傅惠民， 文歆磊， 楊海峰

（北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

眾所周知， 由相互獨立的子系統(tǒng)組成的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度等于各子系統(tǒng)可靠度的乘積，但是，串聯(lián)系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限是否也等于各子系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限的乘積？同樣，并聯(lián)系統(tǒng)不可靠度等于各子系統(tǒng)不可靠度的乘積， 而并聯(lián)系統(tǒng)不可靠度單側(cè)置信上限是否也等于各子系統(tǒng)不可靠度單側(cè)置信上限的乘積？ 這一問題長期以來沒有得到嚴(yán)格證明， 因此工程上一般不敢將子系統(tǒng)的置信限簡單相乘。 文獻(xiàn)[1]還通過實例計算說明置信限不能相乘，而文獻(xiàn)[2]則指出文獻(xiàn)[1]的實例計算有誤，但也承認(rèn)這一問題還沒有得到嚴(yán)格證明。 串聯(lián)和并聯(lián)是工程上主要的系統(tǒng)連接形式， 其可靠度置信下限計算極其重要。 因此，人們先后提出了計算串聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限的LM 法、MML 法、SR 法等[3]和計算并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限的LR 法、AWI 法、ML 法、AO 法等[4]，然而這些方法都無法考慮無失效數(shù)據(jù)子系統(tǒng)的失效可能性， 導(dǎo)致整個系統(tǒng)可靠度置信下限誤差較大，且偏于危險。

本文對此進(jìn)行了深入系統(tǒng)的研究， 首先建立了串并聯(lián)系統(tǒng)各子系統(tǒng)置信限相乘的置信度干涉模型計算方法， 嚴(yán)格證明了串聯(lián)系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限等于各子系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限的乘積， 并聯(lián)系統(tǒng)不可靠度單側(cè)置信上限等于各子系統(tǒng)不可靠度單側(cè)置信上限的乘積，成功解決了這一難題。

1 串聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限

設(shè)系統(tǒng)由m 個相互獨立的子系統(tǒng)（或部件、單元等）串聯(lián)構(gòu)成，Ri為第i 個子系統(tǒng)的可靠度，則串聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 等于各子系統(tǒng)可靠度Ri的乘積

定理1 設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)相互獨立， RL，i為第i個子系統(tǒng)可靠度Ri的置信水平為γ（γ≥50%）的單側(cè)置信下限

則該串聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 的置信水平為γ 的單側(cè)置信下限RL由下式給出

即串聯(lián)系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限RL等于各子系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限RL，i的乘積。

下面分兩種情況對定理1 進(jìn)行證明。 對于各子系統(tǒng)完全相同且相互獨立的情況，由于

所以

由此可知定理1 成立，證畢！

對于各子系統(tǒng)不完全相同且相互獨立的情況， 首先證明下面的引理。

引理設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)構(gòu)成，RL，i為第i 個子系統(tǒng)可靠度Ri的置信度為γi的單側(cè)置信下限

令該串聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 的單側(cè)置信下限RL=RL，1RL，2，則其置信度由下式計算

式中，X1=R1/RL，1，X2=RL，2/R2。

根據(jù)引理可知， 由兩個相互獨立的子系統(tǒng)構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 的單側(cè)置信下限為RL=RL，1RL，2，其置信度可以通過隨機(jī)變量X1=R1/RL，1和X2=RL，2/R2的干涉模型計算。 當(dāng)γ1=γ2=γ（γ≥50%）時，有

因此

隨機(jī)變量X1和X2的干涉模型如圖1 所示， 將X1和X2的概率密度函數(shù)繪制于同一坐標(biāo)系下， 直線x=1 將X1的概率密度曲線下方的區(qū)域分割為區(qū)域A1和A2，將X2的概率密度曲線下方的區(qū)域分割為區(qū)域A3和A4。其中，區(qū)域A1和A3的面積均為γ，區(qū)域A2和A4的面積均為1-γ。

