馬 聰 李國(guó)東

(新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830012)

0 引 言

密碼學(xué)是研究信息安全、通信安全的重要工具，圖像加密在互聯(lián)網(wǎng)的傳播安全中起到了重要作用。由于混沌是一種運(yùn)動(dòng)軌跡有界、無(wú)規(guī)律可循的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其具有很強(qiáng)的初值敏感性、遍歷性、隨機(jī)性以及難以預(yù)測(cè)等特點(diǎn)，近幾年成為信息保密領(lǐng)域上的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容[1-3]。季諾然等[4]提出用QR碼與混沌序列結(jié)合的方法加密圖像，將密文圖像嵌入到二級(jí)Contourlet變換的子帶中，能夠很好地保護(hù)數(shù)字圖像信息。謝國(guó)波等[5]提出了一種基于像素置亂和比特替換的混沌圖像加密算法，提高了算法的加密速度，但是算法簡(jiǎn)單安全性不高。柴秀麗等[6]提出了一種自適應(yīng)在位級(jí)進(jìn)行操作的加密算法，采用自適應(yīng)方法加密，提高了算法的安全性。盛蘇英等[7]利用耦合映象格子與位級(jí)圖像相結(jié)合并進(jìn)行逐位擴(kuò)散，加密算法性能較強(qiáng)，但是不能抵御暴力窮舉攻擊。Zhang等[8]使用比特級(jí)置換的基于混沌的對(duì)稱(chēng)圖像加密方案，加密安全性高。Zhou等[9]設(shè)計(jì)了一種利用量子交叉操作和5D超混沌系統(tǒng)的比特級(jí)量子彩色圖像加密方案。

針對(duì)傳統(tǒng)加密算法精度有限、安全性不高、加密空間小等不足，本文提出了通過(guò)雙混沌系統(tǒng)，先對(duì)位級(jí)進(jìn)行一次加密，再聯(lián)合像素級(jí)進(jìn)行二次加密。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法克服了精度有限、結(jié)構(gòu)單一、加密空間小等問(wèn)題，具有很高的安全性、抗統(tǒng)計(jì)攻擊性等優(yōu)點(diǎn)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Liu混沌

Liu混沌系統(tǒng)是一類(lèi)含有平方非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)[10]，其動(dòng)力學(xué)方程如下所示：

(1)

式中：a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)，h、k為控制參數(shù)。當(dāng)滿足條件a=10、b=40、c=2.5，k=1、h=4時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為。為了增加密鑰空間的復(fù)雜性，消除混沌序列的隨機(jī)性，Liu混沌映射初值采用隨機(jī)選取的方法，將一維Logistic映射迭代1 000次，在1 000次以?xún)?nèi)隨機(jī)選取三個(gè)值作為L(zhǎng)iu混沌映射的初值，選取結(jié)果為x0=0.797 6、y0=0.311 4、z0=0.488 3。一個(gè)混沌系統(tǒng)的奇異吸引子在相空間是整體有界的，Liu混沌系統(tǒng)的奇異吸引子是一類(lèi)具有無(wú)窮嵌套層次的自相似幾何結(jié)構(gòu)。經(jīng)過(guò)20 000次迭代后的奇異吸引子和相位圖如圖1所示。

(a) 奇異吸引子

(b) x-y平面

(c) x-z平面

(d) y-z平面圖1 Liu混沌奇異吸引子及相位圖

1.2 Kawakami超混沌

超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有更加隨機(jī)、相空間更大等優(yōu)勢(shì)，將混沌運(yùn)用在加密體統(tǒng)中能有效地提高加密性能。Kawakami超混沌是1979年由Kawakami和Kobayashi提出的首個(gè)研究自同態(tài)的模型，Kawakami映射的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如下：

(2)

式中：c、d為控制參數(shù)。c=0.1、d=1.6時(shí)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，Kawakami超混沌的初值選取一維Chebyshev迭代1 000次以?xún)?nèi)的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，x1=0.401 3,y1=0.100 7，Kawakami超混沌迭代1 500次的奇異吸引子如圖2所示。

圖2 Kawakami超混沌奇異吸引子

2 L-K雙混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法

加密算法流程如圖3所示。

圖3 加密算法流程圖

加密算法采用置亂-擴(kuò)散-置亂-擴(kuò)散的結(jié)構(gòu)，首先將明文圖像轉(zhuǎn)換為R、G、B三個(gè)通道，將三通道中每個(gè)像素值分別進(jìn)行二進(jìn)制轉(zhuǎn)換，這時(shí)每一個(gè)通道可以看作是由8個(gè)m×n的0和1序列組成的矩陣，即R(x,y)={R1(x,y),R2(x,y),…,R8(x,y)},不同位平面包含的信息量不同[11]，如表1所示。

