陳俊學，張斗國

（1.西南科技大學理學院，四川綿陽621010）

（2.中國科學技術大學光學與光學工程系，安徽合肥230026）

表面等離激元（Surface Plasmon Polaritons,SPP）是電磁波與金屬表面自由電子耦合而形成的一種沿金屬表面?zhèn)鞑サ慕鼒鲭姶挪?。在過去20 年，SPP 以及相關功能器件的研究引起了人們的廣泛關注[1-7]。SPP能作為信息載體，可以實現(xiàn)突破衍射極限的光傳輸。同時，由于SPP高度的空間局域特性，SPP的激發(fā)能極大地增強局域電場強度。此外，SPP還對結構表面形貌非常敏感，通過調節(jié)表面結構形貌可以控制SPP傳播的路徑[8-12]。在以前的研究中，通過在金屬膜上或者里面制作表面缺陷結構，已經實現(xiàn)了很多SPP的功能器件，如SPP 波導[13-14]、反射鏡、棱鏡和分束器[15]、SPP光子帶隙晶體[16-19]和產生非衍射的SPP光束[20-24]。在這些結構中，金屬膜體系中只存在一個表面電磁模式（即SPP 模式）。然而，由于SPP模式具有高的傳輸損耗和低的共振Q值，這阻礙了SPP在很多方面的實際應用。而波導模式具有低的傳輸損耗，如果能將SPP和波導模式耦合，就能與其他器件（如源和探測器等）集成。在金屬薄膜（如金或銀膜）上覆蓋一層電介質層，如PMMA或SiO2層，可以構造電介質覆蓋的金屬波導（Dielectric-coated Metal Waveguide，DMW）。除了SPP模式外，該波導體系還支持波導模式傳播。在這個體系中，由于波導模式具有低的傳輸損耗和對電介質層厚度敏感等特性，波導模式已經被用來實現(xiàn)高效的熒光輻射[25-26]和偏振編碼控制的量子非門[27]、引力透鏡效應[28]、構造窄的非衍射光束[29]和沿任意路徑加速光束傳播[29-30]。同時，體系中波導模式也被用來同時實現(xiàn)幾何光學的自聚焦效應和波動光學的Talbot 效應[31]。在這些應用中，人們的關注重點是波導模式，而SPP模式被忽略掉了，很少有文獻報道在這種介質覆蓋金屬膜體系中，SPP和波導模式間的相互作用以及結構表面缺陷如何同時影響SPP和波導模式的傳播。

在本文中，我們通過在電介質覆蓋金屬波導的頂層，引入一維亞波長凹槽結構來研究SPP和波導模式間的相互作用。相對于在金屬膜上制作凹槽結構（只存在SPP模式），在電介質覆蓋金屬波導上由于共存有兩個電磁模式，凹槽結構將帶來更加復雜的光子能帶結構。這將為發(fā)展二維光子學器件，如光子芯片、耦合器和方向性激發(fā)SPP和波導模式提供有效的方案。

1 電介質覆蓋金屬波導的導波性質

圖1（a）中給出了電介質覆蓋金屬波導的結構示意圖。該波導由一厚度為h的SiO2層覆蓋在厚度為300 nm 的銀膜上組成，整個結構放置在玻璃基底上。在數(shù)值模擬中，結構的工作波長為785 nm，材料SiO2、玻璃和銀的折射率分別為1.46、1.515和0.033+i5.44[32]。圖1（b）給出了模式有效折射率（包括SPP，TM和TE偏振導波模式）隨SiO2層厚度的變化關系。從圖中可以看出，隨著厚度h的減小，導波模式的有效折射率也會隨之減小。TM1和TE0模式的截止厚度分別為320 nm 和170 nm。那么通過改變SiO2層的厚度，可以調節(jié)導波模式的傳播。在本文中，為了比較模式轉換效應對SPP和波導模式光子能帶的影響，SiO2層的厚度分別固定在160 nm（只支持SPP 模式）和250 nm（同時支持SPP和TE0模式）。在厚度h=250 nm時，SPP和TE0模式的電場分布分別在圖1（c）和1（d）中給出。為了簡化描述，我們將SPP和TE0模式都命名為結構的導波模式。

圖1 （a）電介質覆蓋金屬波導結構示意圖；（b）SPP和波導模式有效折射率隨SiO2層厚度h的變化關系；（c）SPP模式對應的歸一化的電場分布（Ex和Ez分量）；（d）TE0模式對應的歸一化電場分布（Ey分量）

