劉 毅,梅玉鵬,李國燕,潘玉恒

(天津城建大學 計算機與信息工程學院,天津 300384)

0 概述

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(Networked Control System,NCS)是由網(wǎng)絡形成的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)。在該類系統(tǒng)中,傳感器、控制器與執(zhí)行器的數(shù)據(jù)傳輸都是通過網(wǎng)絡實現(xiàn)的[1-2]。NCS不僅能節(jié)省系統(tǒng)設計成本,還使得遠程信息資源共享成為可能,其可維護性和靈活性強,在工業(yè)控制網(wǎng)絡、無人機等領域應用廣泛,是控制系統(tǒng)的一個發(fā)展方向,具有重要的研究價值[3-5]。

網(wǎng)絡切換控制系統(tǒng)是NCS中十分重要的一種類型。研究者利用切換系統(tǒng)理論對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)進行分析,取得了較多的成果[6-8],其中采用平均駐留時間法設計系統(tǒng)的切換律,受到了許多學者的關注[9-11]。文獻[12]采用平均駐留時間法研究了網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的丟包和時延問題,給出系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。文獻[13]采用平均駐留時間法對網(wǎng)絡切換系統(tǒng)的故障檢測等問題進行研究,并結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)理論,給出系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。文獻[14]采用平均駐留時間法研究了存在雙邊時變時延的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定問題。但上述文獻均未考慮系統(tǒng)非線性的情況,而在現(xiàn)代工業(yè)過程中存在嚴重的非線性,因此,研究非線性網(wǎng)絡切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題具有重要價值。目前,采用T-S模型建模并結(jié)合平均駐留時間法分析該類系統(tǒng)穩(wěn)定控制問題的研究成果較少。

隨著現(xiàn)代工業(yè)過程的日趨復雜,在實際的切換模糊控制系統(tǒng)中,不可避免地存在著控制器參數(shù)攝動[15],并且普遍存在時滯[16]。為此,文獻[17-18]研究了網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的非脆弱控制問題,文獻[19-20]針對系統(tǒng)中存在的時滯問題進行了研究?？刂破鲄?shù)攝動、系統(tǒng)參數(shù)不確定和時滯是造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個主要原因。文獻[21]針對帶有時滯的不確定切換模糊系統(tǒng)的非脆弱控制問題,運用李雅普諾夫函數(shù)法設計系統(tǒng)切換律,并給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。

本文在文獻[21]的基礎上,考慮系統(tǒng)存在時變時滯及網(wǎng)絡時延的情況,通過運用平均駐留時間法、李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及線性矩陣不等式,得到NCS中的切換律、控制器的設計方法和使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的平均駐留時間條件。

1 問題描述

x(k+1)=(Aσi+ΔAσi)x(k)+

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+

(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)

x(k)=Ψ(k),k∈[-d,0],i=1,2,…,Nσ

(1)

假設1不確定矩陣是模有界的,即:

(2)

結(jié)合PDC算法,由單點模糊化、乘積推理和平均加權(quán)反模糊化,系統(tǒng)(式(1))可表示為:

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

(3)

其中,切換信號σ可以由函數(shù)vσ(x(k))來刻化。當切換信號傳遞到子系統(tǒng)時,vσ(x(k))=1,反之vσ(x(k))=0。

設計模糊狀態(tài)反饋控制器形式如下:

(4)

其中,Kσi表示控制增益矩陣,ΔKσi表示控制增益攝動矩陣。

假設2控制器增益攝動滿足:

ΔKσi=HσiRσi(k)Gσi

將式(4)代入式(3),可得:

μσj(z(k))[(Aσi+ΔAσi)x(k)+(Adσi+ΔAdσi)×

x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)(Kσj+ΔKσj)x(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)(Kσj+ΔKσj)x(k-1)]=

(5)

其中:

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)要達到指數(shù)穩(wěn)定,切換信號σ需滿足平均駐留時間條件。

定義1[22]若存在標量δ>0以及0<γ<1,使得‖x(k)‖≤δγ(k-k0)‖x(0)‖,k≥k0≥0,則網(wǎng)絡切換模糊時滯系統(tǒng)(式(1))在切換信號σ作用下是指數(shù)穩(wěn)定的,γ表示衰減率。

定義2[23]對于任意時刻t2>t1>0,以Nσ(t1,t2)表示時間段[t1,t2]上的切換次數(shù),若存在Tα>0,N0≥0使式(6)成立,那么常數(shù)Tα為平均駐留時間,N0是抖振界,本文取N0=0。

