孫群安（湖北省武漢市財(cái)貿(mào)學(xué)校）

一、教學(xué)過程點(diǎn)評(píng)

在本節(jié)課前，教師進(jìn)行了一個(gè)檢測(cè)，主要考查等差數(shù)列的教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)效果，共兩道解答題。本節(jié)課教師準(zhǔn)備就檢測(cè)題的解題思路進(jìn)行分析，采用學(xué)生自主探究的形式。

在大多數(shù)情況下，課堂導(dǎo)入是課堂開始吸引學(xué)生注意力、引導(dǎo)學(xué)生思考的重要環(huán)節(jié)。本節(jié)課是一節(jié)習(xí)題講評(píng)課，因此課堂導(dǎo)入非常簡(jiǎn)單，直奔主題，課堂導(dǎo)入根據(jù)課堂需要進(jìn)行了靈活處理。

1.學(xué)生演示，發(fā)現(xiàn)自身不足

題目1已知等差數(shù)列{an} 中，a2=4，Sn=n2+λn，求an。

生1：因?yàn)閍1=S1=12+λ×1=λ+1，S2=4+2λ=a1+a2=a1+4，a1=2，λ=1。所以……

師：同學(xué)們聽懂了嗎？

生：沒有。

師：為什么？

生：條理和邏輯不清晰。

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)表達(dá)能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成的有效方式之一。生1的數(shù)學(xué)表達(dá)所反映的問題給教師提供了很好的素材，使生1對(duì)照自己總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)反省，達(dá)到自我優(yōu)化的目的，其他學(xué)生從中吸取教訓(xùn)，避免類似問題的出現(xiàn)。

2.對(duì)比示范，理解正確表達(dá)

師：那么怎樣才能做到條理和邏輯清晰呢？下面我們?cè)僮屢幻麑W(xué)生介紹下自己的思路。

生2：當(dāng)n=1時(shí)，S1=12+λ×1=λ+1=a1；當(dāng)n=2時(shí)，S2=4+2λ=a1+a2。所以S2-S1=(4+2λ)-(λ+1)=a2，且a2=4。 所以λ=1，a1=2，d=a2-a1=2。

此時(shí)大部分學(xué)生表示已經(jīng)理解了。

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)需要較長(zhǎng)時(shí)間的堅(jiān)持才能有效，是潛移默化、潤(rùn)物細(xì)無聲的“慢工”，體現(xiàn)在不斷變化的課堂進(jìn)行中。本節(jié)課通過兩名學(xué)生不同解題思路的分析、對(duì)比，學(xué)生掌握了此題的解題思路，知道了如何用正確的數(shù)學(xué)方式去表達(dá)，也體會(huì)到了清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)的好處。

3.引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，促進(jìn)思維形成

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，解決這道題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生思考，沉默。

師：這道題的已知條件涉及了哪些知識(shí)？

生3：有等差數(shù)列、等差數(shù)列的項(xiàng)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等等。

師：所以這道題的解題關(guān)鍵是要建立什么關(guān)系？

生3：關(guān)鍵在于建立等差數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系。

師：哪名學(xué)生說一下等差數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間有哪些關(guān)系呢？

生4：求和公式：還有an=Sn-Sn-1。

【點(diǎn)評(píng)】教師在課堂中是觀察者和引導(dǎo)者，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程中，觀察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題的理解情況，并設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

這道題學(xué)生通過等差數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，分析找到了解題的突破口，在教師的引導(dǎo)下，總結(jié)出一類問題的解題思路，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的形成。

4.練習(xí)提高，檢驗(yàn)探究成果

師：非常好！下面我們來看下一道題。

題目2已知等差數(shù)列{an}中，2an+1-an=2n+3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