1.1 僅支持SPP模式結構的光子能帶

圖2（a）給出了電介質覆蓋金屬波導中模式轉換結構的示意圖。在SiO2層的表面制作了7個橫截面為矩形的凹槽。凹槽的寬度和深度分別表示為wg和hg，相鄰凹槽的間距表示為Ld。符號θi、θr和θt分別表示導波模式的入射、反射和透射角度。當導波模式斜入射到凹槽上，該模式除了發(fā)生部分反射和透射外，由于凹槽界面的不連續(xù)性，導波模式間（SPP模式和TE0模式）的模式轉換也會隨之發(fā)生[33]。通過模式轉換，SPP模式可以被TE0模式激發(fā)，反之亦然。本文中，導波模式的傳輸性質通過非周期的嚴格耦合波分析方法進行研究（Aperiodic Rigorous Coupled-Wave Analysis，ARCWA）[18,34-36]。為了確保結果的收斂性，ARCWA中傅立葉展開階數(shù)取140。當入射波是SPP模式時，Rpp和Tpp分別表示SPP模式的反射率和透射率，Rps和Tps分別表示TE0模式在結構反射端和透射端的產生效率。同樣，當入射波是TE0模式時，Rss和Tss分別表示TE0模式的反射率和透射率，Rsp和Tsp分別表示SPP模式在結構反射端和透射端的產生效率。一般來說，模式的轉換效率正比于凹槽的深度。然而凹槽越深，導波模式穿過凹槽時，模式的散射損耗也就越大[38]。為了平衡模式的散射損耗與轉換效率，本文中，凹槽的寬度和深度分別固定在250 nm和120 nm。如圖1（b）所示，當SiO2層的厚度減小為160 nm時，波導結構只支持SPP模式，這種結構是被廣泛研究的波導結構，在波導表面制作凹槽結構，可以實現(xiàn)SPP布拉格反射鏡。這里，我們先描述凹槽結構實現(xiàn)的SPP光子能帶結構。當SPP模式入射到7個凹槽結構時，圖2（b）和2（c）分別給出了結構反射率（Rpp）和透射率（Tpp）隨入射角和間距Ld的變化關系。由于在凹槽內部和外部，SPP模式具有不同模式的有效折射率，當SPP入射到凹槽上時，與平面波在高低折射率組成的多層膜體系中的傳播情況類似，在二維平面上SPP將經歷部分反射和透射。當SPP穿過多個凹槽時，由于反射和透射SPP模式間的干涉效應，將形成SPP模式的導帶和禁帶。

為了比較導波模式和平面波光子能帶結構，我們首先了解導波模式和平面波斜入射時偏振行為的差異。圖3（a）和3（b）分別給出了導波模式穿過多個凹槽和平面波穿過電介質多層膜時的偏振行為示意圖。如圖3（a）所示，當TE0模式以角度θi入射到凹槽上時，TE0模式的電場（沿ey′方向）在光波入射面（由入射波矢和界面法線方向決定）內。因此，對比圖3（b）可知，當TE0以角度θi入射到凹槽上時，TE0模式將表現(xiàn)出類似于TM偏振平面波的電磁行為。對于SPP模式入射時，SPP模式的電場不僅有垂直于入射面的分量（沿ez′方向），還含有入射面內的分量（沿ex′方向）。由于入射面內重疊的電場分量，當TE0模式和SPP模式斜入射到凹槽時，TE0模式和SPP模式間會發(fā)生模式耦合效應，而這個效應在平面波入射到各向同性的電介質多層膜體系中是沒有的。從圖1（c）中可以看出，SPP模式沿ez′方向的電場分量幅度遠大于沿ex′方向的分量。那么，當SPP模式斜入射到凹槽上時，SPP模式將展示類似于TE偏振平面波的電磁行為。對于電介質多層膜體系，TE偏振平面波光子帶隙邊界在圖2（b）和2（c）中以虛線形式表示。電介質多層膜結構中光子能帶結構通過以下的布洛赫方程得到[37]：