(6)

2 理論推導

定理1假設有正定對稱矩陣Pσ,Sσ,Qσ和矩陣Kσi,常數(shù)λ∈(0,1),μ∈[1,+)及ε≥0使得:

(7)

Vσ(ki)≤μVσ(kj),?i,j∈M

(8)

并且,切換信號滿足平均駐留時間:

(9)

那么,系統(tǒng)(式(1))是指數(shù)穩(wěn)定的,并且系統(tǒng)狀態(tài)估計為:

在式(7)～式(9)中:

θ1=-4(1-λ)Pσ+4Sσ+4(1-dM-dm)Qσ+

(BσjHσi)(BσjHσi)T]

Ξ1=Aσi-BσiKσj+Aσj-BσjKσi

(BdσiHσj)(BdσiHσj)T]

其中,*是對稱位置矩陣的轉(zhuǎn)置。

證明對于第σ個子系統(tǒng),選取時滯依賴的Lyapunov-Krasovskii泛函為:

(10)

其中:

V1σ(x(k))=xΤ(k)Pσx(k)

V4σ(x(k))=xΤ(k-1)Sσx(k-1)

由式(10)可知,存在2個正數(shù)ξ1、ξ2使得:

ξ1x2≤Vσ(x(k))≤ξ2x2

(11)

其中:

記Lyapunov函數(shù)的差分為ΔVσ(k),則對于V1σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV1σ(x(k))+λV1σ(x(k))=

V1σ(x(k+1))-(1-λ)V1σ(x(k))=

xT(k+1)Pσx(k+1)-(1-λ)xT(k)Pσx(k)

(12)

由引理1可得:

(13)

其中:

對于V2σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV2σ(x(k))+λV2σ(x(k))=

V2σ(x(k+1))-(1-λ)V2σ(x(k))=

(1-λ)d(k)xΤ(k-d(k))Qσx(k-d(k))

(14)

由上式可知:

(15)

由此可得:

ΔV2σ(x(k))+λV2σ(x(k))≤

(1-λ)dMxΤ(k-d(k))Qσx(k-d(k))

(16)

對于V3σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV3σ(x(k))+λV3σ(x(k))=

V3σ(x(k+1))-(1-λ)V3σ(x(k))=

(1-dm-2+dM+1)xΤ(k)Qσx(k)-

(17)

對于V4σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV4σ(x(k))+λV4σ(x(k))=

V4σ(x(k+1))-(1-λ)V4σ(x(k))=

xΤ(k)Sσx(k)-xΤ(k-1)Sσx(k-1)

(18)

結(jié)合式(12)～式(18)可得:

ΔVσ(x(k))+λVσ(x(k))≤

(19)

其中:

Ω=-4(1-λ)Pσ+4Sσ+4(1+dM-dm)Qσ

Φ222=Φ122-4(1-λ)dMQσ

Φ233=Φ133-4Sσ

由式(19)可知,若式(20)成立,則ΔVσ(x(k))+λVσ(x(k))<0成立。

(20)

應用Schur分解方法,式(20)可化為:

(21)

其中:

(22)

其中:

(23)

以上推導說明,在滿足式(7)的條件下:

Vσ(x(k+1))-Vσ(x(k))+λVσ(x(k))≤0

即:

Vσ(x(k+1))≤(1-λ)Vσ(x(k))

(24)

由式(8)和式(24)可得:

Vσ(x(k))≤(1-λ)(k-k0)μ(k-k0)/TαVσ(0)=

((1-λ)μ1/Tα)(k-k0)Vσ(0)

(25)

由式(11)和式(25)可得:

ξ1‖x(k)‖2≤Vσ(x(k))≤((1-λ)μ1/Tα)(k-k0)×

Vσ(0)Vσ(0)≤ξ2‖x(0)‖2

則指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài)估計為:

(26)

因此,根據(jù)式(9)和式(26)可得γ<1,系統(tǒng)(式(1))在所設計的切換律下是指數(shù)穩(wěn)定的。

X1*********GσiXσ-ε24σijI********GσjXσ0-ε24σijI*******GσiXσ00-ε25σijI******GσjXσ000-ε25σijI*****E1σiXσ-E2σiNσj0000θ2****E1σjXσ-E2σjNσi00000θ3***Λ000000X2**00000000-4(1-λ)dMMσ*00000000E3σiXσ-ε22σijI00000000E3σjXσ000000000AdσiXσ+AdσjXσ000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000→←****************************************************************************************************-ε22σijI*********0-13Xσ+ε22σijD-********00-4Wσ*******00GσiXσ-ε26σijI******00GσjXσ0-ε26σijI*****00GσiXσ00-ε27σijI****00GσjXσ000-ε27σijI***00E4σiNσj0000θ7**00E4σjNσi00000θ8*00-BdσiNσj-BdσjNσi000000X3<0(27)