生5：由 2an+1-an=2n+3，且{an}為等差數(shù)列可得，當(dāng)n=1時(shí)，2a2-a1=2×1+3=5，即2(a1+d)-a1=5；當(dāng)n=2時(shí)，2a3-a2=2×2+3=7，即2(a1+2d)-(a1+d)=7。聯(lián)立，得解得所以an=2n-1。

【點(diǎn)評(píng)】在教師細(xì)心、及時(shí)的引導(dǎo)下，學(xué)生開始注意數(shù)學(xué)表達(dá)的清晰、準(zhǔn)確，從而提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效率。

5.及時(shí)階段小結(jié)，形成數(shù)學(xué)思維

師：這個(gè)解法的數(shù)學(xué)思維方法的特點(diǎn)是什么？

生：代數(shù)運(yùn)算。

師：除了代數(shù)運(yùn)算，生5通過取n=1和n=2兩種特殊情況求通項(xiàng)公式an，體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

生：從特殊到一般。

【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究過程中的提煉、總結(jié)，可以逐步幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，最終達(dá)到鞏固和升華。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師的引導(dǎo)作用得到凸顯。

6.開拓解題思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

師：同學(xué)們還有沒有其他解法？

生6：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，且2an+1-an=2n+3，所以an+1+an+1-an=2n+3。而an+1-an=d，所以an+1+d=2n+3，即an+2=2n+3。設(shè)函數(shù)f(n+2)=2n+3，則f(n)=2n-1。所以an=2n-1。

【點(diǎn)評(píng)】一題多解可以開拓學(xué)生思路，激發(fā)學(xué)生興趣，是很好的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的方法。本節(jié)課特別注重對(duì)學(xué)生思維的開發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生不同思維的碰撞。

7.反思思維過程，鞏固數(shù)學(xué)思想

師：這個(gè)解法的思維方法的特點(diǎn)是什么？

生7：運(yùn)用了等差數(shù)列an+1與an這種前后項(xiàng)之間的關(guān)系，即an+1-an=d。

師：這就是遞推關(guān)系的本質(zhì)，還有呢？

學(xué)生沉默思考。

師：由an+2=2n+3到f(n+2)=2n+3，再到f(n)=2n-1，這是什么數(shù)學(xué)思想？

生8：函數(shù)思想。

師：對(duì)，函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

【點(diǎn)評(píng)】課堂小結(jié)不僅是課堂結(jié)束后做的事情，每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)結(jié)束后的思維過程的反思也更有針對(duì)性。

8.拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

師：大家想想，還有什么方法可以解決這個(gè)問題？

學(xué)生討論，但是沒有結(jié)果。

師：大家試試看，由2an+1可以聯(lián)想到什么？

學(xué)生繼續(xù)討論。

生9：由2an+1聯(lián)想到等差中項(xiàng)，即2an+1=an+an+2。把2an+1-an=2n+3變成an+2+an-an=2n+3，也可以得到an+2=2n+3。

【點(diǎn)評(píng)】本節(jié)課兩道題的解答思路都不唯一，體現(xiàn)了教師設(shè)計(jì)問題的深思熟慮，以及科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生對(duì)每道問題從不同方面進(jìn)行解讀和思考，不僅可以收到同樣的效果，還幫助學(xué)生避免陷入題海戰(zhàn)術(shù)的陷阱，使學(xué)生的思維得到拓展，創(chuàng)新意識(shí)逐步形成。

二、教學(xué)亮點(diǎn)分析

1.科學(xué)、細(xì)致地學(xué)情分析

本節(jié)課從兩道等差數(shù)列的問題入手，全過程體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，解題思路的講解、思維方法的歸納、小結(jié)和點(diǎn)評(píng)都由學(xué)生完成，教師只在課堂推進(jìn)過程中出現(xiàn)問題時(shí)，以及在每一次轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)才加以引導(dǎo)。

