付興建，員乾乾，王天琛

（北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192）

0 引言

四旋翼飛行器，自從20 世紀(jì)中期問世以來，已經(jīng)有幾十年的發(fā)展歷史［1-3］，現(xiàn)如今無論是娛樂用的航模玩具，還是基于PIXHAWK 控制板的四旋翼系統(tǒng)所采用的控制策略大多是PID 控制。PID 控制器原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，但是PID 控制的抗干擾能力差、魯棒性弱。而四軸控制系統(tǒng)是一種復(fù)雜的多變量強(qiáng)耦合系統(tǒng)，加之在飛行過程中存在著各種各樣的不確定因素，簡(jiǎn)單的PID 算法不能達(dá)到很好的效果。對(duì)四旋翼系統(tǒng)中存在不確定性情況下的穩(wěn)定性問題的研究有重要的意義［4-5］。

隨著科技的發(fā)展，控制系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用越來越廣泛。狀態(tài)反饋以其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)發(fā)揮著重要的作用，無論是系統(tǒng)的極點(diǎn)配置還是線性二次型的最優(yōu)控制，利用狀態(tài)反饋的方法去分析是人們最先想得到的［5］。但是，在實(shí)際四旋翼飛行器中，狀態(tài)作為系統(tǒng)的內(nèi)部變量組，有的時(shí)候不可能全部被測(cè)量，有的時(shí)候又會(huì)在經(jīng)濟(jì)性和適用性等方面受到限制，這就使得狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)變成一件極其困難的事情。這就形成了一個(gè)比較復(fù)雜的矛盾，而解決這個(gè)矛盾的方法就是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，用觀測(cè)器得到一組逼近系統(tǒng)狀態(tài)的向量，從而得到基于狀態(tài)觀測(cè)器形式的輸出控制器［6］。

控制系統(tǒng)是使得被控的模型按照預(yù)期目標(biāo)運(yùn)行的系統(tǒng)，大部分控制系統(tǒng)是基于反饋控制原理實(shí)現(xiàn)的。經(jīng)典的反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)所需要被控對(duì)象的精確的數(shù)學(xué)模型。但是實(shí)際情況下，被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特征很難用精確的模型去描述。大部分情況下需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化才能進(jìn)行有效分析［7］。常用的方法就是用線性定常系統(tǒng)中參數(shù)模型代替實(shí)際高階系統(tǒng)，這樣必須引入不確定性，另外在控制系統(tǒng)的運(yùn)行過程中，還會(huì)出現(xiàn)環(huán)境的變化，元器件的老化問題，因此，不確定性是普遍存在的。魯棒控制中可以描述系統(tǒng)模型的不確定性信息［8-11］，并估計(jì)在某些條件下，達(dá)到控制目標(biāo)所留有的自由度。使得系統(tǒng)存在模型不確定情況下和外界干擾時(shí)，設(shè)計(jì)控制器使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的性能。本文將所提出的結(jié)論應(yīng)用于四旋翼飛行器中，通過求解狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制器，驗(yàn)證了存在不確定性的四旋翼飛行器系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，證明了本文所提方法的有效性。

1 問題描述

考慮如下帶外部擾動(dòng)的不確定系統(tǒng)：

假設(shè)1 系統(tǒng)的不確定性ΔA 和ΔB 矩陣滿足如下的形式

假設(shè)2 系統(tǒng)式（1），x0是初始狀態(tài)，（A，B）是可鎮(zhèn)定的，（A，C）是可觀的。

對(duì)于系統(tǒng)式（1），定義如下觀測(cè)器：

2 主要結(jié)果和證明

引理1［12］：已知對(duì)稱矩陣

其中，則下面的條件之間能相互轉(zhuǎn)換：

引理3［14］：設(shè)x，y 是適當(dāng)維度的向量，則下列不等式成立

其中，

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)

其中，P1和P2為正定矩陣。對(duì)選取的Lyapunov 函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)式（1）與式（5）進(jìn)行求導(dǎo)

根據(jù)引理3，則存在正實(shí)數(shù)a，b，c 使得下面的式子成立

可得

對(duì)上面式子整理變換可得：

其中

定義如下所示的性能指標(biāo)

把式（10）帶入可得到

其中

3 四旋翼飛行器實(shí)例仿真

以某種四旋翼飛行器為例［15］，選定俯仰角、俯仰角速度、滾動(dòng)角、滾動(dòng)角速度、偏航角、偏航角速度為系統(tǒng)6 個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)輸入量為：前、后、左、右4個(gè)電機(jī)的電壓，則狀態(tài)方程參數(shù)為：

選擇

根據(jù)四旋翼飛行器的狀態(tài)參數(shù)，選取a=0.47，b=1.2，c=0.7。在MATLAB 中根據(jù)LMI 工具箱求解可得狀態(tài)反饋增益的值。

狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖1～圖3 所示。

圖1 翻滾角狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖2 俯仰角狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖3 偏航角狀態(tài)響應(yīng)曲線

從圖1～圖3 的狀態(tài)響應(yīng)曲線可看出，系統(tǒng)的狀態(tài)在很短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，從而表明設(shè)計(jì)的基于觀測(cè)器的魯棒控制器的有效性。因此，存在不確定性的四旋翼飛行器系統(tǒng)，在魯棒控制作用下，在較短時(shí)間內(nèi)即可達(dá)到穩(wěn)定并且滿足一定的性能要求。

4 結(jié)論

考慮了狀態(tài)不容易測(cè)量的范數(shù)有界的不確定四旋翼飛行器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制，通過推導(dǎo)得到魯棒控制和狀態(tài)觀測(cè)器滿足的不等式，通過Schur 補(bǔ)引理，將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式。仿真實(shí)驗(yàn)證明了基于觀測(cè)器的魯棒控制器的有效性。