蔣倩倩， 王家序,2， 李俊陽， 肖 科， 唐 挺， 王 成

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點實驗室， 重慶 400044； 2. 四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610065)

諧波齒輪傳動依靠柔輪的波動變形原理傳遞運(yùn)動與動力，柔輪疲勞斷裂失效是諧波齒輪傳動裝置最主要的失效形式[1].因此，準(zhǔn)確地分析柔輪應(yīng)力和變形規(guī)律是諧波齒輪傳動的研究重點.

目前，研究柔輪應(yīng)力與變形的方法主要有實驗歸納法[2]、理論公式法[3]和有限元法(FEM)[4-5].實驗法直觀準(zhǔn)確，但受成本、周期等客觀條件的限制，且無法獲取柔輪內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變情況.柔輪應(yīng)力理論計算模型是建立在柱殼模型上，基于Kirchhoff-Love等假定與簡化來推導(dǎo)理論公式，并根據(jù)實驗結(jié)果加入修正系數(shù)[3].但理論模型未考慮裝入剛輪后產(chǎn)生的預(yù)緊力及其引起的應(yīng)力增大.預(yù)緊力的存在，約束了柔輪變形，使得柔輪與剛輪的嚙合側(cè)隙和齒間載荷分布狀態(tài)發(fā)生變化，柔輪應(yīng)力也隨之改變.隨著計算機(jī)技術(shù)的提高，F(xiàn)EM被廣泛用于研究諧波齒輪傳動的應(yīng)力應(yīng)變.為節(jié)約計算時間，研究者大多采用等厚齒圈有限元模型代替輪齒，以優(yōu)化柔輪的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，近幾年的研究側(cè)重于齒間載荷分布和柔輪的變形函數(shù).Dong等[6]采用APDL語言建立了波發(fā)生器裝配的有限元動力學(xué)模型，分析柔輪的動態(tài)應(yīng)力和載荷分布，擬合柔輪變形函數(shù).Routh等[7]利用有限元法模擬剛輪與漸開線柔輪在傳動過程中的齒間嚙合載荷分布規(guī)律.Sahoo 等[8-9]通過FEM估算在空載下漸開線柔輪的筒體應(yīng)力、應(yīng)變和初始轉(zhuǎn)矩，確定齒間嚙合載荷分布情況，并采用實驗法予以驗證.陳曉霞等[10]以三維彈性接觸有限元模型計算漸開線不同線層的應(yīng)力分布情況.以上研究分析了空載和負(fù)載下剛輪與柔輪的齒間載荷和應(yīng)力應(yīng)變分布狀態(tài).然而，柔輪的齒根應(yīng)力與柔輪齒廓參數(shù)關(guān)系密切，目前幾乎沒有文獻(xiàn)涉及柔輪齒廓參數(shù)對柔輪應(yīng)力的影響規(guī)律.

基于此，本文以無公切線式雙圓弧諧波齒輪為研究對象，采用包絡(luò)理論設(shè)計共軛剛輪齒廓，通過在Abaqus中建立完整的諧波齒輪三維彈性接觸有限元模型，將柔輪的裝配狀態(tài)分為波發(fā)生器裝配、剛輪裝配以及加載3個分析步，結(jié)合響應(yīng)面模型分析柔輪齒廓參數(shù)對每個分析步的柔輪變形與應(yīng)力的影響規(guī)律，以期優(yōu)化柔輪齒廓參數(shù)、降低柔輪應(yīng)力、提高柔輪疲勞強(qiáng)度，為建立柔輪的疲勞強(qiáng)度評價準(zhǔn)則提供依據(jù).

1 雙圓弧諧波齒輪傳動共軛齒廓設(shè)計

1.1 無公切線雙圓弧齒廓

諧波齒輪傳動中，圓弧齒廓分為單圓弧齒廓和公切線雙圓弧齒廓，目前的齒廓研究側(cè)重于后者.考慮到公切線式雙圓弧齒廓的切線高系數(shù)(切線與凸齒廓切點到柔輪齒頂?shù)母叨认禂?shù))為0時，剛輪與柔輪的包絡(luò)存在區(qū)間較大[11]，為獲得較大的“雙共軛”嚙合區(qū)間，本文提出改進(jìn)的無公切線雙圓弧齒廓，以柔輪輪齒對稱線為Y1軸，Y1軸與中面曲線交點為原點O1，過原點O1作中面的切線為X1軸，建立柔輪齒局部坐標(biāo)系O1X1Y1，如圖1所示.圖中各參數(shù)的意義如表1所示.