X1=-4(1-λ)Xσ+4Wσ+4(1-dM-dm)Mσ

(BσjHσi)(BσjHσi)T]

(BdσiHσj)(BdσiHσj)T]

Λ=AσiXσ-BσiNσj+AσjXσ-BσjNσi

3 仿真實驗

本文通過2個仿真實驗來驗證本文方法的有效性。

實驗1對于如下不確定網(wǎng)絡切換模糊時滯系統(tǒng):

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

其中:

取隸屬度函數(shù):

μ11(x1(k))=μ12(x2(k))=1-1/(1+e-4x1(k))

μ21(x1(k))=μ22(x2(k))=1/(1+e-4x1(k))

選取初始點[0.3,-0.1]Τ,利用MATLAB仿真,系統(tǒng)狀態(tài)曲線如圖1所示,其切換信號如圖2所示。由仿真結(jié)果可知,在本文所設計的切換律和控制器下,系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。文獻[21]中,取時滯時間d=1,系統(tǒng)狀態(tài)曲線如圖3所示。

圖1 網(wǎng)絡切換模糊系統(tǒng)的狀態(tài)曲線

圖2 網(wǎng)絡切換模糊系統(tǒng)的切換信號

圖3 采用文獻[21]方法的系統(tǒng)狀態(tài)曲線

Fig.3 State curve of network switched fuzzy system using the method in Ref.[21]

本文選取的時滯1≤d≤4,文獻[21]中的時滯d=1,因此,本文中的時滯不小于文獻[21]中的時滯。由圖1和圖3可知,即使本文考慮了系統(tǒng)存在網(wǎng)絡時延和時變時滯的情況,系統(tǒng)的收斂速度依然比文獻[21]中系統(tǒng)的收斂速度快。由此可知,采用平均駐留時間法設計系統(tǒng)的切換律,系統(tǒng)收斂速度更快,性能指標更好。

實驗2針對圖4所示的倒立擺系統(tǒng),根據(jù)牛頓力學定律,建立系統(tǒng)的動態(tài)方程(不計倒立擺系統(tǒng)中的各種摩擦力):

其中,x1為擺與垂直線的夾角,x2是角速度,g=9.8 m/s2是重力加速度,a=1/(m+M),擺的質(zhì)量m=2 kg,車的質(zhì)量M=8 kg,擺的長度l=0.5 m,u為作用于小車的力。

圖4 倒立擺系統(tǒng)

假設x1受時滯干擾,將擺角范圍[-30°,30°]分成2個區(qū)域R1和R2,區(qū)域R1為15°<|x1|≤30°,區(qū)域R2為|x2|≤15°,分別建立2個模糊子系統(tǒng),并得網(wǎng)絡切換模糊時滯系統(tǒng)模型:

[(Aσi+ΔAσi)x(k)+(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+

(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

其中:

當|x1|≤15°時,取隸屬度函數(shù)為:

μ21(x1(k))=1-|x1(t)|/15

μ11(x1(k))=|x1(t)|/15

當15°<|x1|≤30°時,取隸屬度函數(shù)為:

μ21(x1(k))=|x1(t)|/15-1

μ11(x1(k))=2-|x1(t)|/15

選取初始角度為x1(0)=25°,x2(0)=0,利用MATLAB仿真,系統(tǒng)的狀態(tài)曲線如圖5所示,其切換信號如圖6所示。由仿真結(jié)果可知,在本文所設計的切換律下,系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

圖5 倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)曲線

圖6 倒立擺系統(tǒng)的切換信號

4 結(jié)束語

本文針對帶有時滯的網(wǎng)絡切換模糊系統(tǒng),采用平均駐留時間法,選取合適的李雅普諾夫函數(shù),設計了系統(tǒng)切換律并完成控制器的求解,給出時滯相關的網(wǎng)絡切換模糊系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。仿真結(jié)果表明,與文獻[21]中的李雅普諾夫函數(shù)法相比,采用平均駐留時間法設計系統(tǒng)的切換律,可有效加快系統(tǒng)收斂速度,優(yōu)化指標性能。下一步將在本文研究的基礎上對系統(tǒng)的H∞控制和故障檢測問題進行分析。