表1 不同位平面信息量

由表1可以看出，高三位包含了主要的圖像信息，位數(shù)越低，所包含的信息量越少，因此將高三位的每一位單獨(dú)作為一個(gè)加密圖像，將低五位的位平面向左移位異或構(gòu)成一個(gè)加密圖像，采用低五位和高三位分別置亂、交融擴(kuò)散的方式進(jìn)行第一輪加密。同時(shí)為了消除不同層之間的相關(guān)性，進(jìn)行了第二輪置亂-擴(kuò)散操作。

1) 一次置亂-擴(kuò)散算法。

按照浮點(diǎn)算法將3×m×n的彩色圖像分為大小m×n的R層、G層、B層圖像。

以R層的加密過(guò)程為例，將R層分解為8個(gè)位平面，鑒于高三位包含了主要的圖像信息，因此將高三位分別單獨(dú)作為一個(gè)平面，從高到低記為pic1、pic2、pic3，將低五位如式(3)所示方式向左移位異或合成一個(gè)位平面，記為pic4。

pic4(i,j)=P5(i,j)⊕P4(i,j)⊕P3(i,j)⊕

P2(i,j)⊕P1(i,j)

(3)

向左移位異或程序如下：

Bit4=WW(:,:,4);

%WW是Matlab讀取的圖像信息

Bit5=WW(:,:,5);

P1=bitxor(Bit5,Bit4);

P2=bitxor(P1,Bit3);

P3=bitxor(P2,Bit2);

P4=bitxor(P3,Bit1)。

步驟1將初值為k1的Logistic模型迭代k2次選取三個(gè)值作為L(zhǎng)iu混沌系統(tǒng)的初值，并設(shè)置Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)。為了消除暫態(tài)效應(yīng)，迭代S+1 000(S>m×n)次選取中間S個(gè)不重復(fù)的值，在S中截取三段m×n的混沌序列，得到序列xi、yi、zi。

步驟2采用Arnold置亂[12]k3次實(shí)現(xiàn)pic1-pic3的像素值位置變換，Arnold置亂思想是在矩陣中先做x軸方向的錯(cuò)切變換，再做y軸方向的錯(cuò)切變換，反復(fù)拉伸折疊；接著采用光柵掃描的方式將pic4變換成一維向量，對(duì)pic4位級(jí)采用索引位置置亂混淆的像素值位置，在S中任意截取m×n個(gè)的混沌序列構(gòu)成一維向量，按降序排序，得到的序列為si={sm×n,sm×n-1,…,s1} ，并記錄原序列在si中的位置為T(mén)si={Ts1,Ts2,…，Tsm×n}，按此位置對(duì)原序列進(jìn)行變換，此時(shí)得到一個(gè)新的一維向量，轉(zhuǎn)換成m×n矩陣即完成位級(jí)置亂。

步驟3將已經(jīng)加密的高三位Pici(i=1,2,3)分別進(jìn)行像素值求和得到sumIi，采用低五位pic4加密高三位的混淆擴(kuò)散方式，對(duì)混沌序列按照式(4)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，迭代m次，得到m個(gè)混沌序列。

xi=floor(mod(xi×1014),256)yi=floor(mod(yi×1014),256)zi=floor(mod(zi×1014),256)

(4)

按照式(5)進(jìn)行自適應(yīng)擴(kuò)散操作，Pic′(3)、Pic′(2)、Pic′(1)分別是xi,yi,zi的高三位。

(5)

然后，計(jì)算三個(gè)異或矩陣分別按位相加的結(jié)果，按照式(6)得到R層密文圖像。

R′=(min+middle+max)mod 2

(6)

步驟4G層、B層采用相同的方法分別加密，再按循環(huán)異或得到最終密文圖像，循環(huán)異或的函數(shù)為BitCircShift(A,k,m)。

C=R′⊕G′⊕B′

(7)

2) 二次置亂-擴(kuò)散算法。

第一輪加密過(guò)程是基于位級(jí)層面進(jìn)行像素值替代和擴(kuò)散，為了消除層之間的相關(guān)性，增強(qiáng)加密算法的安全性，改進(jìn)第一輪密文產(chǎn)生的像素值，在灰度圖像上進(jìn)行第二輪加密。