圖2 （a）電介質覆蓋金屬波導中模式轉換結構示意圖；（b）SPP模式的反射譜；（c）SPP模式的透射譜

圖3 導波模式和平面波斜入射時偏振行為的比較。（a）導波模式穿過凹槽結構的示意圖；（b）TE和TM偏振平面波斜入射到多層膜結構的示意圖

注 多層膜由折射率為n1和n2，厚度為h1和h2的介質層交替組成。TE0模式（電場沿ey′方向）和SPP模式（電場沿ex′和ez′方向）以角度θi入射到凹槽上，neff,1和neff,2分別表示導波模式在凹槽內部和外部的模式有效折射率這里Λ=h1+h2是介質多層膜的周期，h1和h2分別是低折射率（n1）和高折射率（n2）介質層的厚度。γα=，α=1,2，是平面波沿X軸方向的縱向波數(shù)；β是平行于Y軸的橫向波數(shù)；K是多層膜的布洛赫波數(shù)。當?shù)仁剑?）和（2）左邊的余弦項的值為1或-1時，可以得到多層膜結構光子帶隙的邊界[37]。在數(shù)值模擬中，為了比較導波模式和平面波的光子能帶結構，折射率n1和n2分別取導波模式在凹槽內部和外部的模式有效折射率值。類似的，厚度h1和h2分別等于凹槽寬度wg和間隔距離Ld。如圖2（b）和2（c）中所示，在虛線表示的區(qū)域內，SPP模式表現(xiàn)出強的反射和低的透射率。這表明，SPP模式在穿過多個凹槽后表現(xiàn)出類似于TE偏振平面波在多層膜中的光子能帶結構。

1.2 同時支持SPP和TE0模式結構的光子能帶

當SiO2層的厚度增加到250 nm時，結構支持SPP和TE0模式。當入射波是SPP模式時，圖4（a）、(b)分別表示SPP模式的反射率（Rpp）和透射率（Tpp）隨入射角度和間隔距離Ld的變化情況，其中的虛線表示TE偏振平面波在多層膜中的光子帶隙邊界。當入射波是TE0模式時，圖4（c）和圖4（d）分別表示TE0模式的反射率（Rpp）和透射率（Tpp）隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系，其中的虛線表示TM偏振平面波在多層膜中的光子帶隙邊界。結構中凹槽的寬度和深度分別為250 nm和120 nm。在圖4（a）和（c）中的紅色區(qū)域表示高反射率；在4（a）和（d）中紅色區(qū)域表示高透射率。

圖5（a）和5（b）分別表示，當SPP模式入射到7個凹槽結構時，在凹槽反射端模式轉換效率Rps和凹槽透射端模式轉換效率Tps隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系。由等式（13）和（15）得到的結果在圖5中分別以圓形和三角形符號表示。圖5（c）、（d）分別表示當入射波為TE0波導模式時，在凹槽反射端模式轉換效率Rsp和在凹槽透射端模式轉換效率Tsp隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系。圖中紅色區(qū)域表示強的模式轉換效率。

下面將討論圖4（b）和4（d）中低透射帶（標記為A和B）的物理起源。當SPP模式入射到凹槽上時，圖5（a）和5（b）分別給出了從SPP到TE0模式的模式轉換效率隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系。其中，Rps和Tps分別表示在結構反射端和透射端從SPP模式到TE0模式轉換效率。通過比較圖4（b）、5（a）和5（b）給出光子能帶結構，我們發(fā)現(xiàn)，SPP模式透射譜中出現(xiàn)的低透射帶A和B（如圖4（b）所示)分別歸因于TE0模式在結構反射端（Rps，如圖5（a）所示）和透射端的激發(fā)（Tps，如圖5（b）所示）。從圖5（a）和5（b）中可以看出，受SPP模式禁帶的影響，低透射帶A和B會出現(xiàn)不連續(xù)的分布。低透射帶A和B的位置可以通過反射波和透射波的干涉相長條件獲得。在數(shù)學上，可以通過廣義Fresnel公式來描述導波模式在凹槽間的反射、透射和模式轉換[38]。廣義Fresnel公式可以通過導波模式在兩個凹槽間的反射和透射來得出。

圖4 SPP模式的（a）反射率（Rpp）和（b）透射率（Tpp）；TE0模式的(c)反射率（Rss）和（d）透射率（Tss）

圖5 SPP模式入射時，（a）凹槽反射端模式轉換效率Rps；（b）凹槽透射端模式轉換效率Tps；當入射波為TE0波導模式時，（c）凹槽反射端模式轉換效率Rsp；（d）凹槽透射端模式轉換效率Tsp