著名作家、演說家肯·羅賓遜說過，人的潛能猶如礦產(chǎn)資源，埋得很深。由此可見，教師對(duì)學(xué)生有充分的信任，開展學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，最大的困難在于課堂節(jié)奏的控制，課堂效率的掌握，這都要求教師對(duì)學(xué)生非常了解。對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的問題有一個(gè)基本的判斷，整節(jié)課教師看似參與很少，實(shí)際上教師對(duì)課堂的進(jìn)程和節(jié)奏胸有成竹。教師的自信來自對(duì)學(xué)生學(xué)情的充分分析與準(zhǔn)確把握。

2.合理利用課堂教學(xué)中出現(xiàn)的狀況

數(shù)學(xué)教學(xué)需要教學(xué)理論的支撐和經(jīng)驗(yàn)的積累，需要逐步提升教學(xué)應(yīng)變能力，合理利用教學(xué)過程中出現(xiàn)的任何狀況，把它變成我們的教學(xué)資源和教學(xué)契機(jī)。

本節(jié)課在第一道題生1的回答中出現(xiàn)了一些情況，這并不是事先設(shè)計(jì)出來的，如果教師能有效利用，對(duì)教學(xué)來說并不一定是壞事，與經(jīng)過事先設(shè)計(jì)的正確的解題示范相比，效果會(huì)更好。本節(jié)課教師把握住了教學(xué)機(jī)會(huì)，加以利用這一情況，很好地促進(jìn)了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。在教學(xué)過程中，常常會(huì)有許多意想不到的事情發(fā)生，有經(jīng)驗(yàn)的教師反而會(huì)借力打力。

3.充分發(fā)揮學(xué)生的主體性

本節(jié)課充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性，所有問題的解決要么是學(xué)生獨(dú)立思考，要么是合作討論得出，在必要的環(huán)節(jié)和內(nèi)容轉(zhuǎn)換時(shí)教師才適時(shí)出現(xiàn)。在整個(gè)過程中，教師以觀察為主，引導(dǎo)時(shí)機(jī)把握得恰到好處，有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件。

教師更多的時(shí)候是觀察者和引導(dǎo)者。在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程中，觀察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題的理解情況，并設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，實(shí)時(shí)小結(jié)，開展合作學(xué)習(xí)等，根據(jù)學(xué)生的發(fā)展情況，構(gòu)建基于核心素養(yǎng)的各種活動(dòng)。例如，在學(xué)生出現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)問題時(shí)，教師并沒有直接給出，而是引導(dǎo)學(xué)生說出；在學(xué)生不能直接總結(jié)出題目1解題的思維關(guān)鍵時(shí)，教師立刻設(shè)置一個(gè)臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的答案。在學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)2an+1=an+an+2對(duì)題目2的解題思路的幫助時(shí)，教師設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)。

4.注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成

學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成是一個(gè)漸進(jìn)的過程，考驗(yàn)著教師的耐心和毅力，它蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)中，都需要較長(zhǎng)時(shí)間的堅(jiān)持才能奏效。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是解數(shù)學(xué)題，而是通過解決數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，每一個(gè)思維過程的小結(jié)都是一個(gè)非常好的幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的手段。本節(jié)課通過學(xué)生解決兩道數(shù)學(xué)問題的步步推進(jìn)，特別注意在課堂上滲透、提煉與概括。例如，通過解答題目2的第一種解法的解題思路分析，了解了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，通過解答題目2的第二種解法的解題思路分析，了解了函數(shù)思想在數(shù)列的應(yīng)用，在不斷變化的課堂進(jìn)程中，幫助學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的支撐。

本節(jié)課教師努力創(chuàng)造學(xué)生自主學(xué)習(xí)的氛圍，真正做到了把課堂交給學(xué)生，把學(xué)生推到前臺(tái)，通過師生之間問題的探討、思想的碰撞、情感的交融，達(dá)到學(xué)生的共同成長(zhǎng)和個(gè)性發(fā)展，避免出現(xiàn)一切完全都是在教師控制之下虛假的“自主”學(xué)習(xí)。