圖1 X1 和X2 的干涉模型

（1）X1在區(qū)域A1取值的概率為γ、X2在區(qū)域A3取值的概率也為γ，此時事件X1≥X2發(fā)生的概率為γ2，即

（2）X1在區(qū)域A2取值的概率為1-γ、X2在區(qū)域A4取值的概率也為1-γ，此時事件X1≤X2發(fā)生的概率為（1-γ）2，即

（3）X1在區(qū)域A1取值的概率為γ、X2在區(qū)域A4取值的概率為1-γ； 或X1在區(qū)域A2取值的概率為1-γ、X2在區(qū)域A3取值的概率為γ，顯然，此時事件X1≥X2發(fā)生的概率要大于事件X1≤X2發(fā)生的概率[5]。 因此，有

綜合上述X1和X2取值的三種情況可知，有

將X1=R1/RL，1，X2=RL，2/R2代入得

當(dāng)γ（γ≥50%）為置信水平時，即

式（20）也同樣成立。 因此，對于兩個相互獨立的子系統(tǒng)構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)，定理1 成立。若串聯(lián)系統(tǒng)包含m 個相互獨立的子系統(tǒng)， 可以先將前兩個子系統(tǒng)可靠度的單側(cè)置信下限相乘，再將這兩個串聯(lián)子系統(tǒng)看作一個新的子系統(tǒng)，與第3 個子系統(tǒng)可靠度的單側(cè)置信下限相乘，以此類推，即可證明當(dāng)系統(tǒng)由m 個相互獨立的子系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成時，定理1 也成立。 證畢！

2 并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限

設(shè)系統(tǒng)由m 個相互獨立的子系統(tǒng)（或部件、單元等）并聯(lián)構(gòu)成，Ri為第i 個子系統(tǒng)的可靠度，則并聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 為

定理2 設(shè)并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)相互獨立，RL，i為第i 個子系統(tǒng)可靠度Ri的置信水平為γ（γ≥50%）的單側(cè)置信下限

則該并聯(lián)系統(tǒng)可靠度R 的置信水平為γ 的單側(cè)置信下限RL由下式給出

即并聯(lián)系統(tǒng)不可靠度1-R 的單側(cè)置信上限1-RL等于各子系統(tǒng)不可靠度1-Ri的單側(cè)置信上限1-RL，i的乘積。

同樣，下面分兩種情況對定理2 進(jìn)行證明。 對于各子系統(tǒng)完全相同且相互獨立的情況，即式（5）和式（6）成立。此時有

即定理2 成立，證畢！

對于各子系統(tǒng)不完全相同且相互獨立的情況， 令F=1-R，F(xiàn)U=1-RL，F(xiàn)i=1-Ri，F(xiàn)U，i=1-RL，i。當(dāng)系統(tǒng)僅由兩個相互獨立的子系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成時， 其可靠度R=1-F1F2的單側(cè)置信下限RL=1-FU，1FU，2的置信度由下式計算

式中，X1=FU，1/F1，X2=F2/FU，2。

若

則

由式（14）、式（15）和式（19）可知，有

將X1=FU，1/F1，X2=F2/FU，2代入上式，得

同理可證， 對于m 個相互獨立的子系統(tǒng)構(gòu)成的并聯(lián)系統(tǒng)，定理2 也成立。 證畢！

3 傳統(tǒng)方法及其存在的問題

3.1 成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限計算方法

成敗型串聯(lián)系統(tǒng)在工程中較為常見，應(yīng)用十分廣泛。 當(dāng)前， 常用的成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠性評估方法包括LM 法，MML法和SR 法等，下面簡單討論這些方法及其存在的問題。

3.1.1 LM法

Linstrom 和Madden 建立了成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的近似限。 設(shè)第i 個子系統(tǒng)在ni次試驗中成功si次，i=1，2，…，m。 令