2 模式轉換對導波模式光子能帶結構的影響

當SiO2層的厚度增加到250 nm 時，結構同時支持SPP 和TE0模式的傳播。當SPP 模式入射到凹槽上時，除了部分反射和透射SPP模式外，也會激發(fā)起TE0模式。圖4（a）和4（b）分別給出了SPP模式反射率和透射率隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系。類似于圖2（b）和2（c）的結果，在虛線表示的范圍內，SPP表現(xiàn)出高反射和低透射特性。模擬中，多層膜中折射率n1=1.311 和n2=1.458 分別對應于在凹槽內部和外部SPP模式的有效折射率。此外，在圖4（b）中可以看到在SPP的導帶中，出現(xiàn)了兩個標記為A和B的低透射帶。這兩個透射帶在僅含有SPP模式的結構中沒有出現(xiàn)（如圖2（c）所示）。這新出現(xiàn)的低透射帶來自于SPP和TE0模式間的模式轉換。當入射波為TE0模式時，圖4（c）和4（d）分別給出了TE0模式的反射率和透射率隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系。由于斜入射到凹槽上的TE0模式，在偏振特性上表現(xiàn)出類似于TM偏振平面波的特性，在反射譜上可以觀察到TE0模式的布儒斯特角效應（如圖4（c）所示）。在這個入射角度下，結構的光子禁帶寬度為零。從圖中可以看出，該結構的布儒斯特角約為38°。與SPP模式的情況類似，在圖4（d）中可以看到在TE0模式的導帶中，也出現(xiàn)了兩個標記為A和B的低透射帶。這兩個透射帶歸因于TE0模式到SPP模式間的轉換。

2.1 SPP與TE0模式間的模式轉換

下面我們引出描述導波模式傳輸?shù)膹V義Fresnel公式。在SPP模式入射到兩個凹槽結構上時，圖6（a）給出了SPP模式的反射率（Rpp）、透射率（Tpp）和模式轉換效率（Rps和Tps）隨入射角度的變化關系。結構中凹槽間距Ld=400 nm，凹槽的寬度和深度分別為250 nm 和120 nm。為了方便顯示，Tps的幅度被放大了5倍。由于凹槽內部和外部SPP模式具有不同的模式有效折射率,當SPP模式穿過凹槽時將經歷來回多次反射。反射波間的干涉效應將導致SPP的反射譜和透射譜中出現(xiàn)峰值和低谷。而且，干涉效應也會增強SPP模式的轉換效率（Rps和Tps）。圖6（b）給出了SPP模式在兩個凹槽間的反射、透射和模式轉換的簡化模型。這里凹槽被認為是一個等價界面。這樣含有兩個凹槽的結構通過兩個等價界面分為3個部分。這3個部分分別標記為0、1和2區(qū)域。SPP模式在0區(qū)域入射。當SPP模式從i區(qū)域到j區(qū)域傳播時，和分別表示SPP模式的反射和透射系數(shù)和分別表示SPP到TE0模式的轉換系數(shù)。同樣的，當TE0模從i區(qū)域到j區(qū)域傳播時，和分別用來表示TE0模式的反射、透射和模式轉換系數(shù)。對于簡化的模型和定義的系數(shù)，廣義Fresnel 公式可以被用來描述SPP和TE0模式間的模式轉換。

當SPP（TE0）模式以幅度（）入射時，SPP和TE0模式在凹槽反射端（和）和透射端（和）的幅度滿足如下關系：

圖6 SPP模式入射到兩個凹槽的結構上時，（a）SPP的反射率（Rpp）、透射率（Tpp）以及模式轉換效率（Rps和Tps）隨入射角度的變化關系；（b）SPP模式穿過兩個凹槽結構時，相應的反射、透射和模式轉換的簡化模型

等式（10）的結果在圖6（a）中以圓形和三角形符號顯示，可以看出Fresnel 公式的結果和通過ARCWA得到的結果符合得很好，說明了Fresnel公式的有效性。此外，當入射波是SPP模式時，從等式（3）和等式（10）中，模式轉換系數(shù)可以進一步表示為

系數(shù)ST,ij是矩陣S~T（等式（9））的矩陣元素。等式（14）中同樣可以展開為兩項。由于兩個凹槽間的TE0和SPP模式都能被入射的SPP模式激發(fā)，第一項表示凹槽間激發(fā)的TE0模式將穿過第二個凹槽在凹槽出射端產生TE0模式的輸出。第二項表示激發(fā)的SPP模式通過第二個凹槽時，通過模式轉換導致的TE0模式輸出。這兩項的位相分別表示為φs和φp。當這兩個位相滿足干涉相長時能獲得極大值。干涉相長條件表示為

等式（13）和（15）的結果分別在圖5（a）和5（b）中以圓形和三角形符號表示，從圖中可以看出，F(xiàn)resnel公式的結果與低透射帶（A和B）的變化趨勢符合得很好。這意味著，如果我們知道導波模式穿過兩個凹槽結構的Fresnel 公式，就能準確預測低透射帶A和B的位置。同樣，當入射波是TE0模式時，模式轉換效率Rsp和Tsp隨入射角度和間隔距離Ld的變化關系在圖5（c）和5（d）中給出。Fresnel公式決定的干涉相長條件也在圖5（c）和5（d）中以圓形和三角形符號給出。