圖1 雙圓弧齒廓示意圖Fig.1 Schematic diagram of double arc tooth profile

表1 齒廓參數(shù)意義Tab.1 Means of parameters of tooth profile

無公切線雙圓弧齒廓由凸圓弧AB、凹圓弧BC與齒根過渡圓弧CD組成.其中：圓弧AB與圓弧BC相切于點B；切點B與柔輪的分度圓重合；圓弧CD分別與圓弧BC和柔輪的齒根圓相切.用分段函數(shù)表示AC段圓弧齒廓[11].

AB段凸圓弧齒廓為

(1)

式中：s∈(0,l1)，l1為AB段齒廓弧長，l1=ρa(bǔ)(αa-γ)；αa為AB段齒廓齒頂壓力角，αa=arcsin[(ha+ya)/ρa(bǔ)]；xo a=-xa；yo a=hf+t/2-ya.

BC段凹圓弧齒廓為

(2)

式中：s∈(l1,l2)，l2為BC段齒廓弧長，l2=l1+ρf(αf-γ)；αf為BC段齒根壓力角，αf=arcsin[(hf+yf)/ρf]；xof=πm/2+xf；yof=h-ha+t/2+yf.

1.2 基于包絡(luò)法的剛輪共軛齒廓設(shè)計

在橢圓波發(fā)生器作用下，柔輪的徑向變形量(w)、切向變形量(v)以及變形傾角(μ)分別為

(3)

式中：a和b分別為變形后柔輪中線長軸半徑和短軸半徑，a=rm+w0，b=rm-w0，rm為未變形時柔輪的中線半徑，w0為柔輪最大徑向變形量；φ為柔輪輸出端相對于波發(fā)生器長軸的轉(zhuǎn)角；ρ為當(dāng)裝入波發(fā)生器時，柔輪變形后的中線矢徑.

以剛輪的中心為圓心O2，以剛輪的齒槽對稱軸為Y2軸，從圓心O2出發(fā)，作X2軸垂直于Y2軸，建立剛輪坐標(biāo)系O2X2Y2，根據(jù)諧波齒輪傳動的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和摩擦模型運(yùn)動學(xué)理論[2]，得到在坐標(biāo)系O2X2Y2中，剛輪齒廓坐標(biāo)為

(4)

式中：x2和y2分別為剛輪的右側(cè)齒廓在坐標(biāo)系O2X2Y2中的坐標(biāo)值；Φ為柔輪輪齒對稱軸與剛輪齒槽對稱軸的夾角，Φ=μ+Δφ，Δφ為柔輪中線矢徑ρ與Y2軸的夾角.

利用包絡(luò)理論求解與柔輪齒廓坐標(biāo)共軛的剛輪齒廓坐標(biāo)，需滿足共軛方程

(5)

采用數(shù)值離散思想，把每段圓弧的弧長參數(shù)s離散為n個點，將式(1)～(4)代入式(5)分段求解出不同s對應(yīng)的轉(zhuǎn)角φi(i=1,2,…,n)，φi的集合稱為共軛區(qū)間，其對應(yīng)的坐標(biāo)點集合為共軛齒廓.以兩段相切的圓弧擬合共軛齒廓上一系列離散的數(shù)值點，以最小二乘法將數(shù)值離散點擬合為圓弧曲線，即可得到剛輪齒廓.

