主動運動時就能實現(xiàn)臺架在某個自由度上的運動，最大程度地降低了液壓缸之間的運動耦合[5]。但是在上平臺大位移運動時各個液壓缸之間的耦合運動仍然十分明顯。這種耦合運動降低了試驗臺的控制特性，提高了控制要求。因此在研究其控制策略之前須對各液壓缸之間的耦合運動進行分析。以軸耦合道路模擬試驗系統(tǒng)的一個角為研究對象，首先對其進行運動學(xué)分析，然后使用聯(lián)合仿真的方法驗證了運動學(xué)分析的正確性。在此基礎(chǔ)上通過對運動雅克比矩陣的分析得出了在單自由度運動時主要產(chǎn)生耦合運動的桿系。

2 逆運動學(xué)分析

2.1 位姿描述

單角軸耦合道路模擬試驗臺主要由臺架和六個連桿、雙臂曲柄、液壓缸組成的桿系組成。為方便描述，將其分成6組桿系，如圖2所示。圖中標(biāo)出了關(guān)節(jié)處的運動副約束：S代表球鉸副，U代表虎克鉸副，R代表轉(zhuǎn)動副，T代表移動副，D定義為點線約束。其逆運動學(xué)分析解決的是已知臺架的位姿求解各驅(qū)動液壓缸運動狀態(tài)的問題[6]。定義上平臺慣性參考系和連體坐標(biāo)系：將兩個坐標(biāo)系原點建立在臺架中心，參考坐標(biāo)系Oxyz固定于慣性空間，連體坐標(biāo)坐標(biāo)系O′x′y′z′固定于執(zhí)行機構(gòu)，隨臺架運動，兩個坐標(biāo)系方向，如圖2所示[7]。

圖2 試驗臺桿系及坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Coordinate System Sketch

臺架的位置和姿態(tài)可以分別用體坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系中的位置矢量t和體坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系按照321方式旋轉(zhuǎn)的歐拉角 φ、θ、ψ 表示。

位置矢量坐標(biāo)和歐拉角完全確定了臺架的空間位姿，選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為 q=［x，y，z，φ，θ，ψ］T。

體坐標(biāo)系關(guān)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下[8]：

這里 s（·）=sin（·），c（·）=cos（·）。

臺架上的三個鉸點pi（i=1，2，3）在參考坐標(biāo)系下可表示為：

式中：q˙—臺架相對慣性系的廣義速度；ω—臺架相對慣性系的角速度矢量。

臺架角速度矢量在慣性參考系中坐標(biāo)分量是三個歐拉角φ、θ、ψ及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，角速度矢量坐標(biāo)表示為：

2.2 位置分析

根據(jù)各桿系空間矢量關(guān)系，分析軸耦合道路模擬試驗臺運動時的位置關(guān)系。首先求解各個桿系連桿長度矢量li（i=1，…，6）的矢量表達式，過程如下。3號桿系空間位置關(guān)系，如圖3所示。從圖中可得臺架垂直支撐桿l2、l3可以表示為：1號桿系空間位置關(guān)系，如圖4所示。連桿l1可以表示為：l1=-a1-b11--η1l3=η2η3+（η3-η2η3）-a1+