即可得到系統(tǒng)的等效試驗數(shù)n 和成功數(shù)s，進(jìn)而根據(jù)二項分布可靠性置信下限分析方法求得給定置信度γ 下的系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限RL。

從式（35）和式（36）可以看出，LM 方法不能很好地處理無失效試驗數(shù)據(jù)，下面進(jìn)行詳細(xì)討論。

（1）當(dāng)所有子系統(tǒng)的試驗結(jié)果均為無失效數(shù)據(jù)時，易得s=n=min{n1，n2，…，nm}，這導(dǎo)致系統(tǒng)的可靠度置信下限僅等于試驗次數(shù)最少的子系統(tǒng)可靠度置信下限，而沒有考慮其他子系統(tǒng)失效的可能性，因此可靠性評估結(jié)果偏于危險。

（2）當(dāng)部分子系統(tǒng)的試驗結(jié)果為無失效數(shù)據(jù)，且試驗次數(shù)最少的子系統(tǒng)有失效數(shù)據(jù)時，由式（35）和式（36）可知， 這導(dǎo)致所有無失效數(shù)據(jù)的子系統(tǒng)試驗結(jié)果均對系統(tǒng)可靠度置信下限沒有貢獻(xiàn)， 即也沒有考慮串聯(lián)系統(tǒng)中無失效數(shù)據(jù)子系統(tǒng)的失效可能性，因此結(jié)果偏于危險。

（3）當(dāng)部分子系統(tǒng)的試驗結(jié)果為無失效數(shù)據(jù)，且試驗次數(shù)最少的子系統(tǒng)沒有失效數(shù)據(jù)時，由式（35）和式（36）可知，這導(dǎo)致僅有該子系統(tǒng)的試驗次數(shù)參與了系統(tǒng)可靠度置信下限的計算，其余無失效數(shù)據(jù)的子系統(tǒng)試驗結(jié)果同樣也都對系統(tǒng)可靠度置信下限沒有貢獻(xiàn)，因此結(jié)果偏于危險。

3.1.2 MML法

修正極大似然估計法（MML 法）由Easterlin 提出。 對于m 個相互獨立子系統(tǒng)構(gòu)成的成敗型串聯(lián)系統(tǒng)， 其等效試驗次數(shù)n、成功次數(shù)s 分別由下面兩式求得，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限RL。

從式（37）和式（38）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)子系統(tǒng)的試驗結(jié)果為無失效數(shù)據(jù)時， 相應(yīng)的ni和si對n 和s 的計算沒有任何貢獻(xiàn)，即MML 方法也不能考慮無失效數(shù)據(jù)子系統(tǒng)失效的可能性， 從而使系統(tǒng)可靠性評估結(jié)果偏于危險。 特別地，當(dāng)所有子系統(tǒng)的試驗結(jié)果均為無失效數(shù)據(jù)時，式（37）出現(xiàn)0/0 的情況，已無意義。

3.1.3 SR法

為克服MML 法的局限性，Preston 進(jìn)一步提出了序貫壓縮法（SR 法）。 其按照點估計不變原理逐次對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮， 直至所有子系統(tǒng)的試驗數(shù)據(jù)被壓縮為一組數(shù)據(jù)，即為系統(tǒng)的等效試驗結(jié)果（n，s），具體流程見文獻(xiàn)[3]。

同樣， 對于無失效數(shù)據(jù)的子系統(tǒng)，SR 法也不能考慮其失效的可能性，所得系統(tǒng)可靠度置信下限可能冒進(jìn)。此外， 當(dāng)子系統(tǒng)個數(shù)較多時，SR 法在逐級壓縮的過程中會使得試驗信息丟失過多[3]。