2 雙圓弧諧波齒輪有限元分析

2.1 共軛空間齒廓計算實例

表2 柔輪齒廓參數(shù)Tab.2 Flexspline tooth profile parameters

表3 剛輪齒廓參數(shù)Tab.3 Circular spline tooth profile parameters

圖2所示為柔輪軸向齒廓，以圖中所示垂直于柔輪軸向母線的截面為主截面，圖中α、β分別為柔輪軸向前端、后端修形角度.由于柔輪在波發(fā)生器作用下輪齒產(chǎn)生變形和法向傾角，柔輪和剛輪齒在主截面完全嚙合，但柔輪軸向的其他截面均存在不同程度的齒廓嚙合干涉.為消除齒廓干涉，且不改變每個截面的齒廓形狀，設(shè)計柔輪軸向齒形為梯形，分L1、L2和L33段，L1=2.47 mm，L2=3.2 mm，L3=5.23 mm，通過調(diào)整柔輪L1和L3段的齒根壁厚，降低柔輪齒廓截面的位置，從而實現(xiàn)齒廓無干涉嚙合.

圖2 柔輪軸向輪齒修形示意圖Fig.2 Diagram of flexspline axial gear modification

柔輪齒根壁厚的調(diào)整量是基于包絡(luò)法及諧波傳動坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系選取的，具體方法為采用MATLAB參數(shù)化編程.觀察柔輪單個輪齒相對于剛輪齒槽的運(yùn)動軌跡圖，通過調(diào)整柔輪前端和后端截面的壁厚，使得柔輪前端與后端截面均處于剛輪齒槽內(nèi)部，再根據(jù)柔輪壁厚調(diào)整量與齒寬的線性關(guān)系，確定其余各截面的壁厚調(diào)整量.

由MATLAB仿真分析求得當(dāng)前端截面與后端截面的壁厚調(diào)整量分別為0.14 mm和0.072 mm時，α=1.414°，β=0.789°，在剛輪的坐標(biāo)系O2X2Y2中，柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的運(yùn)動軌跡如圖3所示.由圖3可知，在調(diào)整輪齒齒根壁厚后，柔輪前端截面、主截面與后端截面均能實現(xiàn)齒廓無干涉嚙合.

圖3 柔輪各截面的運(yùn)動軌跡Fig.3 Trajectory of each flexspline section

2.2 仿真實體建模

建立諧波減速器三維模型，利用ANSYS劃分網(wǎng)格，采用八結(jié)點六面體單元C3D8R，測試柔輪應(yīng)力對網(wǎng)格數(shù)量的依賴性.發(fā)現(xiàn)隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，柔輪應(yīng)力不斷增大.固定剛輪網(wǎng)格數(shù)量為105個，柔輪網(wǎng)格平均每增大104個，柔輪應(yīng)力增大130 MPa左右，當(dāng)總體網(wǎng)格數(shù)量增加至4×105個時，柔輪應(yīng)力趨于穩(wěn)定.考慮柔輪結(jié)構(gòu)變形特點，由于波發(fā)生器與柔輪內(nèi)壁、柔輪與剛輪輪齒接觸狀態(tài)和區(qū)域未知，設(shè)置“面—面”接觸對，摩擦因數(shù)取0.15，柔輪為接觸面，剛輪內(nèi)壁、波發(fā)生器外表面為目標(biāo)面，保證三者間初始裝配狀態(tài)無干涉.Augmented Lagrange 乘子法結(jié)合了Lagrange乘子法和罰函數(shù)的優(yōu)點，兩者形成互補(bǔ)作用，采用該方法在不增加系統(tǒng)自由度的基礎(chǔ)上，提升了方程矩陣的對角優(yōu)勢，改善了收斂性.

材料的性能參數(shù)如表4所示，柔輪材料為30CrMnSiA，剛輪和波發(fā)生器材料為45#優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)鋼.

表4 材料性能參數(shù)Tab.4 Material performance parameters

諧波齒輪裝配狀態(tài)分為3步，如圖4所示.圖中觀測點位于柔輪主截面長軸右側(cè)第1個輪齒的齒根處，距柔輪筒底的距離為24.23 mm，與柔輪長軸夾角約為2°.記每個分析步觀測點處的柔輪應(yīng)力為σi，i=1，2，3.分析步分別為：① 建立一個與柔輪筒底圓孔固結(jié)的參考點，并添加固定約束.波發(fā)生器設(shè)置位移約束，橢圓形波發(fā)生器裝配后，在長軸方向使柔輪筒體張開角度α；② 剛輪設(shè)置位移約束，從后端裝入柔輪，張角被剛輪壓下；③ 釋放柔輪繞軸向的旋轉(zhuǎn)約束，在柔輪輸出端施加額定轉(zhuǎn)矩T，T=63 N·m.由于柔輪的應(yīng)力求解為非線性大變形問題，求解選項開啟“大變形”設(shè)置.為提高求解收斂性，最小求解增量步調(diào)整為10-9.