圖3 3號桿系空間位置關(guān)系圖Fig.3 No.3 Bar System Sketch

圖4 1號桿系空間位置關(guān)系圖Fig.4 No.1 Bar System Sketch

4號桿系空間位置關(guān)系，如圖5所示。

圖5 4號桿系空間位置關(guān)系圖Fig.5 No.4 Bar System Sketch

4號桿系連桿矢量l4可以表示為：

同樣地，對5號、6號桿系分析，連桿l5、l6可以表示為：

1～6號桿系雙臂曲柄主動臂矢量b2i、從動臂矢量b1i在慣性參考系｛b｝中表示為：

由式（6）～式（11）這6個運動約束方程即可建立整個軸耦合試驗臺臺架運動學(xué)關(guān)系?？蓪⑵湔砗髮懗山y(tǒng)一的矩陣方程的形式：

式中：L—各耦合連桿長度矢量構(gòu)成的矢量矩陣；

pb—輪轂鉸點位置矢量矩陣；

a—雙臂曲柄固定鉸點位置矢量矩陣；

b—雙臂曲柄被動臂上鉸點位置矢量矩陣；

P—臺架鉸點位置矢量的系數(shù)矩陣；

A—雙臂曲柄固定鉸點位置矢量的系數(shù)矩陣；

B—雙臂曲柄被動臂上鉸點位置矢量的系數(shù)矩陣。

其中各系數(shù)可以分別表示為：

通過矩陣方程式（14）可以得到臺架在某位姿下的各桿系雙臂曲柄轉(zhuǎn)動角度θi，進而可以求得雙臂曲柄主動臂矢量b2i、從動臂矢量b1i。

由圖3～圖5所示，各桿系液壓作動器長度矢量dn（n=1～6）表示為：

對式（15）進行取模運算，有：

由式（16）可求得液壓作動器長度di，各桿系液壓作動器單位長度矢量dui表示為：

2.3 速度分析

式（3）對時間求?導(dǎo)可以得到上平臺鉸點的速度，表示為式（18），其中為坐標(biāo)陣-：

式中：Jpiq—廣義速度到臺架鉸點速度的雅克比矩陣。

由式（14）可以得到各連桿的長度矢量li（i=1，…，6）為：

進行取模運算，可得：

由于連桿的長度為常值，因此對式（22）求導(dǎo)有：

由于η2是變量，求導(dǎo)可得：

對式（22）和式（23）進行整理，可以統(tǒng)一表示為：

式中：P′—臺架鉸點速度矢量的系數(shù)矩陣；B′—雙臂曲柄被動臂上鉸點速度矢量的系數(shù)矩陣。

設(shè)vb為雙臂曲柄被動臂上鉸點的運動速度，該速度由式可表示為：

其中，vb=b˙=［vb1…vb6］T；Jpq=［Jp1qJp2qJp3q］T；Jvbq=［Jvb1q…Jvb6q］T

式中：Jpq—廣義速度到臺架鉸點速度的雅克比矩陣；Jvpq—廣義速

度到被動臂上鉸點速度的雅可比矩陣。

雙臂曲柄在平面內(nèi)繞固定鉸點轉(zhuǎn)動，被動臂上鉸點的運動速度還可以表示為：

式中：ωb—雙臂曲柄轉(zhuǎn)動角速度。

則雙臂曲柄的轉(zhuǎn)動角速度ωb為：

式中：Jωbq—廣義速度到曲柄角速度的雅可比矩陣。設(shè)vd為雙臂曲柄主動臂鉸點的運動速度，該速度可表示為：

式中：Jvdq—廣義速度到雙臂曲柄主動臂鉸點速度的雅可比矩陣。

通過雙臂曲柄的轉(zhuǎn)動角速度，可以進一步求解出液壓缸的伸縮速度vdn，表示為：

式中：Jvdnq—廣義速度到液壓缸伸縮速度的雅可比矩陣。因此液壓缸角速度為：

3 逆運動學(xué)分析驗證

利用Simulink搭建了軸耦合道路模擬試驗臺逆運動學(xué)模型，并使用Simulink和ADAMS聯(lián)合仿真的方法驗證逆運動學(xué)分析的準(zhǔn)確性。根據(jù)試驗臺的性能指標(biāo)要求，給定上平臺六自由度的輸入如下。

在上平臺相同位姿下，通過求解Simulink逆運動學(xué)模型和ADAMS逆運動學(xué)模型解算出的六個液壓缸位移差值的方法驗證逆運動學(xué)分析的準(zhǔn)確性，部分仿真，如表1所示。

在六自由度的運動同時輸入時，將Simulink位置反解和ADAMS位置反解結(jié)果做差，得到各桿系液壓作動器誤差，如圖6所示。通過各個缸的誤差曲線圖，可以看出誤差能達到10-6m數(shù)量級，因此在誤差范圍內(nèi)可以斷認(rèn)為逆運動學(xué)分析是準(zhǔn)確的。

表1 部分仿真參數(shù)Tab.1 Partial Simulation Parameters

圖6 液壓缸位移誤差Fig.6 Error of Hydraulic Cylinder

4 各桿系耦合強度分析

軸耦合道路模擬試驗臺在臺架單自由度運動時只需一個或兩個液壓缸做主動運動時就能實現(xiàn)，各液壓缸的運動相對獨立，但是其他液壓缸也存在著比較大的耦合運動，且在臺架最大位移處各缸之間的耦合運動最大。因此，在該狀態(tài)下研究液壓缸之間的耦合特性。從逆動力學(xué)分析可以得出各液壓缸伸縮速度vd（nii=1，2，…，6）和廣義速度之間q˙的關(guān)系為：

從中可以看出在單自由度輸入時Jvdnq的每一列元素分別決定了在該自由度輸入時各個液壓缸的運動。因此可以用Jvdnq每一列元素與其中主要驅(qū)動液壓缸相對應(yīng)的雅克比系數(shù)的比值來分析單自由輸入時其他液壓缸耦合運動的大小。因此，定義耦合強度系數(shù)來描述臺架在x方向平動時1號液壓缸與6號液壓缸之間的耦合大小，表示為：x

臺架x方向平動時其他桿系的耦合強度系數(shù)計算以此類推。通過計算可以得出=0.0450.000=0.073，=1.23。因此在臺架x方向平動時1號、2號和5號桿系液壓缸會產(chǎn)生比較大的耦合運動，其余液壓缸的耦合運動可以忽略不計。同樣地，可以得出在其他方向運動時的主要耦合桿系，如表2所示。通過以上分析可以得出，1號、4號、5號和6號桿系在每個單自由度運動時都會產(chǎn)生比較大的耦合運動，對整個機構(gòu)的耦合性影響較大。3號桿系在x方向平動、y方向平動、x方向轉(zhuǎn)動是會產(chǎn)生比較大的耦合運動，對機構(gòu)耦合性的影響次之。2號桿系幾乎對機構(gòu)的耦合性不會產(chǎn)生影響。

表2 單自由度運動時主要耦合桿系Tab.2 The Main Coupling Rod System for Single-Degree-of-Freedom Movement

5 總結(jié)

詳盡地介紹了軸耦合道路模擬試驗臺逆運動學(xué)分析過程，并使用Simulink和ADAMS聯(lián)合仿真的方式有效驗證了逆運動學(xué)分析的正確性。最后，通過對廣義速度到液壓缸伸縮速度的雅克比矩陣分析，定義了耦合強度系數(shù)。對比耦合強度系數(shù)系數(shù)的大小得出在臺架單自由度運動時耦合運動較大的桿系。這對軸耦合道路模擬試驗臺的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和控制系統(tǒng)的研究而言，有一定的參考意義。