C1=mod(ceil(abs(x1i+y2i)×105)+C,256)

(8)

步驟2對(duì)所生成的超混沌序列進(jìn)行取余操作，新的混沌序列結(jié)合密文圖像像素值信息，使超混沌序列更具有隨機(jī)性，改進(jìn)方法如式(9)所示,

xi=mod(floor((sum(C1)/abs(xi))×106),256)yi=mod(floor((sum(C1)/abs(yi))×106),256)

(9)

步驟3采用Hilbert曲線對(duì)第一輪加密的密文圖像進(jìn)行置亂，Hilbert曲線的思想是把一個(gè)方陣矩陣分成4個(gè)小方陣，依次從左下角的中心出發(fā)向上移動(dòng)到左上角的中心，再向右掃描到右上角的中心，向下到右下角的中心，按此順序不斷迭代掃描，直到遍歷整個(gè)方陣,置亂示意圖如圖4所示。

圖4 Hilbert置亂示意圖

步驟4將Hilbert置亂后的圖像記為Q，在擴(kuò)散加密操作中，將圖像縱向分為兩半Q1、Q2，兩半同時(shí)展開(kāi)加密，最后合并得到完全擴(kuò)散的密文圖像。

(10)

3) 為了達(dá)到加密圖像充分混淆的目的，重復(fù)步驟1)-步驟2)T次，T作為密鑰保存，至此完成加密過(guò)程。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選用加密的經(jīng)典圖像Lena為對(duì)象，Lena圖像的分辨率為256×256，大小為192 KB。采用Win10系統(tǒng)在MATLAB 2018b的環(huán)境下對(duì)該算法進(jìn)行仿真，其中，Liu混沌的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為a=10、b=40、c=2.5、k=1、h=4，Liu混沌映射的初始值為x0=0.797 6、y0=0.311 4、z0=0.488 3，Kawakami超混沌的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為c=0.1、d=1.6，初值為x1=0.401 3、y1=0.100 7。除了上述密鑰之外，本文算法的其余密鑰為S=92 463、k1=0.3、k2=1 000、k3=99、k4=0.75、k5=999、T=5，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。為了說(shuō)明本文算法加密的實(shí)用性，使用分辨率為512×512，大小為1 MB的電子發(fā)票為例，在同樣的操作環(huán)境下，使用相同的系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)初值進(jìn)行加密，結(jié)果如圖6所示。

(a) 明文圖像 (b) 密文圖像 (c) 解密圖像圖5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(a) 明文圖像 (b) 密文圖像 (c) 解密圖像圖6 電子發(fā)票加密

4 安全性分析

4.1 置亂度分析

置亂度是衡量像素值位置變化雜亂程度的重要指標(biāo)，置亂度越大，說(shuō)明圖像混淆的越亂，攻擊者不能識(shí)別真實(shí)內(nèi)容，因此圖像更加不易被破解，置亂度的取值范圍為SM∈(0,1)，置亂度的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

(11)

X={xij}m×n表示明文圖像，Y={yij}m×n表示密文圖像，R={rij}m×n表示與明文圖像大小相同的隨機(jī)分布圖像，選取最終密文圖像進(jìn)行置亂度分析，用本文算法得到的置亂度為0.992 8，接近1，說(shuō)明本文算法的置亂效果很好，圖像信息的安全性更高。

4.2 直方圖分析

直方圖分析結(jié)果如圖7所示，可以看出，明文圖像像素值分布參差不齊，而密文圖像像素值頻率分布比較均勻，難以找出原始圖像的規(guī)律，說(shuō)明加密后的密文圖像對(duì)窮舉攻擊有很好的抵抗作用。

(a) 明文圖像直方圖 (b) 密文圖像直方圖圖7 明文和密文圖像直方圖

4.3 密鑰空間及密鑰敏感性分析

彩色圖像信息包含的數(shù)據(jù)信息量大，若密鑰選取的較少，則無(wú)法滿足安全性，密鑰空間越大，密鑰長(zhǎng)度就越長(zhǎng)，密文圖像更能有效地抵御窮舉攻擊，密鑰是傳遞者和接受者的媒介，將加密算法中的密鑰傳送給信息接受者，接受者就能根據(jù)密鑰還原出原始信息。本文算法的密鑰空間為1016×19=10304，密鑰長(zhǎng)度為log2(10304)，遠(yuǎn)大于128 bit，可見(jiàn)密鑰空間很大，足以抵御窮舉攻擊。