3.2 成敗型并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限計算方法

傳統(tǒng)的成敗型并聯(lián)系統(tǒng)可靠性評估方法包括LR 法，AWI 法，ML 法和AO 法等，這些均為近似方法，有時誤差較大。文獻(xiàn)[4]通過大量的對比計算認(rèn)為LR 法和AO 法較另外兩者稍好， 但是當(dāng)某個子系統(tǒng)的試驗結(jié)果為無失效數(shù)據(jù)時，LR 法和AO 法均不能計算， 這極大地限制了其適用范圍。為此，文獻(xiàn)[6]提出了一種子系統(tǒng)失效數(shù)的近似方法，然而當(dāng)子系統(tǒng)個數(shù)和試驗數(shù)均較小時，該近似方法求得的失效數(shù)比試驗總次數(shù)還大，顯然錯誤。

3.3 非成敗型系統(tǒng)可靠度置信下限計算方法

除成敗型二項分布外，工程實際中子系統(tǒng)（或部件、單元）的試驗結(jié)果可能服從對數(shù)正態(tài)分布、Weibull 分布、指數(shù)分布等多種類型，對此，工程上常采用點估計下限折算法，二階矩折算法、雙置信度下限折算法等折合方法[7]，將非成敗型試驗結(jié)果轉(zhuǎn)化為成敗型試驗結(jié)果， 再按照成敗型系統(tǒng)計算可靠度置信下限。

由于所用折算方法的不同、 以及同種折算方法中參數(shù)選取的不同， 常常導(dǎo)致同一組數(shù)據(jù)的折算結(jié)果不盡相同，人為因素較大。此外，當(dāng)某個子系統(tǒng)的可靠度較高時，其折算后的結(jié)果可能為無失效數(shù)據(jù)， 使得該部分對系統(tǒng)可靠度評估結(jié)果沒有任何貢獻(xiàn)，甚至無法計算。

4 對比算例

設(shè)某系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成， 子系統(tǒng)1 的試驗結(jié)果為：n1=100，s1=99； 子系統(tǒng)2 的試驗結(jié)果為：n2=100，s2=100。給定置信水平γ=0.9，分別使用LM 法、MML 法、SR 法和本文方法計算系統(tǒng)可靠度單側(cè)置信下限，結(jié)果匯總于表1。

表1 系統(tǒng)可靠度置信下限計算結(jié)果對比（γ=0.9）

從表1 可以看出，LM 法、MML 法和SR 法給出的系統(tǒng)可靠度置信下限均與子系統(tǒng)1 的可靠度置信下限相同，這等于沒有考慮子系統(tǒng)2 的失效可能性（其可靠度置信下限僅為0.977，實際上存在失效的可能性），導(dǎo)致整個系統(tǒng)可靠性評估結(jié)果偏于危險。 而本文方法則能同時考慮各個子系統(tǒng)失效的可能性，很好地解決了上述問題。

5 結(jié)論

建立了串（并）聯(lián)系統(tǒng)可靠度（不可靠度）置信下（上）限干涉模型，給出其置信度計算方法。 在此基礎(chǔ)上，嚴(yán)格證明了串聯(lián)系統(tǒng)置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限等于各子系統(tǒng)置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限的乘積， 并聯(lián)系統(tǒng)置信水平為γ 的不可靠度單側(cè)置信上限等于各子系統(tǒng)置信水平為γ 的不可靠度單側(cè)置信上限的乘積，從而解決了這一長期懸而未決的難題。

對于串并聯(lián)系統(tǒng)和并串聯(lián)系統(tǒng)，可以采用本文方法，分別通過先串聯(lián)再并聯(lián)或先并聯(lián)再串聯(lián)的方式計算系統(tǒng)可靠度的置信下限。

討論了傳統(tǒng)串并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限計算方法存在的問題，指出計算串聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限的LM 法、MML 法、SR 法和計算并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限的LR法、AO 法都無法考慮無失效數(shù)據(jù)子系統(tǒng)的失效可能性，這導(dǎo)致整個系統(tǒng)可靠度置信下限誤差較大。 而本文方法則很好地解決了上述問題，且計算簡單，便于工程應(yīng)用。