圖4 諧波齒輪有限元模型分析步示意圖Fig.4 Diagram of harmonic gear finite element model analysis step

2.3 柔輪應(yīng)力影響因素分析

采用Abaqus進(jìn)行諧波減速器的三維彈性接觸有限元分析，3個分析步的柔輪齒圈應(yīng)力(σ)云圖如圖5所示.觀測處柔輪圓周方向的變形量對比結(jié)果見圖6，圖中：w0為理論值；w1、w2及w3分別表示裝入波發(fā)生器、裝入剛輪與加載后，柔輪圓周方向中線的徑向變形量；v1、v2及v3分別表示裝入波發(fā)生器、裝入剛輪與加載后，柔輪圓周方向中線的切向變形量；v0為理論值.

圖5 柔輪齒圈的應(yīng)力云圖Fig.5 Stress cloud of the flexspline ring gear

圖6 柔輪徑向與切向變形量理論值與FEM值對比圖Fig.6 Comparison of theoretical and FEM values of radial and tangential deformation of the flexspline

由圖5(a)可知，橢圓形波發(fā)生器裝配后使柔輪產(chǎn)生變形，且最大應(yīng)力出現(xiàn)在長軸附近的齒根位置.對比圖5(a)和5(b)，發(fā)現(xiàn)剛輪裝配后柔輪的最大應(yīng)力由495.1 MPa增大到 1 000.5 MPa，結(jié)合圖6中w1與w2及v1與v2的對比，可知剛輪與柔輪之間的嚙合齒對會約束裝入波發(fā)生器時產(chǎn)生的柔輪變形，從而影響柔輪的應(yīng)力值.

對比圖5(b)和5(c)，發(fā)現(xiàn)加載后柔輪的最大應(yīng)力僅增大4%左右，且圖6中w2與w3及v2與v3均幾乎重合，說明諧波齒輪傳動是多齒嚙合傳動，額定載荷均勻分布到單個齒對時，載荷對柔輪應(yīng)力與變形作用較小.

表5 因素范圍與水平表Tab.5 Factors range and level table

3 基于響應(yīng)面模型的柔輪應(yīng)力規(guī)律分析

3.1 響應(yīng)面模型建立

為了提高擬合精度，采用響應(yīng)面法設(shè)計5因素5水平的實驗方案，單個因素的水平編碼值分別為 -1，0，1，共26組仿真實驗.額定載荷對柔輪應(yīng)力與變形的影響不明顯，因此仿真僅采集波發(fā)生器作用下的柔輪壓力σ1和剛輪作用下的柔輪應(yīng)力σ2.

根據(jù)實驗結(jié)果采用最小二乘法對仿真結(jié)果擬合，所得σ1和σ2的影響面模型分別為

(6)

分別對兩個響應(yīng)面模型做回歸顯著性檢驗，當(dāng)響應(yīng)面模型的不顯著水平(P>F)小于0.05時，表示擬合的響應(yīng)面模型是有效的，其值分別為 0.000 1 和 0.011 7，說明模型非常重要，在σ1的模型中x1、x2、x3和x4是模型的重要因素，在σ2的模型中x2、x4、x5和x52是模型的重要因素.