本文的加密算法對(duì)密鑰的依賴(lài)性非常強(qiáng)，在解密過(guò)程中，密鑰微小的變化都不能得到正確的解密圖像，對(duì)Liu混沌系統(tǒng)和Kawakami超混沌系統(tǒng)的初值進(jìn)行2×10-14的微小變動(dòng)時(shí)，即x0=0.797 6+2×10-14，x1=0.401 3+2×10-14，所得解密結(jié)果如圖8所示。

(a) 錯(cuò)誤解密(b) 錯(cuò)誤解密 (c) 正確解密圖8 敏感性測(cè)試

4.4 明文敏感性分析

像素變化比率(簡(jiǎn)稱(chēng)：NPCR)顯示的是不同像素點(diǎn)個(gè)數(shù)占全部像素點(diǎn)的比例，表明當(dāng)明文中有一個(gè)像素值發(fā)生變化時(shí)密文圖像中像素值變化的比率，NPCR越接近100%，說(shuō)明明文像素值的微小變動(dòng)都會(huì)大幅改變密文信息。D1表示密文，D2表示明文，公式如下：

(12)

歸一化平均改變強(qiáng)度(簡(jiǎn)稱(chēng)：UACI)顯示的是兩幅圖像全部相應(yīng)位置像素點(diǎn)的差值和最大差值的比值的平均值。UACI的理想值是接近 33.463 5%，這時(shí)對(duì)明文的細(xì)微改變敏感性強(qiáng)烈，計(jì)算公式如下：

(13)

對(duì)明文圖像中任意一點(diǎn)像素值(100,101)進(jìn)行微小變動(dòng)為(101,101)，此時(shí)NPCR和UACI分別為99.78%和33.37%，均非常接近理想值，對(duì)比文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]，結(jié)果如表2所示。

表2 NPCR和UACI值

4.5 相鄰像素相關(guān)性分析

在一幅圖像中，其像素值之間存在一定的相關(guān)性，根據(jù)式(14)，截取1 000對(duì)像素點(diǎn)(x,y)進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如表3和圖9所示?？梢钥闯觯魑膱D像相鄰像素的相關(guān)性比較高，呈現(xiàn)出明顯的線性相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)接近1，而密文圖像各方向像素之間相關(guān)系數(shù)均在0左右，說(shuō)明本文加密算法達(dá)到了理想效果。

(14)

式中:

表3 明文和密文圖像相鄰像素間相關(guān)系數(shù)

圖9 明文和密文圖像相鄰像素相關(guān)性

4.6 信息熵分析

根據(jù)Shannon定理[15-16]信息熵的理論，信息熵反應(yīng)了一個(gè)序列的隨機(jī)性，信息熵越大，隨機(jī)性越強(qiáng)，灰度值分布越均勻。當(dāng)圖像中各灰度值出現(xiàn)的概率相等時(shí)，圖像的信息熵最大，256個(gè)灰度級(jí)的灰度圖像信息熵的理想值為8。為了體現(xiàn)本文算法的優(yōu)越性，對(duì)Lena圖像與電子發(fā)票的明文與密文信息熵進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)式(15)計(jì)算信息熵的結(jié)果見(jiàn)表4?？梢钥闯觯?jīng)過(guò)本文算法加密的圖像信息熵都非常接近理想值，表明本文算法能夠有效地抵御窮舉攻擊，加密效果很好。

(15)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文將混沌理論用于圖像加密領(lǐng)域，該算法主要特點(diǎn)是：先將Liu混沌系統(tǒng)用于位級(jí)圖像，所得到的加密圖像作為下一輪加密的載體，第二輪改進(jìn)密文圖像為像素級(jí)，并將Kawakami超混沌系統(tǒng)用于像素級(jí)加密，采用置亂-擴(kuò)散-置亂-擴(kuò)散的結(jié)構(gòu)，分別在位級(jí)平面和像素級(jí)平面進(jìn)行加密。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能很好地抵御各種暴力攻擊，密鑰空間大，加密算法的安全性高，并且該算法解決了混沌加密的單一性，提高了加密的實(shí)時(shí)性，加密效果較好，在網(wǎng)絡(luò)安全、信息傳輸、移動(dòng)支付等方面具有廣闊應(yīng)用前景。