2.2 通過模式轉換效應操控SPP和TE0模式的傳播

接下來，我們將利用這些新的低透射帶A和B來操控二維導波，尤其是通過SPP 和TE0模式間的模式轉換實現(xiàn)方向性地二維導波激發(fā)?？紤]到A和B帶（圖5中給出）來自于不同的干涉條件，通過改變凹槽間距Ld,SPP模式能被入射的TE0模式高效和方向性地激發(fā)，反之亦然。圖7（a）和7（b）分別給出了在間距Ld=340 nm 和Ld=1 010 nm時，SPP模式的轉換效率Rps和Tps隨入射角度的變化關系。當SPP模式的入射角度固定在42.2o時，通過改變間距Ld，TE0模式能在凹槽的反射端或透射端被高效激發(fā)。當Ld=340 nm 時，由于干涉相長Rps能獲得極大值，而Tps被急劇減小。這意味著，在凹槽結構的反射端TE0模式能被入射的SPP模式高效激發(fā)，而在凹槽的透射端，TE0模式的激發(fā)是被抑制掉的。在此情況下，圖7（c）給出了間距Ld=340 nm 時結構的電場分布。這里，入射的SPP光束被模擬成高斯形狀，高斯光束的半高全寬為6λ，λ=785 nm，是入射光的波長。高斯光束的傳播是通過角譜分解，然后將每個角譜帶入到ARCWA求得。從圖7（c）中可以看出，入射的SPP能量在反射端被有效地轉換為TE0模式。通過橫向動量匹配，可以確定TE0模式的反射和透射角度：

圖7 SPP的模式轉換效率Rps和Tps隨入射角度的變化關系：（a）間距Ld=340 nm，（b）Ld=1 010 nm；SPP模式的入射角固定在42.2o（（a）和（b）中點豎線表示的角度）時，結構在不同間距Ld情況下的電場分布：（c）間距Ld=340 nm，（d）間距Ld=1 010 nm

類似的，當入射波是TE0模式時，圖8（a）和8（b）分別給出了在間隔距離Ld=340 nm和Ld=1010 nm時，模式轉換效率Rsp和Tsp隨入射角度的變化關系。根據光學互易性定理，當TE0模式的入射角度為61.5o，間隔距離Ld=340 nm時，入射的TE0模式能在凹槽的反射端高效地激發(fā)SPP模式。當間隔距離Ld增加到1 010 nm時，入射角61.5o附近處的模式轉換效率Tsp和Rsp分別被提高和降低。這表明入射的TE0模式在凹槽的透射端有效地激發(fā)了SPP模式。在間隔距離Ld=340 nm和Ld=1 010 nm時，結構的電場分布分別在圖8（c）和8（d）中給出。從圖中可以看出，當間隔距離Ld=340 nm和Ld=1 010 nm時，入射的TE0模式分別在凹槽的反射端和透射端有效激發(fā)了SPP模式。根據橫向動量匹配，激發(fā)的SPP模式的出射角度為42.2o。因此，通過調節(jié)凹槽的間隔距離Ld,可以實現(xiàn)SPP和TE0模式的方向性激發(fā)。

圖8 TE0模式入射時，模式轉換效率Rsp和Tsp隨入射角度的變化關系：（a）間隔Ld=340 nm，（d）間隔Ld=1 010 nm；TE0模式的入射角固定在61.5°時（（a）和（b）中豎直點線表示的角度），結構在不同間距Ld情況下的電場分布：（c）間距Ld=340 nm，（d）間距Ld=1 010 nm

3 結 論

本文通過在電介質覆蓋金屬波導中引入一維凹槽結構，理論研究了結構的光子能帶特性。由于結構同時支持SPP和TE0模式傳播，凹槽結構的引入可以促使兩個模式進行耦合轉換。模式間的轉換導致導波模式的透射譜上出現(xiàn)附加的光子能帶。利用這些附加的光子能帶，我們實現(xiàn)了通過入射TE0模式高效和方向性地激發(fā)SPP模式。同樣地，入射的SPP模式也能高效和方向性地激發(fā)TE0模式。通過這兩個模式的轉換可以對二維光波的偏振和場局域特性進行調制，這在分子傳感和成像，以及探索二維光波與二維材料作用方面有著潛在的應用。