周子渝 侯 晨 周有嶒 馮 瑜*

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 玉林537000）

隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，人們的信息保密工作變得越來越重要.而如今，混沌加密是應(yīng)用最廣泛的通訊保密技術(shù)。由于正的Lyapunov 指數(shù)會使吸引子運行軌跡會變得互不相關(guān)，而它們的軌道將很快變得互不相關(guān)，以致混沌系統(tǒng)對初始條件具有很高的敏感依賴性，即完全相同系統(tǒng)對于極小差異的初始條件，其運行軌跡存在著很大不同，這使混沌加密成為信息安全領(lǐng)域研究一大熱點[1]。

自1990 年，Pecora L M 和Carroll T L 提出了混沌同步的方法，首次采用驅(qū)動- 響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)了兩個系統(tǒng)的同步[2]，使混沌系統(tǒng)應(yīng)用到信息保密通信領(lǐng)域成為可能. 早期應(yīng)用的混沌系統(tǒng)是低維的，其安全性并不高，由于密鑰空間不夠，易受到外來明文的攻擊，其密鑰也容易被破譯。隨著研究的深入，越來越多的研究學(xué)者發(fā)現(xiàn)低維混沌系統(tǒng)存在著不安全性與局限性，開始轉(zhuǎn)向?qū)Τ煦缦到y(tǒng)進(jìn)行研究. 超混沌系統(tǒng)因其密鑰空間的復(fù)雜性，在很大程度上提高了通訊保密工作的安全性，為信息安全領(lǐng)域提供了豐富的信息源。如[3]-[4]探討了不同種類的超混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題。

只有混沌信號達(dá)到同步狀態(tài)才能正確解密，從而得到正確的明文信息。迄今已提出了各種實現(xiàn)混沌信號同步方法，如驅(qū)動- 響應(yīng)同步法、投影同步法及自適應(yīng)同步法等[5]。本文主要運用驅(qū)動- 響應(yīng)同步法，利用合理的控制器，對四維超混沌Chen系統(tǒng)進(jìn)行定性分析研究，使兩個超混沌系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài)。

1 基本定義

定義2：設(shè)x˙=f（x）+g（x）u 為控制系統(tǒng)，其中u 為控制函數(shù)，V（x）為正定函數(shù)且是該系統(tǒng)的一個控制Lyapunov 函數(shù)，若函數(shù)V（x）是無窮可微的，則由LgV（x）=0（x≠0）可得到LfV（x）＜0。[3]

2 確定參數(shù)系統(tǒng)的有限時間同步

基 于Lyapunov 函 數(shù) 穩(wěn) 定 定 律，取 參 數(shù)（a，b，c，d）=（35，3，12，7，0.2）時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。其中x1，x2，x3，x4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c，d，r 為系統(tǒng)實參數(shù)。

四維超混沌Chen 系統(tǒng)[6]：

其中（1）式為驅(qū)動系統(tǒng)，（2）式為響應(yīng)系統(tǒng)，為使（1）式與（2）式達(dá)到同步狀態(tài)，在（2）式中每個方程右邊都加上系統(tǒng)同步控制變量ui（i=1，2，3，4），令ei=yi-xi（i=1，2，3，4）為（1）式和（2）式之間的狀態(tài)誤差。

則誤差方程為：

證明 由題設(shè)知。

（e1，e2，e4），即e1=e2=e4=0，從而

所以V（e）是系統(tǒng)（4）的控制Lyapunov 函數(shù)。

引理2 選取控制器為[6]

時，在有限時間T 內(nèi)使得（1）式與（2）式達(dá)到同步狀態(tài)。

3 仿真研究

本文考慮響應(yīng)系統(tǒng)在控制器作用下與驅(qū)動系統(tǒng)的同步仿真，在有限時間同步仿真研究中，選取系統(tǒng)參數(shù)值（a，b，c，d）=（35，3，12，7，0.2），驅(qū)動系統(tǒng)及響應(yīng)系統(tǒng)所取初始值分別為（x1，x2，x3，x4）=（2-4 3-1），（y1，y2，y3，y4）=（4-1 2-3）時間步長t=0.0002s，再利用MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，我們發(fā)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)（1）將在時間T=6s 內(nèi)與響應(yīng)系統(tǒng)（2）達(dá)到同步，確定參數(shù)系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖所示。分析得出，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致。