各因素的一次項對模型響應(yīng)的敏感度如圖7所示，由σ1的模型可知，x3和x5與σ1呈正相關(guān)，其余因素與σ1呈負(fù)相關(guān).對比σ2的模型中各因素系數(shù)的絕對值，一次項系數(shù)顯示各因素對該模型的影響程度為x4>x2>x5>x1>x3，二次項系數(shù)顯示各因素的影響程度為x5>x1>x3>x2>x4.綜合分析可知，x4、x5對模型σ2影響最大，x2、x1次之，x3的影響最小，即在剛輪作用下，齒厚比和雙圓弧傾角對柔輪應(yīng)力影響最大，齒頂高系數(shù)、齒根過渡圓角半徑次之，齒根高系數(shù)影響最小.對比模型σ1和σ2各因素的系數(shù)項可知，x1、x2、x3、x4和x5對σ1的敏感度小于對σ2的敏感度，即柔輪齒廓參數(shù)對僅有波發(fā)生器作用下的柔輪應(yīng)力影響較小，但在剛輪裝配后，由波發(fā)生器撐開的柔輪筒體張角被壓下，導(dǎo)致剛輪與柔輪齒間接觸力增大，迫使柔輪的變形和齒間側(cè)隙發(fā)生改變，柔輪齒圈應(yīng)力升高，因而柔輪應(yīng)力對齒廓參數(shù)變化的敏感度也隨之提高.因此，要建立合理的柔輪疲勞壽命評價體系需要準(zhǔn)確分析柔輪齒廓單因素對柔輪應(yīng)力影響規(guī)律.

圖7 各因素對不同模型柔輪應(yīng)力的敏感度分析Fig.7 Sensitivity analysis of various factors on flexural stress in different models

3.2 柔輪齒廓參數(shù)對柔輪應(yīng)力的影響規(guī)律分析

圖8 柔輪齒根圓角半徑對柔輪應(yīng)力的影響Fig.8 Effect of flexspline root radius on flexspline stress

圖9 柔輪齒根圓角半徑對工作齒廓弧長的影響Fig.9 Effect of flexspline root radius on working arc length

從圖中可以看出，隨著R的增大，σ1單調(diào)遞減；σ2呈先減小后增大的拋物線變化趨勢，其原因見圖9.當(dāng)R增大時，柔輪凹齒廓弧長減小，剛輪和柔輪的工作齒廓弧長從保持不變到逐漸變短，從而導(dǎo)致柔輪齒根應(yīng)力有所上升.因此在無齒廓干涉和工作齒廓弧長保持不變的前提下，增大齒根過渡圓角半徑有利于減小柔輪應(yīng)力.

圖10 柔輪齒頂高系數(shù)對柔輪應(yīng)力的影響Fig.10 Effect of flexspline tooth top coefficient on flexspline stress

圖11 柔輪齒根高系數(shù)對柔輪應(yīng)力的影響Fig.11 Effect of flexspline root height coefficient on flexspline stress

圖12 最大嚙合深度對共軛區(qū)間的影響Fig.12 Effect of maximal engagement depth on conjugate interval

圖13 柔輪齒厚比對柔輪應(yīng)力的影響Fig.13 Effect of flexspline tooth thickness ratio on flexspline stress

隨著γ的增大，σ1沒有明顯的變化，σ2則呈單調(diào)遞減趨勢.這是由于當(dāng)雙圓弧傾角增大時，與柔輪共軛的剛輪凸齒廓半徑增大，凹齒廓半徑減小，柔輪齒根彎曲強(qiáng)度提高，承載能力增大，所以在工藝條件允許的情況下，雙圓弧傾角取較大值為優(yōu).

圖14 柔輪雙圓弧傾角對柔輪應(yīng)力的影響Fig.14 Effect of flexspline double-circular-arc on flexure stress

4 結(jié)論

(1) 剛輪裝配后，剛輪與柔輪之間的嚙合齒對及嚙合情況將對柔輪的變形產(chǎn)生約束，從而對柔輪的變形應(yīng)力產(chǎn)生顯著影響.因此，圓弧齒廓諧波傳動的齒形參數(shù)是計算柔輪疲勞壽命時不可忽略的因素之一.

(2) 由于諧波齒輪傳動是多齒嚙合傳動，且嚙合區(qū)間較大，當(dāng)載荷分布到多個接觸齒對時，每個齒對承受的載荷較小，所以載荷對柔輪變形和應(yīng)力影響較小.

(3) 齒厚比和雙圓弧傾角對柔輪應(yīng)力影響最大，齒頂高系數(shù)、齒根過渡圓角半徑次之，齒根高系數(shù)影響最??；在不影響齒廓工作弧長的條件下，增大柔輪齒根過渡圓角半徑有利于減小柔輪變形應(yīng)力；齒根高系數(shù)不大于1.1 mm，且增大齒頂高系數(shù)、齒厚比與雙圓弧傾角有利于減小柔輪變形應(yīng)力.